水力学第2章流体静力学.

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1、第二章 流体静力学 本章研究的问题： 流体处于静止状态下的力学规律及 其在工程中的应用。 思考1 u挡水墙的静水压强按什么规律分布? u挡水墙所受的总压力是多少? 思考 2 u提升闸门需要多大的力? 思考3 u珠穆朗玛峰顶上的压强只有0.3个大气压，空气密 度只有海平面空气密度的0.4倍。这是为什么? 思考 4 u海面下108m深处水的压强是多少? 2-1 流体静压强的特性 本节研究的问题： u静止流体的应力有什么特征? 流体静压强具有两个基本特性： 特性一: 静止的流体不能承受拉应力，只能承受压应力 （压强）。 流体静压强的方向为受压面的内法向。 静止流体内部的压强称为流体静压强。 流体静止

2、时，表面力只有压应力(压强)，切应力为零。 特性二: 静止流体内部任一点各个方向的压强值的大 小相等。 (下面证明) u我们证明，当图中的四面 体缩成一点时，四个面上 的压应力相等。 作用在四面体内的流体 的外力和为零。 其静力平衡方程为： 2-2 流体静止的微分方程 u边长分别为dx,dy,dz的微元平行六面体受表面力和质 量力的共同作用而保持静止。 x方向的静力平衡： u微元体的中心为A点，左 表面的中心为B点，右表 面的中心为C点。 A点的 压强为p(x,y,z)。 一.流体静止的微分方程： 同理： 这就是流体静止的微分方程(亦称 Euler平衡微分方程) 。它反映了流体处于静止状态时，

3、单位质量流体所受的质量 力与表面力彼此平衡。 等压面方程： 等压面的定义：流体中压强相等的点所组成的面。 二.等压面： 流体中，两个相邻点的压强差为： 上式表明：流体质点沿等压面作任意位移时，质 量力所做的功为零。 故：等压面与质量力正交。 三.质量力有势的概念： 如果： 则： 在重力场中： 2-3 静止液体的压强分布 均质液体=常数，质量力只有重力。 一.水静力学基本方程： 取Z轴为海拔高度方向，则： 即：在重力场中，处于静止（平衡）状态的 不可压缩液体内部，等压面就是等高面。 二.压强的计量单位和表示方法： 1.压强的计量单位： 1）、应力单位： N/m2 (Pa)，或 KN/m2 (Kp

4、a)。 2）、大气压的倍数：标准大气压，工程大气压。 3）、液柱高度表示：米水柱(mH2O) 或毫米水银柱(mmHg)。 u1标准大气压 = 10.33米水柱= 760 mmHg = 10.13104 N/m2 u1工程大气压 = 10米水柱= 735 mmHg = 9.8104 N/m2 2.绝对压强，相对压强，真空度： 绝对压强的定义： 相对压强的定义： 真空度（真空压强、真空值）的定义： 以绝对真空作为零点计量的压强值，称为绝对压强。 以当地大气压作为零点计量的压强值，称为相对压强。 当液体中某点的绝对压强小于当地大气压时，当地大气压 与该点绝对压强的差值，称为该点的真空度。 三.水静力

5、学基本方程的物理意义和几何意义： 1.物理意义： uZ单位重量液体所具有的位置势能（相对于某基准面）。 up/单位重量液体所具有的压强势能。 uZ+p/单位重量液体所具有的总势能。 若用p表示液体内部某一点的绝对压强 ，pa表示当地大气压的绝 对压强值。则： 该点的相对压强（表压强）：ppa 该点的真空度（真空压强 ）：pap (当p pa 时） u方程的物理意义：静止液体内部任一点的单位重量液体 所具有的位置势能和压强势能之和为常数。 测压管液柱高度： 2.测压管： 用开口管测压强，液柱高度为： 用真空管测压强，液柱高度为： 3.几何意义： 方程的几何意义：静止液体中任一点的位置水头和压 强

