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1、Mathematics Laboratory 阮小娥博士 Experiments in Mathematics 赵小艳 数学实验 办公地址：理科楼218 实验13 人口预测与数据拟合 2、了解利用最小二乘法进行 数据拟合的基本思想，掌握 用数据拟合法寻找最佳拟合 曲线的方法。 3、了解多元函数的极值在 数据拟合法中的应用。 实验目的 1、学会用MATLAB软件进行数 据拟合。 4、通过对实际问题进行分 析研究，初步掌握建立数 据拟合数学模型的方法。 据人口统计年鉴，知我国从1949 年至1994年人口数据资料如下： (人口数单位为：百万) （1）在直角坐标系上作出人口数的图象。 （2）建立人口
2、数与年份的函数关系，并估算1999年 的人口数。 实验问题 年份 1949 1954 1959 1964 1969 人口数 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 年份 1974 1979 1984 1989 1994 人口数 908.59 975.42 1034.75 1106.76 1176.74 如何确定a,b? 线性模型 1 曲线拟合问题的提法: 已知一组（二维）数据，即平面上的n个点),( ii yx， i xni, 2 , 1L=互不相同，寻求一个函数（曲线）)(xf y = ， 使)(xf在观测点x处所取得值f(x)分别与观察值y在某种 x y 0
3、+ + + + + + + + 一、曲线拟合 准则下最为接近，即曲线拟合得最好，如图 从几何上讲，并不要求曲线严格通过已知点，但 要求曲线在各数据点和已知数据点之间的总体误 差最小，通常称为数据拟合。 达到最小。 最小二乘准则 而我们经常是确定f(x)使得偏差平方和 数据插值 已知一组（二维）数据，即平面上的n个点),( ii yx， i xni, 2 , 1L=互不相同，寻求一个函数（曲线）)(xf y = 数据插值 . 用什么样的曲线拟合已知数据? 常用的曲线函数系ri(x)类型： ）画图观察； ）理论分析 指数曲线： 双曲线（一支): 多项式： 直线： 例如 指数函数拟合 三角函数拟合
4、多项式拟合 拟合函数组中系数的确定 4 用matlab软件进行数据拟合 （1）lsqcurvefit命令-最小二乘拟合 a= lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata) a,resnorm=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata) 是根据给定的数据xdata,ydata，按照函 数文件fun给定的函数，以x0为初值做最小 二乘拟合，返回函数中的系数向量a和残差 平方和resnorm。 例 首先编写函数文件 function y=f(a,x) f=a(1)*exp(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3 保存为f.m，其次调用该函数 x=0:0.1:1
5、; y=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17; a0=0 0 0; x,resnorm=lsqcurvefit(f,a0,x,y) 也可以用inline命令定义函数 x=0:0.1:1; y=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.1 7; f=inline(a(1)*exp(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3,a,x); a0=0 0 0; a,resnorm=lsqcurvefit(f,a0,x,y) plot(x,y,*) hold on g=a(1)*exp
6、(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3; plot(x,g,r-) a = polyfit(xdata,ydata,n) w其中n表示多项式的最高阶数 wxdata，ydata 为要拟合的数据，它是用向 量的方式输入。 w输出参数a为拟合多项式 y = anxn + + a1x + a0的系数a = an, , a1, a0。 w多项式在x处的值y可用下面程序计算。 y = polyval (a, x) 由于高次多项式曲线变化不稳定，所以多项式次数的选取不 宜过高。 (2) polyfit命令-多项式曲线拟合 例如 clear;clc; x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978
7、3.28 6.16 7.08 7.34 7.66,9.56,9.48,9.3,11.2; plot(x,y,k.,markersize,25); axis(0 1.3 -2 16); p3=polyfit(x,y,3) p6=polyfit(x,y,6) t=0:0.01:1.2; s=polyval(p3,t); s1=polyval(p6,t); hold on plot(t,s,r-,linewidth,2); plot(t,s1,b-,linewidth,2); grid 二、人口预测线性模型 对于开始提出的实验问题, 代如数据，计算得 从而得到人口数与年份的函数关系为 把x=1999
8、代如，估算出1999年的人口数为 y=1252.1（百万）12.52亿 1999年实际人口数量为.亿。 线性预测模型 英国统计学家Malthus于1798年提出了一种关于 生物种群繁殖的指数增长模型：假设种群数量的增 长率与该时刻种群的个体数量成正比。 三、人口预测的Malthus模型 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 x(t) 时刻t 的人口, t=0时人口数为x0 指数增长模型 实际中，常用 1. 由前100年的数据求出美国的人口增长Malthus模型。 2. 预测后100年（每隔10年）的人口状况。 3. 根据预测的人口状况和实际的人口数量,讨论人 口模型的改进情况。 美国1
