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1、第二章 流体静力学 本章研究的问题: 流体处于静止状态下的力学规律及 其在工程中的应用。 思考1 u挡水墙的静水压强按什么规律分布? u挡水墙所受的总压力是多少? 思考 2 u提升闸门需要多大的力? 思考3 u珠穆朗玛峰顶上的压强只有0.3个大气压,空气密 度只有海平面空气密度的0.4倍。这是为什么? 思考 4 u海面下108m深处水的压强是多少? 2-1 流体静压强的特性 本节研究的问题: u静止流体的应力有什么特征? 流体静压强具有两个基本特性: 特性一: 静止的流体不能承受拉应力,只能承受压应力 (压强)。 流体静压强的方向为受压面的内法向。 静止流体内部的压强称为流体静压强。 流体静止
2、时,表面力只有压应力(压强),切应力为零。 特性二: 静止流体内部任一点各个方向的压强值的大 小相等。 (下面证明) u我们证明,当图中的四面 体缩成一点时,四个面上 的压应力相等。 作用在四面体内的流体 的外力和为零。 其静力平衡方程为: 2-2 流体静止的微分方程 u边长分别为dx,dy,dz的微元平行六面体受表面力和质 量力的共同作用而保持静止。 x方向的静力平衡: u微元体的中心为A点,左 表面的中心为B点,右表 面的中心为C点。 A点的 压强为p(x,y,z)。 一.流体静止的微分方程: 同理: 这就是流体静止的微分方程(亦称 Euler平衡微分方程) 。它反映了流体处于静止状态时,
3、单位质量流体所受的质量 力与表面力彼此平衡。 等压面方程: 等压面的定义:流体中压强相等的点所组成的面。 二.等压面: 流体中,两个相邻点的压强差为: 上式表明:流体质点沿等压面作任意位移时,质 量力所做的功为零。 故:等压面与质量力正交。 三.质量力有势的概念: 如果: 则: 在重力场中: 2-3 静止液体的压强分布 均质液体=常数,质量力只有重力。 一.水静力学基本方程: 取Z轴为海拔高度方向,则: 即:在重力场中,处于静止(平衡)状态的 不可压缩液体内部,等压面就是等高面。 二.压强的计量单位和表示方法: 1.压强的计量单位: 1)、应力单位: N/m2 (Pa),或 KN/m2 (Kp
4、a)。 2)、大气压的倍数:标准大气压,工程大气压。 3)、液柱高度表示:米水柱(mH2O) 或毫米水银柱(mmHg)。 u1标准大气压 = 10.33米水柱= 760 mmHg = 10.13104 N/m2 u1工程大气压 = 10米水柱= 735 mmHg = 9.8104 N/m2 2.绝对压强,相对压强,真空度: 绝对压强的定义: 相对压强的定义: 真空度(真空压强、真空值)的定义: 以绝对真空作为零点计量的压强值,称为绝对压强。 以当地大气压作为零点计量的压强值,称为相对压强。 当液体中某点的绝对压强小于当地大气压时,当地大气压 与该点绝对压强的差值,称为该点的真空度。 三.水静力
5、学基本方程的物理意义和几何意义: 1.物理意义: uZ单位重量液体所具有的位置势能(相对于某基准面)。 up/单位重量液体所具有的压强势能。 uZ+p/单位重量液体所具有的总势能。 若用p表示液体内部某一点的绝对压强 ,pa表示当地大气压的绝 对压强值。则: 该点的相对压强(表压强):ppa 该点的真空度(真空压强 ):pap (当p pa 时) u方程的物理意义:静止液体内部任一点的单位重量液体 所具有的位置势能和压强势能之和为常数。 测压管液柱高度: 2.测压管: 用开口管测压强,液柱高度为: 用真空管测压强,液柱高度为: 3.几何意义: 方程的几何意义:静止液体中任一点的位置水头和压 强