6、水头之和为常数。 uZ液体中某点相对于某基准面的位置高度，称为位置水 头（单位：m）。 up/压强水头（单位：m）。 uZ+p/测压管水头（p为相对压强）。 工程中的测压管都是开口管。 2-4 液柱式压差计 点1的压强：p1 界面3的压强： 界面4的压强： 一.U形管压差计： 点2的压强： 二.形管（倒U形管）压差计： 例1：用复式水银压差计测量密 封容器内水面的相对压强，如图 所示。已知：水面高程z0=3m,压 差计各水银面的高程分别为 z1=0.03m, z2=0.18m, z3=0.04m, z4=0.20m,水银密度 =13600kg/m3，水的密度 =1000kg/m3。试求水面的相

7、对 压强p0。 (书上P29的例2- 2) 解： 例2：用如图所示的倾斜微压计测 量两条同高程水管的压差。该微压 计是一个水平倾角为的形管。 已知测压计两侧斜液柱读数的差值 为L=30mm，倾角 = 30，试求压 强差p1 p2 。 (书上P29的例2- 3) 解： 例3：用复式压差计测量两条气体管道的压差（如图所示） 。两个U形管的工作液体为水银，密度为2 ，其连接管充以 酒精，密度为1 。如果水银面的高度读数为z1 、 z2 、 z3 、 z4 ，试求压强差pA pB。 解： 点1 的压强 ： pA 2-5 静止大气压强分布 一.国际标准大气： 国际标准大气的定义： 1、基准面： 国际标准

8、大气取海平面为基准面： u海平面上的大气参数： T0 =15C = 288K, u0 = 1.225 kg/m, p0 = 101325 Pa(760mmHg)。 2、对流层： u对流层大气温度的变化：海拔高度每增加1000m，大气温 度降低6.5度，即 T = T0 - 0.0065z = T0 - Z u大气服从状态方程：p = RT 从海平面到海拔11km的高空为对流层。 3、同温层： 从海拔11km到25km的高空为同温层。 同温层中，大气的温度保持不变。为： 二.对流层的压强分布： 4、电离层： 海拔25km以上的高空为电离层。 取：g = 9.807m/s， = 0.0065K/m

9、， R = 287 Nm/KgK，T0 = 288K。 则： 作业：P50-51，第4题、第6题。 2-6 静止液体作用在平面上的合 力 确定液体作用在平面上的总压力的大小、方向和作用点。 1.合力的大小： 一.解析法： 合力的方向为受压面的内法向。 2.合力的方向： u平面所受的液体总压力的大小 F ，等于平面形心处的 压强乘以平面的面积。 u上式的应用条件：1）常密度液体；2）质量力仅为重力 ；3）液体表面相对压强为零；4）受压面只有一侧有液 体。 3.合力的作用点(即压力中心）D： u由于工程实际中的受压面都是轴 对称平面，合力的作用点(即压 力中心）D必在对称轴上，只需 yD即可确定

10、D点的位置。 方法：合力矩定理。 1).矩形平板： 2).圆形平板： 4.两种对称平面图形的Jcx之值： 二.图解法： u1).合力F的大小等于压 强分布体的体积，即 F = b； u2).合力F的方向为垂直 指向受压面； u3).合力F的作用线通过 压强分布体的形心，作 用线与受压面的交点即 为D点。 主要适用于矩形受压平面，利用受压面的相对压强分布 图来求解。 由水静力学基本方程知：受压平面上的相对压强呈线性分布。 例4：已知：一块平板宽为 B，长为L，倾角，顶端 与水面平齐。求：总压力及作用点。 总压力： 解： 压力中心D： 方法一： 方法二： 例5：如图：已知一平板，长 L，宽B，安装

11、于斜壁面上， 可绕A转动。已知L，B，L1， 。求：启动平板闸门所需 的提升力F。 （书上P35的例2-6） 解： 解： 例6：平板AB,可绕A转动。长 L=2m，宽 b=1m, =60， H1=1.2m，H2=3m。为保证平板 不能自转，求自重G。 （书上P3536的例2-7 ） 例7：与水平面成45倾角的矩形闸门AB (图1)，宽1m，左侧 水深h1 = 3m，右侧水深h2 = 2m。试用图解法求作用在闸门上 的静水总压力的大小和作用点。 解：如图2所示，作出闸门两侧的静水压 强分布图，并将其合成。 图1 图2 设合力距A点的距离为l，则由合力矩定理： 图2 静水总压力： 即，静水总压力距

