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1、主要内容 几个重要统计量的分布 单总体均值向量的检验及置信域 多总体均值向量的检验 协方差阵的检验 独立性检验 正态性检验 第三章第三章 多元正态分布参数的假设检验多元正态分布参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布 一、正态变量二次型的分布一、正态变量二次型的分布 1. 分量独立的 n 维随机向量 X 的二次型 则 ，其中 设且相互独立，记 X 的二次型具有以下一些结论： 结论1 当 时，则 当 时，则有 (或记为 ）。 结论2 当 ， 的分布常称为非中心 分布。 定义3.1.1 设 n 维随机向量 XNn( , In )（0），则称随机 变量 为服从 n 个
2、自由度、非中心参数 的 分布，记为 显然 则 当XNn( , In )，0，且 时，令 结论3 设 ，A为对称矩阵，且 rank (A) = r 二次型 （A为对称幂等矩阵）。 结论4 设 则 其中 （对称幂等矩阵）， 且 rank (A) = r (rn)。 结论5 二次型与线性函数的独立性：设 ，A 为 n 阶对称矩阵，B 为 mn 矩阵，令 ， Z=BX ( Z 为 m 维随机向量)，若 BA=O，则 BX 和 相互独立。 结论6 两个二次型相互独立的条件：设 ，A， B 为 n 阶对称矩阵，则 2. 一般 p 维正态随机向量 的二次型 p 维随机向量的二次型具有下述结论： 结论1 设
3、则 ， 其中 结论2 设 则A为对称矩阵 ,rank(A)=r. 则 结论3 设 A 和 B 为 p 阶对称矩阵，则 3. 非中心 t 分布和非中心 F 分布 定义3.1.2 设 相互独立，令 则称 T 的分布具有n个自由度、非中心参数为 的 非中心 t 分布，记为 T t (n, ). 定义3.1.3 设 相互独立，令 则称 F 的分布为具有自由度为 m , n 和非中心参数 为 的 F 分布，记为 FF ( m , n , ). 4. 非中心 、非中心 t 分布和非中心 F 分布的应用 在一元统计中，关于在一个正态总体 的均值检 验中，检验H0： = 0时，检验统计量为 否定域为|T|,其
4、中满足：P|T|= (显显著性水平). 当否定H0时，可能犯第一类错误，且 第一类错误的概率P“以真当假”=P|T| = 0| =显著性水平 ; 当H0相容时，可能犯第二类错误，且 第二类错误的概率P“以假当真”P|T| 0 设10 此时检验统计量T t (n-1, )(非中心参数 )， 利用非中心 t 分布可以计算第二类错误 的值，从而得到检 验法的功效函数为1- . 类似地，非中心 和非中心 F 分布在一元统计的相应检验 中，将应用非中心分布来计算第二类错误。 二、威沙特二、威沙特(Wishart)(Wishart)分布分布 1. 威沙特分布的定义 定义3.1.4 设 X(a) Np( 0
5、, ) (a=1,n)相互独立,记 为 np 矩阵，则称随机阵 的分布为威沙特分布，记为WWp( n , ). 显然，p=1时， 此时 即 就是 .当p=1, 时,W1(n,1)就是 一般地，设X(a)Np( ,) (a=1,2,n)相互独立，记 则称 服从非中心参数为的非中心威沙特分布，记 为 ，其中 当X(a)Np(a ,) (a=1,2,n)相互独立，非中心参数 或 这里 其中 p 为随机阵 W 的阶数，n 为自由度，一元统计中的 2对 应 p 元统计中的协方差阵. 【注】随机阵 W 的密度函数是威沙特于1928年推导出来的， 故此分布称为威沙特分布。 2. 威沙特分布的性质 性质性质1
6、 1 设X(a)Np( , ) (a=1,2,n)相互独立，则样本离差阵A 服从威沙特分布，即 性质性质2 2 关于自由度 n 具有可加性可加性：设 (i=1,k)相 互独立，则 其中 特别地： （1） aWWp( n , a ) (a0为常数）. （2）设 ，则 ，即 性质性质3 3 设 p 阶随机阵 ，C 是mp常数矩阵,则 m 阶 随机阵 也服从威沙特分布，即 性质性质4 4 分块威沙特矩阵的分布（习题三中第3-4题）:设 相互独立，其中 又已知随机阵 则 （1） （2）当 时，W11与 W22 相互独立. 性质性质5 5 设 ，记 ，则 其中且 与W11相互独立. 性质性质6 6 设随