6、水头之和为常数。 uZ液体中某点相对于某基准面的位置高度,称为位置水 头(单位:m)。 up/压强水头(单位:m)。 uZ+p/测压管水头(p为相对压强)。 工程中的测压管都是开口管。 2-4 液柱式压差计 点1的压强:p1 界面3的压强: 界面4的压强: 一.U形管压差计: 点2的压强: 二.形管(倒U形管)压差计: 例1:用复式水银压差计测量密 封容器内水面的相对压强,如图 所示。已知:水面高程z0=3m,压 差计各水银面的高程分别为 z1=0.03m, z2=0.18m, z3=0.04m, z4=0.20m,水银密度 =13600kg/m3,水的密度 =1000kg/m3。试求水面的相
7、对 压强p0。 (书上P29的例2- 2) 解: 例2:用如图所示的倾斜微压计测 量两条同高程水管的压差。该微压 计是一个水平倾角为的形管。 已知测压计两侧斜液柱读数的差值 为L=30mm,倾角 = 30,试求压 强差p1 p2 。 (书上P29的例2- 3) 解: 例3:用复式压差计测量两条气体管道的压差(如图所示) 。两个U形管的工作液体为水银,密度为2 ,其连接管充以 酒精,密度为1 。如果水银面的高度读数为z1 、 z2 、 z3 、 z4 ,试求压强差pA pB。 解: 点1 的压强 : pA 2-5 静止大气压强分布 一.国际标准大气: 国际标准大气的定义: 1、基准面: 国际标准
8、大气取海平面为基准面: u海平面上的大气参数: T0 =15C = 288K, u0 = 1.225 kg/m, p0 = 101325 Pa(760mmHg)。 2、对流层: u对流层大气温度的变化:海拔高度每增加1000m,大气温 度降低6.5度,即 T = T0 - 0.0065z = T0 - Z u大气服从状态方程:p = RT 从海平面到海拔11km的高空为对流层。 3、同温层: 从海拔11km到25km的高空为同温层。 同温层中,大气的温度保持不变。为: 二.对流层的压强分布: 4、电离层: 海拔25km以上的高空为电离层。 取:g = 9.807m/s, = 0.0065K/m
9、, R = 287 Nm/KgK,T0 = 288K。 则: 作业:P50-51,第4题、第6题。 2-6 静止液体作用在平面上的合 力 确定液体作用在平面上的总压力的大小、方向和作用点。 1.合力的大小: 一.解析法: 合力的方向为受压面的内法向。 2.合力的方向: u平面所受的液体总压力的大小 F ,等于平面形心处的 压强乘以平面的面积。 u上式的应用条件:1)常密度液体;2)质量力仅为重力 ;3)液体表面相对压强为零;4)受压面只有一侧有液 体。 3.合力的作用点(即压力中心)D: u由于工程实际中的受压面都是轴 对称平面,合力的作用点(即压 力中心)D必在对称轴上,只需 yD即可确定
10、D点的位置。 方法:合力矩定理。 1).矩形平板: 2).圆形平板: 4.两种对称平面图形的Jcx之值: 二.图解法: u1).合力F的大小等于压 强分布体的体积,即 F = b; u2).合力F的方向为垂直 指向受压面; u3).合力F的作用线通过 压强分布体的形心,作 用线与受压面的交点即 为D点。 主要适用于矩形受压平面,利用受压面的相对压强分布 图来求解。 由水静力学基本方程知:受压平面上的相对压强呈线性分布。 例4:已知:一块平板宽为 B,长为L,倾角,顶端 与水面平齐。求:总压力及作用点。 总压力: 解: 压力中心D: 方法一: 方法二: 例5:如图:已知一平板,长 L,宽B,安装
