《大学物理第11章振动.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理第11章振动.（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、返回第十一章 振动学基础 振动是一种常见的自然现象.所谓振动,就是物体在某一位置附 近来回往复的运动.如钟摆的摆动,气缸内的活塞的运动及心脏的跳 动等为机械振动.从广义上讲,任何一个物理量(物体的位置,电流,电 压,电场及磁场等)在某个定值附近反复变化都可以称为振动. 振动尽管有各种不同的形式,涉及不同的物质运动,但是确具有 同样的规律性. 本章主要讨论力学中的振动(机械振动).介绍线性振动的特点和 规律及应用。 振动在自然科学的许多领域有广泛的应用:电磁学,光学,原子物 理学,电工学,无线电技术,地震学,声学,建筑力学,机械原理,造船学等, 是多学科的基础. 振动是波动的基础，为学习下一章提
2、供理论基础 第一节 简谐振动 第二节 阻尼振动 受迫振动 共振 第三节 简谐振动的合成 第四节 频谱分析 第五节 非线性振动 混沌 第一节 简 谐 振 动 一 弹簧振子的谐振动 本节以弹簧振子为例说明简谐振动的基本特征。 光滑水平面 O:称为平衡位置：受合力为零的位置。 平衡位置 把物体从平衡位置拉开，释放，则物体在弹性力的作用下， 绕平衡位置来回运动，称为振动。 振子运动中所受合力 力总指向平衡位置，其大小与物体的位移大小成正比。称此振 动为谐振动。该式为谐振动的判据之一。 平衡位置 动力学方程 平衡位置 令称为圆频率或角频率。 二阶线性齐次常微分方程。 或 则 其解，形式为 其中 和 为两
3、个待定常数，二者的物理意义和求法稍后给出。 该式是相对平衡位置的位移或位置（或坐标）随时间的变化规律 ，称为谐振动运动学方程或谐振动的振动方程。 瞬时加速度 加速度的最大值，出现在远离平衡位置处。 上述 和 可做为谐振 动的判据。 瞬时速度 速度的最大值（幅值），出现在平衡位置 处 。 幅值 二 周期 频率 圆（角）频率 2 频率单位时间内完成全振动的次数，即周期的倒数。 故频率 1 周期 故周期 完成一次全振动所用的时间。 因 有 3 圆频率或角频率 三者关系 不难看出，三者是由系统本身的性质决定，与振动的状态无 关，具有固有性。 适合任何谐振动。 决定了振动系统的初时的状态，故称 为初相位
4、，简称初相。 令 ,则 初位置 初速度 通常， 是一个未知量，是振动方程中的一个待定常数。由 以上知，若 知，可求 。 三 相位（位相） 振幅 1 相位 可见，振动状态由 决定。 相位，物体振动状态不同（解释) 。 由 称做相位。不同的 按力学，用物体的位置和 速度描述物体的运动的状 态，此处称为振动状态。 例 111已知如图，一物体沿 轴作谐振动，求初相位。 解： 求 具体作法是：由式 求得一至四象限范围内满 足该式两个 值，再从二值中选出满足 的一个, 该值即初相。 或 求初相是本章的重点。 对以上给出的方法应理解并掌握。 若 向左，结果如何? 小结 1 谐振动是周期性运动，周期，频率由系
5、统本身性质决定。 2 初相，振幅由初始状态决定。 2 振幅 初位置 初速度 由 得 四 谐振动的描述方法 1 解析法 例如 由该三角函数式可以求得谐振动的特征量：振幅，角频率，频 率，周期，相位，初相位。 2 振动图线 平衡位置 3 旋转矢量法 由坐标轴的原点 引一矢量 ，令该矢量 以匀角速度 绕原点逆时针方向旋转 。 设 时， 与 轴的夹角为 。 显然， 的末端在 的投影 经时间 ，矢量 转过 角，此时刻， 矢量末端在 轴 上的投影为 可见， 矢量的末端在 轴上的投影代表以原点为平衡位置的谐 振动方程。 例 114 由振动曲线求振动方程。 解：解法一 解法二 用旋转矢量法求初相位。 角频率