12、A点的距离为2.45m。 2-7 静止液体作用在曲面上的合力 讨论静止液体作用在二向曲面上的总压力： u二向曲面（二元曲面）为具有平行母线的柱面。 1.合力的大小： 一.静止液体作用在二向曲面上的总压力： 作用在二向曲面A上的液 体总压力 F 的水平分力Fx等 于作用在该曲面的垂直投影 面Ax上的液体总压力。 合力： 2.合力的方向： Fx的方向为Ax的内法向（垂直指向Ax ）。 Fz的方向： u当液体与压力体位于受压曲面的同一侧时，Fz的 方向向下； u当液体与压力体各在受压曲面的一侧时，Fz的方 向向上。 二.压力体的绘制： 压力体是由受压曲面、液体的自由表面或自由表面的延长 面、过曲面周

13、边的铅直面所围成的空间形体。 1.压力体的周界： 2.复杂曲面压力体的绘制： 将复杂曲面先分割成若干个简单曲面（单侧曲面），分别 绘制每个简单曲面的压力体，然后将这些压力体迭加。 举例： u如图巨石挡水。 FZ= (Vebcf - Veba)= Vabcf 例8：如图，一挡水弧形闸 门，宽度为b（垂直于黑板 ）,圆心角为 ，半径为R ，水面与绞轴平齐。试求静 水压力的水平分量Fx与铅垂 分量Fz 。 （书上P38的例2-9） 解： 压力体如图所示： 例9：一球形容器由两个半球铆接而成( 如图1所示)，铆钉有n个，内盛重度为 的液体，求每一铆钉所受的拉力。 显然，由于ABC在yoz平面上的两个投

14、影 面大小相等、方向相反，故x方向上的静 水总压力 Px = 0 ；同理 Py = 0 。 即：ABC仅受铅垂方向的静水总压力 Pz = Vp 而 ： 图1 图2 解：建立坐标系xoyz，取球形容器的上半 球面ABC作为研究对象，如图2所示。 Pz方向铅垂向上，即铆钉受拉力。 图2 每一铆钉所受的拉力为： 作业：P52，第17题、第19题 。 2-8 液体的相对静止 一.作水平等加速运动液体的相对平衡： 1.液体中任一点p的计算式： 液体随容器作等加速度运动，液体内部没有相对运动， 处于相对平衡状态。 分析单位质量力： 坐标系oxyz 固定在小车上， 与小车上一起运动。 2.等压面方程： 3.

15、液体的自由表面方程： 液体的自由表面亦为等压面，且过坐标原点。 把x = 0, z = 0代入（2）,有：C = 0。 可见，等压面为一族倾斜的平面。 可见，水静力学的基本方程亦适用于作水平等加速运 动容器中液体处于相对平衡的情形。 将上式代入（1），可得： 二.等角速旋转容器中液体的相对平衡： 液体随容器作等角速度旋转运动，液体内部没有相对 运动，处于相对平衡状态。 坐标系oxyz 固定在容器上， 与容器一起旋转。 分析单位质量力： 1.液体中任一点p的计算式： 2.等压面方程： 在等压面上，p = C1。代入（1）,有： 可见，等压面为一族绕中心轴（Z轴）的旋 转抛物面。 3.液体的自由表面方程： 液体的自由表面亦为等压面，且过坐标原点。把 r = 0，z = 0 代入（2）,有：C = 0。 将上式代入（1），可得： 可见，水静力学的基本方程亦适用于作等角速度旋转 容器中液体处于相对平衡的情形。 可见，水静力学的基本方程亦适用于作等角速度旋转 容器中液体处于相对平衡的情形。 例10：用离心铸造机铸造车