9、790年1980年每隔10年的人口记录 226.5204.0179.3150.7131.7123.2106.5 92.076.062.9 人口( 百万) 1980197019601950194019301920191019001890年份 50.238.631.423.217.112.99.67.25.33.9 人口( 百万) 1880187018601850184018301820181018001790年份 例 解： 取得最小值.其中, 表示人口数量 。 表示年份, 解方程组: 即得参数的值. 使得问题转化为求参数 % This program is to predict the numb
10、er of population % format long t1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;187 0;1880; t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;197 0;1980; x1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50. 2; x2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179. 3;204.0;226.5; lnx1=log(x1); lnx2=log(x2); a12=sum(t1);a11=10
11、;a21=a12;a22=sum(t1.2); d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1); A=a11,a12;a21,a22;D=d1;d2; ab=inv(A)*D; disp(a=);disp(ab(1); disp(b=);disp(ab(2); for i=1:10 xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i); end for i=1:10 xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i); end plot(t1,x1,r*-, t2,x2,r*-, t1,xx1,b+-,t2,xx2,b+-， linewidth,3,markersize,
12、10); a= -49.79535457790735 b=0.02859807120038 仿真结果表明 ： 人口增加的 指数模型在短 期内基本上能 比较准确地反 映人口自然增 长的规律，但 长期预测误差 很大，需要修 正预测模型。 拟合曲线 原始数据曲线 四、人口预测的Logistic模型 如果人口的增长符合Malthus模型，则当 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 1838年，荷兰生物学家Verhulst对Malthus模型作 了进一步分析后指出：导致上述不符合实际情况的 主要原因是未能考虑“密度制约”因素。 即最终导致地球上人口爆炸，这与实际
13、是不相符的。 且阻滞作用随人口数量增加而变大r是x的减函数 假设r固有增长率(x很小时) k人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） 例的Logistic模型留给同学们练习 a =1.0e+006 * -0.00000000000014 0.00000000107892 -0.00000304878595 0.00381927346813 -1.79012132225427 红色的是原始数据曲线 蓝色的是4次多项式拟合曲线 仿真结果表明, 人口增加的模型用多项式拟合能 比较准确地反映人口自然增长的规律，对长期预 测具有指导意义。 五、人口预测的多项式模型 -zhao105 例2: 海底光缆线长度
14、预测模型 某一通信公司在一次施 工中,需要在水面宽为 20m的河沟底沿直线走 向铺设一条沟底光缆. 在铺设光缆之前需要对 沟底的地形做初 B 2 4 6 8 1012 14 16 18 20 9 8 6 4 2 0 A D C 探测到一组等分点位置的深度数据如下表所示. 25 步探测,从而估计所需光缆的长度,为工程预算 提供依据.基本情况如图所示. 10.9310.809.818.867.957.959.1510.2211.2912.6113.32 2019181716151413121110 13.2812.2611.1810.13 9.058.027.967.968.969.01深度 (m
15、) 9876543210分点 21个等分点处的深度 (1) 预测通过这条河沟所需光缆长度的近似值. (2) 作出铺设沟底光缆的曲线图. 解： 用12次多项式函数拟合光缆走势的曲线图如下 仿真结果表 明,拟合曲线 能较准确地 反映光缆的 走势图. The length of the label is L= 26.3809 (m) 假设所铺设的光缆足够柔软,在铺设过程中光缆触地 走势光滑,紧贴地面,并且忽略水流对光缆的冲击. % prog45.m This program is to fit the data by polynomial % format long t=linspace(0,20,21); x=linspace(0,20,100); P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.2 8,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.8 0,10.93; a,s=polyfit(t,P,12); yy=polyval(a,x); disp(yy=);disp(yy); plot(x,yy,r*-,t,P,b+-); L=0; fo