6、振动方程 由参考轴始左取角； 由参考轴始右取角； 例 115 由振动曲线求振动方程。 解： 初相 又 故 在 时 或用旋转矢量法求 。 二不同时刻的振幅矢量位置 振动方程 从 时刻起，到质点位置在 处，且向X轴正方向运 动的最短时间间隔为多少 例 116 一质点沿X轴作简谐振动，振动方程为 解： 用旋转矢量法 例1111 一质点做谐振动，在一个周期内相继通过相距为 10cm 的二点A和B，历时2s,并且具有相同的速率；再经历2s后,质 点由从另一方向通过B，若以质点通过A为计时的起点，选坐标轴 的正方向向右，求谐振动的振动方程。 AB 解 (提示) 据题意，AB的中点O为平衡位置。 过程旋转矢
7、量图为 A O B 学会从图中求出 ，得出振动方程 。 六 谐振动的能量 以弹簧振子为例。 势能 动能 总能量 总能量守恒，由初始状态决定。 振动势能振动动能 振动总能量 把 代入即可。 解：由功能原理 则 例 1110 如图，物体静止在平衡位置。水平恒力 向 左,使物体向左运动了 ，此时撤去外力。当物体运动到左方 最远位置时开时记时，求物体的运动方程。 其中 第二节 谐振动的合成 问题的提出 一 同方向同频率谐振动的合成 下面用旋转矢量证明 研究 物体 设二分振动方程为 按力学运动学的叠加原理，合运动为 经运算可得 合运动依然是频率保持不变的谐振动 。 1 若 讨论 加强合振幅最大。则 相位
8、差 由旋转矢量图不难求得 此情况下二分振动的振幅矢量恒共 线且同方向。合振动的振幅矢量模 最大。 3 若为其它角时，则 2 若 消弱 合振幅最小。 此情况下二分振动的振幅矢 量恒共线且反方向。合振动的振 幅矢量模最小。 O 例 1113 求合振动方程。 解： 1 由振动曲线合成，得合振动的曲线，而振动方程为 2 由旋转矢量图 例 1114 已知分振动方程为 求合振动方程。 例题 解：旋转矢量图如下。 合振动方程为 1、一作简谐振动的振动系统，振子质量为2kg，系统振动频率为 1000HZ，振幅为0.5cm，则振动能量为 2、同方向的简谐振动，振动方程分别为 画出两振动的旋转矢量图，求它们合振动
9、的振幅、 初相位及 振动方程 第二节 阻尼振动 受迫振动 共振 一 阻尼振动 阻尼振动的振动曲线 直观理解 阻尼（减幅）形成原因：内耗散型，不同能量的转换，如单 摆的减幅摆动，机械能变热能，此时，振动体系为开放系统；另 外作为波源，以波的形式向外界传递。 定量分析简介 令阻力 动力学方程 其中称为阻尼因子。 称为阻力系数。 固有圆频率. 当 （小阻尼时）时，上述微分方程的解，即阻尼振 动方程为 包络线 阻尼振动的振动曲线 式中 ，表明因阻力的存在，使周期略变大,频率 略变小. 反映了阻力的影响，它使 振动的振幅随时间逐渐衰减。 由初时条件,阻尼情况决 定.（不要求）。 其它情况 过阻尼 临界阻
10、尼 临界阻尼 过阻尼 此时因阻尼太大，振动不在具有周期性，振动系统来不及完 成一次振就逐渐停止在平衡位置上。 二 受迫振动 共振 若上述的振动系统除受到弹性力和阻力之外,还受到一周期性 外力的作用,则系统做受迫振动.如扬声器的纸盆的振动,机器运转时 引起的机座的振动等. 则振动系统运动方程的微分形式为 令 则上式可表述为 (单位质量的力幅) 设周期性外力按简谐振动的规律变化,形式为 其中 为周期性外力的力幅, 为周期性外力的圆频率. 显然,该式为二阶线性非齐次常微分方程,按着微分方程理论,其解的 形式(或振动方程)为 此式表明受迫振动是由两个分振动构成:式中的第一项表示的 分振动是欠阻尼振动,