11、于斜壁面上, 可绕A转动。已知L,B,L1, 。求:启动平板闸门所需 的提升力F。 (书上P35的例2-6) 解: 解: 例6:平板AB,可绕A转动。长 L=2m,宽 b=1m, =60, H1=1.2m,H2=3m。为保证平板 不能自转,求自重G。 (书上P3536的例2-7 ) 例7:与水平面成45倾角的矩形闸门AB (图1),宽1m,左侧 水深h1 = 3m,右侧水深h2 = 2m。试用图解法求作用在闸门上 的静水总压力的大小和作用点。 解:如图2所示,作出闸门两侧的静水压 强分布图,并将其合成。 图1 图2 设合力距A点的距离为l,则由合力矩定理: 图2 静水总压力: 即,静水总压力距
12、A点的距离为2.45m。 2-7 静止液体作用在曲面上的合力 讨论静止液体作用在二向曲面上的总压力: u二向曲面(二元曲面)为具有平行母线的柱面。 1.合力的大小: 一.静止液体作用在二向曲面上的总压力: 作用在二向曲面A上的液 体总压力 F 的水平分力Fx等 于作用在该曲面的垂直投影 面Ax上的液体总压力。 合力: 2.合力的方向: Fx的方向为Ax的内法向(垂直指向Ax )。 Fz的方向: u当液体与压力体位于受压曲面的同一侧时,Fz的 方向向下; u当液体与压力体各在受压曲面的一侧时,Fz的方 向向上。 二.压力体的绘制: 压力体是由受压曲面、液体的自由表面或自由表面的延长 面、过曲面周
13、边的铅直面所围成的空间形体。 1.压力体的周界: 2.复杂曲面压力体的绘制: 将复杂曲面先分割成若干个简单曲面(单侧曲面),分别 绘制每个简单曲面的压力体,然后将这些压力体迭加。 举例: u如图巨石挡水。 FZ= (Vebcf - Veba)= Vabcf 例8:如图,一挡水弧形闸 门,宽度为b(垂直于黑板 ),圆心角为 ,半径为R ,水面与绞轴平齐。试求静 水压力的水平分量Fx与铅垂 分量Fz 。 (书上P38的例2-9) 解: 压力体如图所示: 例9:一球形容器由两个半球铆接而成( 如图1所示),铆钉有n个,内盛重度为 的液体,求每一铆钉所受的拉力。 显然,由于ABC在yoz平面上的两个投
14、影 面大小相等、方向相反,故x方向上的静 水总压力 Px = 0 ;同理 Py = 0 。 即:ABC仅受铅垂方向的静水总压力 Pz = Vp 而 : 图1 图2 解:建立坐标系xoyz,取球形容器的上半 球面ABC作为研究对象,如图2所示。 Pz方向铅垂向上,即铆钉受拉力。 图2 每一铆钉所受的拉力为: 作业:P52,第17题、第19题 。 2-8 液体的相对静止 一.作水平等加速运动液体的相对平衡: 1.液体中任一点p的计算式: 液体随容器作等加速度运动,液体内部没有相对运动, 处于相对平衡状态。 分析单位质量力: 坐标系oxyz 固定在小车上, 与小车上一起运动。 2.等压面方程: 3.
15、液体的自由表面方程: 液体的自由表面亦为等压面,且过坐标原点。 把x = 0, z = 0代入(2),有:C = 0。 可见,等压面为一族倾斜的平面。 可见,水静力学的基本方程亦适用于作水平等加速运 动容器中液体处于相对平衡的情形。 将上式代入(1),可得: 二.等角速旋转容器中液体的相对平衡: 液体随容器作等角速度旋转运动,液体内部没有相对 运动,处于相对平衡状态。 坐标系oxyz 固定在容器上, 与容器一起旋转。 分析单位质量力: 1.液体中任一点p的计算式: 2.等压面方程: 在等压面上,p = C1。代入(1),有: 可见,等压面为一族绕中心轴(Z轴)的旋 转抛物面。 3.液体的自由表面方程: 液体的自由表面亦为等压面,且过坐标原点。把 r = 0,z = 0 代入(2),有:C = 0。 将上式代入(1),可得: 可见,水静力学的基本方程亦适用于作等角速度旋转 容器中液体处于相对平衡的情形。 可见,水静力学的基本方程亦适用于作等角速度旋转 容器中液体处于相对平衡的情形。 例10:用离心铸造机铸造车