7、机阵 ，则 性质性质7 7 设 ，A为 n 阶对称矩阵，则 其中 性质性质8 8 设 A和 B 均为 n 阶对称幂等矩阵, 则 相互独立 三、霍特林三、霍特林(Hotelling) (Hotelling) T T 2 2 分布分布 1. 霍特林 T 2 分布的定义 定义3.1.5 设 XNp( 0 , ),随机阵WWp( n, )( 0 , n p ), 且 X 与 W 相互独立，则称统计量 为霍特林霍特林 T T 2 2 统计量统计量，其分布称为服从服从 n n 个自由度的个自由度的 T T 2 2 分布分布，记为 更一般地，若XNp( , )( 0 ),则称 T 2 的分布为非中心非中心
8、霍特林霍特林 T T 2 2 分布分布，记为 T 2 T 2( p , n , ) . 2. 霍特林 T 2 分布的性质 性质性质1 1 设 X(a)(a=1,n)是来自 p元总体 Np( , )的随机样本， X 和 A 分别是正态总体Np( , )的样本均值向量和样本离差阵, 则统计量 性质性质2 2 T 2与 F 分布的关系：设 T 2T 2( p , n),则 性质性质3 3 设 X(a)(a=1,n)是来自 p元总体 Np( , )的随机样本. , A分别为样本均值和样本离差阵，记 则 性质性质4 4 T 2 统计量的分布只与 p , n 有关，而与无关。 设 UNp( 0 , Ip
9、),W0Wp( n , Ip ), U 和 W0 相互独立，则 性质性质5 5 T 2 统计量对非退化变换保持不变. 设 X(a)(a=1,n)是来自 p元总体 Np( , )的随机样本, 和 Ax 分别表示正态总体 X 的样本均值向量和样本离差阵，则由性质1 有 令Y(a)=CX(a)+d (a=1,n),其中C为pp非退化常数矩阵, d 为 p 维 常向量，则可以证明(习题三中第3-4题) 四、威尔克斯四、威尔克斯(Wilks)(Wilks) 统计量及其统计量及其分布分布 1. 威尔克斯(Wilks) 分布的定义 定义3.1.6 设 XNp( , ), 则称协方差阵的行列式 | | 为X
10、的 广义方差广义方差.若 X(a)(a=1,n)为 p元总体 X 的随机样本. A 为样本离 差阵,则称 或 为样本广义方差样本广义方差. 定义3.1.7 设 A1Wp(n1,), A2Wp(n2,) ( 0, n1p),且 A1 与 A2独立,则称广义方差之比 为威尔克斯统计量或威尔克斯统计量或 统计量统计量.其分布称为威尔克斯分布威尔克斯分布,记为 2. 统计量与 T 2 或 F 统计量的关系 结论结论1 1 当 n2=1 时,设 n1= n p , 则 或 结论结论2 2 当 n2=2 时,设 n1= n p , 则 结论结论3 3 当 p=1 时，则 结论结论4 4 当 p=2 时,则
11、 结论结论5 5 当 n22 , p2 时,可用 2 统计量或 F 统计量近似. 博克斯(Box)(1949)给出以下结论： 其中 设( p , n1 , n2) , 则当n时, 3. 两个重要结论 结论结论1 1 若( p , n1 , n2),则存在 (k=1,p)相互独立，使得 结论结论2 2 若 n2 p ,则 注注 结论2 是一元统计中 的推广. 表: 一个正态总体均值的假设检验(显著性水平为) 3.23.2 单总体均值向量的检验及置信域单总体均值向量的检验及置信域 一、均值向量的检验一、均值向量的检验 设总体 XNp( , ), 随机样本 X(a) (a=1,n). 检验 ( 0为
12、已知向量 ) 1. 1. 当当 0 0 已知时均值向量的检验已知时均值向量的检验 因为 利用二次型分布的结论，知 按传统的检验方法，对给定的显著性水平 ,查 2 分布临界值 表得 ,使 ,则否定域为 由样本值 X(a) (a=1,n),计算 及 值,若 ,则否定 H0 , 否则 H0 相容. 假设在 H0 成立情况下,随机变量 ,由样本值计算得到 T02的值为 d ,同时可以计算以下概率值： 常称此概率值为显著性概率值，或简称为 p 值. 对给定的显著性水平 ,当 p p 0.05 ,故 H0 相容. 在这种情况下,可能犯第二类错误,且第二类错误的概率为 (假定总体均值 1 0,取1X ).
13、二、似然比统计量二、似然比统计量 设 p元总体的密度函数为 f (x, ),其中 是未知参数,且 (参数空间)，又设0是 的子集,我们希望对下列假设： 作出判断,这就是假设检验问题.称H0为原假设原假设(或零假设零假设), H1为 对立假设对立假设(或备择假设备择假设). 从总体X 抽取容量为n 的样本X(t) (t=1,n).把样本的联合密度函数 记为 L(X; ),并称它为样本的似然函数样本的似然函数. 引入统计量 它是样本 X(t) (t=1,n)的函数,常称为为似然比统计量似然比统计量.由于0, 从而01. 定理定理3.2.13.2.1 当样本容量 n 很大时， 近似服从自由度为 f 的 2 分布，其中 f 的维数0 的维数. 设样本的似然函数为L( , ).检验均值向量
