理论力学动力学普遍定理.

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1、理论力学1中南大学土木工程学院 一、质点系的质心 10-1 质点系的质心 内力与外力 在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用确定重心 的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质 心比重心具有更加广泛的力学意义。 y C x z O yC xC zC rC ri i 质心C点的位置 ： 质点系的质量中心称为质心。是表示 质点系质量分布情况的一个重要概念。 理论力学2中南大学土木工程学院 内力：质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零， 内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即 ： 二、质点系的内力与外力 外力：质点系以外的物体作

2、用于该质点系中各质点的力。 理论力学3中南大学土木工程学院 转动惯量的计算 解： 1、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用） 例均质细直杆长为l ，质量为m。求杆对z轴的转动惯量Jz 及对z1 轴的转动惯量Jz1 。 z dx x xO l z1 dxx x C 理论力学4中南大学土木工程学院 设细圆环的质量为m，半径为R。则 均质薄圆环对于中心轴的转动惯量 均质圆板对于中心轴的转动惯量 设圆板的质量为m，半径为R。将圆板分为无数同 心的薄圆环，任一圆环的质量为dm=g 2prdr，g =m/pR2，于是圆板转动惯量为 理论力学5中南大学土木工程学院 由 所定义的长度rz称为刚体对 z 轴

3、的回转半径。 对于均质刚体，rz仅与几何形状有关，与密度无关。对 于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的Jz和rz，以供参考。 2、回转半径 理论力学6中南大学土木工程学院 3、平行移轴定理 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积 。 zCz y d x mi C O zi xi riCri yi xC yiC 刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。 理论力学7中南大学土木工程学院

4、动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运 动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运 动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量动能和作用 力的物理量功之间的联系，这是一种能量传递的规律。 力的功是力沿路程累积效应的度量。 时，正功； 时，功为零； 时，负功。 功的单位：焦耳（）； 一、常力的功(力是常矢量) F M1 M2 s 12-1 力的功 功是代数量。 理论力学8中南大学土木工程学院 二、变力的功 力F 在曲线路程 中作功为 设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，力F在微小弧 段上所作的功称为力的元功，记为dW，于是有 自然法表示的 功的计算公式 上两式可写成矢量点

5、乘积形式 矢径法表示的 功的计算公式 M M1 M2 ds M dr F 直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。 理论力学9中南大学土木工程学院 三、常见力的功 质点系 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心 高度差的乘积，而与各质点运动的路径无关。 代入功的解析表达式得 1、重力的功 M1 M2 M mg z1 z2 O x y 力学10中南大学土木工程学院 有限变形下弹性力的功只与 弹簧的初始变形和末变形有 关，与力作用点的路径无关 。 2、弹性力的功 (指有限变形下弹性力的功，与弹簧两端点位置无关) 弹簧原长l0 ，作用点的轨迹为图示曲线A1A2。在弹性极限内

6、k弹簧的刚性系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力(N/m)。 初变形 末变性 A1 A2 r2 r1 d1 d2 l0 O r0 r A d F A0 dr 理论力学11中南大学土木工程学院 O z O1 A 设作用在定轴转动刚体上A点的力为F， 将该力分解为Ft、Fn和Fb 。 当刚体转动时，转角与弧长s的关系为 R为点A到轴的垂距。力F 的元功为 Ft F r Fb Fn 力F在刚体从角1转到2所作的功为 3、作用于定轴转动刚体上的力的功，力偶的功 作用面垂直转轴的常力 偶M，则力偶作的功为 理论力学12中南大学土木工程学院 法向力FN，静摩擦力FS作用于瞬心C处，而瞬心的位移 (2)

7、圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功。 (1) 动滑动摩擦力的功 FN=常量时，W= f FNs，与质点的路径有关。 圆轮沿固定面作纯滚动时， 摩擦力是静摩擦力，不作功! 4、摩擦力的功 FN FS C P R O 理论力学13中南大学土木工程学院 5、质点系内力的功 只要A、B两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零 。 刚体内力功之和等于零，不可伸长的绳索内力功之和等 于零，但变形体内力功之和不为零，例如弹簧的功不为零。 6、任意运动刚体上力系的功 结论1：任意运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力 作功的代数和。 结论2：任意运动刚体上力系的功，也等于力系向任一点 简化所得的力与力偶

8、作功之和。 (虚位移原理用) O A B rA rB F F 理论力学14中南大学土木工程学院 约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 4、柔性约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。 1、光滑固定面约束 dr FN 3、刚体沿固定面作纯滚动 FN FS C 四、理想约束力的功 2、联接刚体的光滑铰链（中间铰） dr FRFR 理论力学15中南大学土木工程学院 物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运 动强弱的又一种度量。 瞬时量，恒为正，具有与功相同的量纲，单位也是J(焦耳)。 对于任一质点系：（viC 为第i个质点相对质心的速度） 柯尼希定理 一、质点的

