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1、定义 向量内积的定义及运算规律 定义 向量的长度具有下列性质： 向量的长度 定义 向量的夹角 所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基 定理 定义 正交向量组的性质 施密特正交化方法 第一步 正交化 第二步 单位化 定义 正交矩阵与正交变换 方阵 为正交矩阵的充分必要条件是 的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交 定义 若 为正交矩阵，则线性变换 称为 正交变换 正交变换的特性在于保持线段的长度不变 定义 方阵的特征值和特征向量 有关特征值的一些结论 定理 定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量 有关特征向量
2、的一些结论 定义 矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性 相似矩阵 有关相似矩阵的性质 若 与 相似，则 与 的特征多项式 相同，从而 与 的特征值亦相同 (4) 能对角化的充分必要条件是 有 个线 性无关的特征向量 (5) 有 个互异的特征值，则 与对角阵相似 实对称矩阵的相似矩阵 定义 二次型 二次型与它的矩阵是一一对应的 定义 二次型的标准形 化二次型为标准形 定义 正定二次型 惯性定理 注意 正定二次型的判定 一、证明所给矩阵为正交矩阵 典 型 例 题 二、将线性无关向量组化为正 交单位向量组 三、特征值与特征向量的求法 四、已知 的特征值，求与 相关矩阵的特征值
3、 五、求方阵 的特征多项式 六、关于特征值的其它问题 七、判断方阵 可否对角化 八、利用正交变换将实对称 矩阵化为对角阵 九、化二次型为标准形 一、证明所给矩阵为正交矩阵 证明 将线性无关向量组化为正交单位向量组，可 以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与 单位化 二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组 解一 先正交化，再单位化 解二 同时进行正交化与单位化 第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量 三、特征值与特征向量的求法 第一步 计算 的特征多项式； 第二步 求出特征多项式的全部根，即得 的全部 特征值； 解 第一步 计算 的特征多项式 第三步 求出 的全部特征向量 解 四、已知 的特征值，求与 相关 矩阵的特征值 解 五、求方阵 的特征多项式 解 六、关于特征值的其它问题 方法一 方法二 方法三 解 七、判断方阵 可否对角化 解 (1) 可对角化的充分条件是 有 个互异的 特征值下面求出 的所有特征值 解 第一步 求A的特征值由 八、利用正交变换将实对称矩阵化为 对角阵 九、化二次型为标准形 解 第一步 将 表成矩阵形式 解 第五章 测试题 一、填空题(每小题4分，共32分) 二、计算题（共40分） 三、证明题（共20分） 四、（8分）设二次型 经正交变换 化成 测试题答案
