流体力学基本方程.

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1、高等流体力学 3 流体力学基本方程 3 流体力学基本方程 流体的运动规律遵循物理学三大守恒定律， 即：质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定 律。流体动力学基本方程组就是这三大定律对流 体运动的数学描述。但是，流体力学基本方程组 是不封闭的，要使其封闭还需增加辅助的物性关 系，如：密度、比热、粘性系数和热传导系数随 温度、压强的变化关系等。目前尚不能求得这一 方程组的解析解，但研究这一方程组的性质却具 有极其重要的意义，因为实际流体的流动过程遵 循这一基本方程组。 3.1 系统和控制体的概念 3.1.1 系统 包含着确定不变的物质的任何集合，称 之为系统，系统以外的一切，统称为外界。 系统的边

2、界是把系统和外界分开的真实或假 想的表面。在流体力学中，系统就是指由确 定的流体质点所组成的流体团。 3.1.1 系统 流体系统的边界有如下特点：系统的 边界随着流体一起运动。系统的体积边界面 的形状和大小可以随时间变化；在系统的 边界处没有质量交换，即没有流体进入或跑 出系统的边界；在系统的边界上，受到外 界作用在系统上的表面力；在系统边界上 可以有能量交换，即可以有能量(热或功)通 过边界进入或离开系统。 3.1.1 系统 如果我们使用系统来研究连续介质的流 动，那就意味着采用拉格朗日观点，即以确 定的流体质点所组成的流体团作为研究的对 象。但是对大多数实际的流体力学问题来说 ，采用欧拉观

3、点更为方便，与此相应，必须 引进控制体的概念。 3.1 系统和控制体的概念 3.1.2 控制体 被流体所流过的相对于某个坐标系来说 是固定不变的任何体积称之为控制体。控制 体的边界面，称之为控制面。它总是封闭表 面。占据控制体的诸流体质点是随着时间而 改变的。 3.1.2 控制体 控制面有如下待点：控制体的边界(控 制面)相对于坐标系是固定的；在控制面上 可以有质量交换，即有流体跑进或跑出控制 面；在控制面上受到控制体以外物体加在 控制体之内物体上的力；在控制面上可以 有能量交换，即可以有能量(内能、动能、热 或功)跑进或跑出控制面。 3.2 连续性方程 连续性方程是质量守恒定律在运动流体 中

4、的数学表达式。连续性方程是运动学方程 ，它与力无关，所以既适用于理想流体也适 用于粘性流体。 在流动空间中，考察一微元控制体，其 体积为dxdydz，对某一固定参考系统，它是 固定在空间中的，如下图所示。 3.2 连续性方程 质量守恒 定律可表述如 下：控制体内 流体质量的减 少量应等于从 控制体净流出 的流体质量。 控制体内流体的流入与流出 y x ux dz dx dy o z 3.2 连续性方程 (1) 控制体内流体质量的变化 dt时间中控制体内流体密度的变化为 dt时间中控制体内流体质量的减少量为 3.2 连续性方程 (2) 通过控制面净流出控制体的流体质量 dt时间内在x方向通过左右

5、两个侧面(控制面)净流出的 流体质量为 同理，dt时间中在y、z方向通过相应控制面净流出的流体质 量分别为 3.2 连续性方程 (3) 流体流动的连续性方程 根据质量守恒定律，由上述分析可得出 对于单位时间单位体积空间而言 这就是直角坐标系中的连续性方程式，将之写成向量形式 即得 3.2 连续性方程 按求和约定，连续性方程可表示成 使用恒等式 ，连续性方程可写 成 其中： 3.2 连续性方程 对于定常流动， ，连续性方程变成 按求和约定，上式表示成 它表示了单位时间流出单位体积空间的质量等于 流入该体积空间的质量，也可以说微元控制体内 的流体密度不随时间而改变。 3.2 连续性方程 对于不可压

6、缩流体的流动问题， ，不可 压缩流体流动的连续性方程为 按求和约定，上式表示成 上式说明，由于流体微团的密度和质量在流动过 程中都不变，所以流体微团的体积在运动中也不 会改变。 3.2 连续性方程 在圆柱坐标系(r,z)中，流体流动的 连续性方程为 在球坐标系(r,)中，流体流动的连 续性方程为 3.3 本构方程 一般而言，所谓本构方程是指描述物质对所受力的力 学响应的方程。对运动的粘性流体而言，应力与变形速度 之间的关系称为本构方程。 3.3.1 流体的表面应力张量 为了建立流体动力学方程，需要分析流体微团上所受 到的各种作用力。流体微团受到的作用力可以分为两大类 ：一类是质量力，它是作用在

7、流体所有质点上的非接触力 ，如重力、惯性力、电磁力等；另一类是表面力，它是作 用在流体微团界面上的接触力，如压力、摩擦力等。现只 考虑表面力。 3.3.1 流体的表面应力张量 如右图所示的 正六面体流体微团 ，在垂直于x轴的 左右两个侧表面上 ，分别作用有合应 力 px 和 流体微团的表面应力张量 xx xz z px (x,y,z) xy dydz dx o x y 3.3.1 流体的表面应力张量 此处的下标x表示应力向量作用在与x轴垂直的微元面 上。由此可得到作用在垂直于x轴的微元面上的表面力的合 力为 同理，作用在垂直于y轴和z轴的微元面上的表面力的 合力分别为 3.3.1 流体的表面应