11、是一个减幅振动;第二项所表示的是一个与周 期性外力频率相同的稳定的等幅振动.振动开始时的情形非常复杂, 经过不太长的时间,欠阻尼振动衰减到忽略不计,结果系统的振动达 到稳定状态,系统做等幅振动. O 瞬态过程 振动曲线 把振动方程代入到振动的微分方程,可以得到(具体数学推导见 教材,略) 及 及 这表明,受迫振动的振幅 和初相 与周期性外力的圆频率, 系统的固有圆频率及阻尼性质有关.(比较与谐振动的区别).对于一 定的振动系统,即 确定的情况下,振幅 随周期性外力的圆 频率变化而变化. 结果,受迫振动的振动方程(稳定态解)为 从能量角度讲,等幅振动的产生是因在一个周期内外力所做的 净功恰好补偿
12、因阻尼而耗损的能量,振动的总机械能不变. 三 共振 对一定的振动系统 1 当 ,即周期性外力的圆频率很低时, 2 当,即周期性外力的圆频率很高时, 3 共振 共振时的振幅 共振圆频率 初相位 当 为某一特殊值时,振动有最大振幅,此现象称共振. 令,得 阻尼较大 阻尼较小 二者同相，故外界对振动体系恒做正功，因而，振幅会达很大。 阻尼较大 阻尼较小 阻尼 而振动速度为 而受迫力为 原因是 则 或 若阻尼很小, 即 , ,最大振幅 . 4 共振应用 原子的共振吸收，铁磁共振 ，顺磁共振等，系统从外界强烈 地吸收能量，实现能量的共振吸收和转移。 共振现象极为普遍,在声,光,无线电,原子物理,核物理以
13、及工程 技术领域都有广泛的应用. 许多声学仪器应用共振原理制成; 收音机利用电磁共振原理选台; 核磁共振利用原子核在磁场中共振; 用超声波清洗金属器件; 共振有选频特性。 破坏性 机器的转动频率与机座的固有频率接近时,发生共振,影响加工 精度,甚至损坏机器; 人在跳板上行走; 火车过桥梁时; 1940年美国华盛顿州塔可玛新悬索桥在大风的袭击下,风引起 的振荡作用与桥的固有频率相近,导至桥瘫塌. * 风吹电线在风中的尖叫；自来水管出现的嗡嗡长鸣（称自激 ，即在恒力的不断激励下，因正反馈作用，将外界能量转变成交 变的振动能量。） 还有 生物力学 人体各部分的固有（本征）频率如下 头部眼球 心脏 胃
14、 肩部 内脏 足 11.3 谐振动的合成 一、两个同方向同频率谐振动的合成 1.旋转矢量法 2.解析法 A 2 A2 1 A1 x 3.初相 特例 结论 1.仍为谐振动，频率不变。 2.振幅 A1 A 1.旋转矢量法 A1 x 二、同方向不同频率的谐振动的合成 拍 2.解析法 讨论:1.振幅随时间变, 不是谐振动. 2.拍现象,拍频,周期 3. 振动频率. 可测频 率,变频 *n个同方向同频率 的谐振动的合成 C O PN M R R A a a 三、相互垂直的同频率谐振动的合成 求轨道方程,消去 t (3)2+(4)2 得 三、相互垂直的同频率谐振动的合成 求轨道方程,消去 t 椭圆 ZD 讨论 反之可分解 ZD 四、相互垂直的不同频率谐振动的合成 频率为简单整数比合成 的轨迹图叫利萨如图形. 11.4 *振动的分解 任何复杂的振动可分解为若干个谐振动, 这些谐振动的振幅和频率各不相同.这些频率 为原来的振动频率的整数倍,基频,谐频. zd22 vaF 本章小结: 1.振动方程 2.谐振动合成 同方向同频率