9、动能 二、质点系的动能 12-2 动 能 理论力学16中南大学土木工程学院 （P为速度瞬心） 3、平面运动刚体 三、刚体的动能 2、定轴转动刚体 1、平移刚体 只能对瞬心和质心用，对其它点不存在类似的公式。 d 质心C 瞬心P 理论力学17中南大学土木工程学院 均质圆盘在平板上 作纯滚动时的动能 v C vC 均质圆盘在地面上 作纯滚动时的动能 C vC 理论力学18中南大学土木工程学院 P 为AB杆的瞬心 解 ： 例均质细杆长为l，质量为m1，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰链 与质量为m2、半径为R且放在粗糙地面上的均质圆柱中心相连，圆柱作 纯滚动，杆与水平线的夹角为 ，若圆柱中心速度为v

10、A，求系统的动能 。 vA A B C PAB 理论力学19中南大学土木工程学院 解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为 速度合成矢量图如图，由余弦定理有 ： 则杆的动能 例如图滑块A以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一质 量为m，长为 l 的均质杆AB，杆以角速度 绕A转动 。 试求当杆AB与铅垂线的夹角为 时，杆的动能。 B vA A B vA A C vC vA vCA 理论力学20中南大学土木工程学院 质点系动能定理的积分形式 在理想约束的条件下，质点系的约束力不作功，但质点系 的内力作功之和并不一定等于零，例如弹簧在系统内作功 。 一、质点系的动能定理 质点系在一段运动过程中动能的改变

11、量，等于作用于质 点系全部力在此过程中所作功的和。对理想约束，等于 全部主动力所作功的和。当可以求出任意位置的动能和功的 表达式时，利用上式求导可求加速度或角加速度。 12-3 动能定理 理论力学21中南大学土木工程学院 例已知均质圆盘质量为m，半径为R，摩擦因数为 f ，斜面倾角为 。求 纯滚动时盘心的加速度。 C FN mg vC FS 解：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下 产生位移 s 时速度达到vC。 s 力的功： 由动能定理得： 上式两边对时间求导得： 理论力学22中南大学土木工程学院 II 解：取整个系统为研究对象 T1=0 根据动能定理，得 将式对t求导数，得 例水平面上行星齿

12、轮机构的曲柄OA受力偶M作用而绕固定水平轴O转动 ，并带动齿轮在固定齿轮上滚动如图所示。设曲柄OA为均质杆，长l 、质量为m1；齿轮为均质圆盘，半径r 、质量为m2。试求曲柄的角速度 及角加速度。P321，12-12 O A M vA 理论力学23中南大学土木工程学院 例图示系统中，均质圆盘A、B各重P，半径均为R，两盘中心线为水平线 ，重物D重Q，盘A上作用有常力偶矩M。问下落距离h时重物的速度 与加速度。(不可伸长的绳不计自重，盘B作纯滚动，初始时系统静止) AB CO M D 解：取系统为研究对象，设重物 速度为 v，加速度为a。 Q v a C A B 理论力学24中南大学土木工程学院

13、 上式两边求导得： 由动能定理 Q v a AB CO M D C AB 理论力学25中南大学土木工程学院 解：选系统为研究对象，受力如图 。 运动学关系： 由动能定理：对求导，得 例均质圆盘A质量m，半径r；滑块B质量m，通过质量不计、平行于斜面 的杆AB连接。斜面倾角为，动摩擦因数为 f，圆盘作纯滚动，系统初始静 止。求滑块B的加速度及杆的内力。P326、综-21 A B mg FNA mg FNB FSA FB s 设A移动s，则 杆的内力用质心运动定理求解 理论力学26中南大学土木工程学院 例卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径 为R1，质量为m1，质量分布在轮

14、缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量 均匀分布。设斜坡的倾角为，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求 圆柱中心C经过路程s 时的速度和加速度。 M O C R1 R2 解：以系统为研究对象，受力如图。 系统在运动过程中所有力所作的功为 系统在初始及终了两状态的动能分别为 FN m1g FOx FOy m2g FS 其中 1 2 理论力学27中南大学土木工程学院 于是 由得 解之得 M O C R1 R2 FN m1g FOx FOy m2g FS 1 2 动能定理求导得 由于斜面不一定通过O点，所以系统不能用对点O的动量矩定理求解 。 理论力学28中南大学土木工程学院 A B 求下落时B的

15、加速度 AB 求初瞬时杆的角加速度 A F B C 求初瞬时两杆的角加速度 此类求加速度问题，之所以一般位置的动能及功的表达式不好列出，是 因为这类问题是两个“自由度”的问题，而动能定理只有一个方程，无法 求两个自由度的问题。若补充其它动力学方程又会出现未知的约束力。 对于一个自由度的问题，动能定理一般可以求解！前面用动能定理求加 速度的问题都是一个自由度的问题。两个自由度的问题可用动量定理及 动量矩定理或达朗贝尔原理求解！ 理论力学29中南大学土木工程学院 解：以任意位置的杆AB为研究对象，受力如图。 杆作平面运动，设任意位置时杆的角速度和 角加速度分别为和a。 例质量为m长为l 的均质杆，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿 着铅垂墙壁，从0角无初速地滑下，不计摩擦。求：(1)杆在任意位置时的 角速度和角加速度；(2)开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束力；(3)杆 脱离墙时，杆与水平面所夹的角。P283，11-15，P326综-18 O x y A B C FB mg FA a 杆的动能，T1=0 系统只有重力mg作功 由 得 两边对时间求导，并注意可得 理