8、力张量 综和上述结果，可得到作用于单位体积流体的表面力 的合力 上式中px、py和pz都是向量，可以将它们沿三个坐标方 向分解，即分解成垂直于各微元面的正应力和平行于各微 元面的切应力，例如上面图中作用于与x轴垂直的微元面上 的应力px可分解成 同理 3.3.1 流体的表面应力张量 下标规定：第一个下标代表应力所在平面的外法线方 向，第二个下标代表应力的方向。例如，xy表示作用在与x 轴垂直的平面上沿y方向的切应力。 由上述分析可见，要完全描述微元体上的应力，则需 要九个分量，这九个分量就组成了应力张量，应力张量可 表示成 3.3.1 流体的表面应力张量 可以证明，应力张量是二阶对称张量。正应

9、力的正方 向为作用面外法线方向；对于切应力，当作用面的外法线 沿坐标轴的正方向时，取沿坐标轴正方向的切应力为正， 当作用面的外法线沿坐标轴的负方向时，取沿坐标轴负方 向的切应力为正。 这样，单位体积流体的表面力可写成 3.3.2 牛顿流体的本构方程 物质所受到的应力与运动学参数之间存在着 一定的关系。在弹性力学中，这种关系是由虎克 定律表示的，即弹性固体中应力与应变成正比； 在流体力学中，不同性质的流体这种关系有不同 的类型，对于水、空气和润滑油等化学结构比较 简单的低分子流体，应力与变形速率成正比，也 就是说，应力与变形速率之间存在着线性关系， 服从这种线性关系的流体称为牛顿流体。 3.3.

10、2 牛顿流体的本构方程 牛顿提出了关于粘性流体作直线层状运动时 ，两流体层间的切应力的假设。认为切应力与层 间速度梯度成正比，即 为动力粘性系数， 其值取决于流体的 物理性质。通常称 上式为牛顿内摩擦 定律。 o dyu u+du z x y 3.3.2 牛顿流体的本构方程 根据变形率张量和应力张量，上式左边对应于 平面直线运动特殊情况下的应力张量的一个切向分 量，右边的导数项对应于变形率张量的一个分量。 因此，可以理解为yx与yx成正比例 3.3.2 牛顿流体的本构方程 斯托克斯将牛顿内摩擦定律推广到粘性流体的 任意流动情形中去，假设： 1) 流体是连续的，其应力张量是变形率张量的 线性函数

11、。 2) 流体是各向同性的，即它的性质与方向无关 。因此，无论坐标系如何选取，它的应力与变形率 的关系是相同的。 3) 当流体静止，即变形率为零时，流体中的应 力就是流体静压力。 3.3.2 牛顿流体的本构方程 或者 式中的负号表示压力的方向总是与微元体表面外法 线方向相反，I为单位张量 实验证明，对大多数常见的液体和气体，上述 假设是对的。 3.3.2 牛顿流体的本构方程 根据应力张量与变形率张量是线性关系以及流 体是各向同性的假设，可以将应力张量与变形率 张量的线性关系式写成 式中的系数a和b应该是标量。 由于关系式是线性的，因此系数a不可能与张 量和中的分量有关，而应该与流体运动形态无关

12、 ，它是取决于流体的物理属性的系数。参照牛顿内 摩擦定律，令 3.3.2 牛顿流体的本构方程 至于系数b，由于在应力张量与变形率张量线 性关系式中右边第二项是b与单位张量I的乘积，要 保持该式的线性关系，b只能由张量与的分量线性 地组成。又由于b是标量，因此它应该由张量与的 分量中，那些当坐标系转换时其值不变的分量组合 来构成。对二阶张量而言，主对角线上三个分量的 和为它的线性不变量(即第一不变量)。 3.3.2 牛顿流体的本构方程 对于应力张量的线性不变量为 对于变形率张量的线性不变量为 通过上述分析，可以写出标量b的一般关系式 式中的b1、b2、b3为待定常数。 3.3.2 牛顿流体的本构

13、方程 将标量b的表达式代入应力张量与变形率张量线性关系 式中，得 取等式两边主对角线上三个分量之和，可得 归并同类项后，得 在静止状态下， ，而且 ，因 此，上式可以写成 3.3.2 牛顿流体的本构方程 由于b1、b3均为常数，而且要求在静压力p0值为任意情 况下均成立，则只有 而 这三个系数确定以后，就可得出应力张量与变形率张量 之间的一般线性关系式 3.3.2 牛顿流体的本构方程 对于非粘性流体，一点的压强在各个方向是相等的，此 处引入平均压强的概念，即 对于粘性流体来讲，类似地采用这样的平均法向应力， 有 如果待定常数b2记为，则 通常称上式为广义牛顿内摩擦定律，称为膨胀粘性系数。 3.

14、3.2 牛顿流体的本构方程 如以ui和xi (i1,2,3)分别代替ux,uy,uz和x,y,z ，则可以写出在直角坐标系中应力张量与变形率张 量各分量之间的关系式 3.3.2 牛顿流体的本构方程 对于不可压缩流体， 则 3.3.2 牛顿流体的本构方程 广义牛顿内摩擦定律建立了在一般情况下应力 张量与变形率张量之间的关系，它是粘性流体力学 的个理论基础。虽然在推广的过程中采用了一些 无法用实验验证的不很严格的假定，但是根据这一 关系所得出的粘性流体力学方程组对许多问题的解 ，均被实验所证实。因此间接地证明了这些推广的 可靠性。 3.4 粘性流体运动方程 运动方程(动量方程)是动量守恒定律对于运动流体的表 达式。在充满运动流体的空间中，任取一控制闭曲面A，其 所包围的流体体积为V。根据动量守恒定律，该体积流体的 动量变化率等于作用在该体积流体上的质量力和表面力之和 。设单位质量流体的质量力为f，当质量力仅