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1、 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦.余弦和正切公式 3.2 简单的三角恒等变换 变换是数学的重要工具，在初中，我们已经学过 代数的变换，在数学4的第一章也学习过同角三角 函数式的变换，在此基础上，本章将学习包含两个 角的三角函数式的变换。三角变换是“只变其形不 变其质”的，它可以揭示某些外形不同但实质相同 的三角函数式之间的内在联系，帮助我们简化三角 函数式，从而使研究更加方便、有效。 三角变换包括变换的对象、变换的目标以及 变换的依据和方法等要素。两角和与差的正弦、余 弦和正切公式就是三角变换的基本依据。通过对这 些公式的探求，以及利用这些公式进行三角变换， 我们将在怎样预测变
2、换目标，怎样选择变换公式， 怎样设计变换途径等方面作出思考，这些都将帮助 我们进一步提高推理能力和运算能力。 两角和与差的正弦 余弦公式 3.1 两角和与差的正弦 余弦和正切公式 第一课时 在本章开头，给出了这样一个问题： 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如 图所示，小山高BC约为30米，在地平面上有一点A ，测得A,C两点间的距离约为67米，从A观测电视 发射塔的视角(CAD)约为450。求这座电视发射 塔的高度。 设电视发射塔高CD=x米， 则 在RtABD中， 于是 如果能由 求得 的值，那么就会 A D B C 450 30 x 67 得到一个的一元二次方程，由此解得电视发射塔
3、的高 就十分容易了。 能不能由 求得 的值呢？或者说 能不能用 把 表示出来呢？ 更一般地说,对于任意角 ,能不能用 的 三角函数值把 或 的三角函数值表示 出来呢? 下面我们来研究如何胜任意角 的正弦余来 表示 的问题。 大家可以猜想，是不是等于 呢? （一）导导入：我们们在初中时时就知道 ， 由此我们们能否得到 根据我们们在第一章所学的知识识可知 我们们的猜想是错误错误 的！ 下面我们们就一起探讨讨两角差的余弦公式 ， 探究1 试分别计算 发现 建构数学 cos(7515)=cos75cos15 + sin75sin15 一般地, cos(-)=coscos +sinsin 是否也成立呢
4、建构数学 v由于这里涉及三角函数的问题,是这个角的余弦问题,所 以可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向量的知识. v我们先对简单的情况进行讨论 .如图,设角，为锐角,且 .角的终边与单位圆的交 为P1, v过点P作PM垂直于x轴,垂足为M, 那么OM就是角 的余弦线.这里 就是要用角 ,的正弦线,余弦 线来表示OM. v过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作 AB垂直于轴,垂足为B,过点P作PC垂直于 AB,垂足为C.那么 y x o P1 P MB A 并且 于是OM=OB+BM =OB+CP =OAcos+APsin =coscos+sinsin 值得注意的是，以上结果是在、 -都是
5、锐角，且的情况下得到的。 要说明此结果是否对任意角、都成立， 还要做不少工作。 下面我们运用向量的知识进行探究。 y x o P1 P2 P 在直角坐标系中xOy中，以x轴为始边 分别作角 则 设向量 又 建构数学 则 建构数学 依据向量数量积的概念，角 必须符合条件 ， 即在此条件下，以上推导才是正确的 由于 都是任意角， 也是任意角，因此就要研 究当 是任意角时，以上推导是否正确的问题 当 是任意角时，由诱导公式，总可以找到一 个角 ，使 若 ，则 若 ，则 ，且 于是，对于任意角,都有 建构数学 cos(-)=coscos +sinsin 简记为C（-）=cc+ss 注意:（） 为任意角
6、; (2)知道cos,cos ,sin,sin的值, 就可以求得cos(-)的值. (3)右端是的同名三角函数积的和,左端为 两角差的余弦 cos(+)=coscos - sinsin cos(-)=coscos +sinsin 简记为C（-） 两角和与差的余弦公式 那用- 替换,我们可以得到 ? 简记为C（+） 建构数学 特征：（）函数名 （）符号异号 建构数学 两角和与差的余弦公式 例1 利用差角的余弦公式求cos15, cos75 的值 解法：cos15=cos(4530) =cos45cos30+sin45sin30 解法：cos15=cos(6045) =cos60cos45+sin
7、60sin45 数学运用 例 数学运用 数学运用 例3 分析 由公式cos(+)=coscos sinsin 可知， 欲求cos(+)，应先计算cos，sin 的值。 解 由 ，得 又由 ，得 由余弦的和角公式得 cos(+)=coscos sinsin 1 利用两角和(差)的余弦公式证明： ； ； BACK 2 利用两角和(差)的余弦公式化简： （1） cos78cos33+ sin78sin33； （2） cos 780sin570 + sin780sin330； （3） cos (600+)+cos (600 - ). BACK 数学运用 (3)cos 3 (1)已知 ，求 的 值。 B
8、ACK (2).在ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,则ABC是 ( ). (A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)锐角三角形 (D)不确定. 4 化简： （1）cos58sin37+sin122sin53； （2） cos () cos (+) sin ( ) sin (+) . BACK 5 已知 ，求 的值。 BACK 6 已知 ，求 的值。 BACK cos(+)= coscos - sinsin 简记为C（+） cos(-)= coscos + sinsin 简记为C（-） 作业：P150 A组 1（1）、（3）； 3； 4. 小结 同学们再见 ! 在平面直角坐标系xO
9、y内,作单位圆,并作 、 和角,使角的始边为Ox，交圆O于P1, 终边交圆O于P2;角的始边为OP2,终边交圆O于 P3; 角的始边为OP1,终边交圆O于P4; 此时,P1.P2.P3.P4的坐标分别为P1(1,0) , P2(cos,sin), P3(cos(+),sin(+) ), P4(cos(), sin(). 由P1P3 = P2P4及两点间距离公式, 得： cos(+)1+sin(+)=cos()cos+sin()sin . 整理得: cos(+)=coscossinsin. 证明:如图所示 cos(+)=coscossinsin cos(+)=coscossinsin 公式的结构特征: 左边是复角+ 的余弦,右边是单角、 的余弦积与正弦积的差. 将 替换为 cos()=coscos+sinsin 简记： cos()=coscos+sinsin 公式的结构特征: 左边是复角+的余弦,右边是单角、 的余弦积与 正弦积的和. 简记： 两角和与差的余弦公式：
