五层次分析法(AHP法综述

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1、层次分析法层次分析法(AHP(AHP法法) ) Analytic Hierarchy ProcessAnalytic Hierarchy Process 引引 言言 n层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨 堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代 初，为美国国防部研究“根据各个工业部门 对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课 题时，应用网络系统理论和多目标综合评 价方法，提出的一种层次权重决策分析方 法。 n这种方法的特点是在对复杂的决策问题的 本质、影响因素及其内在关系等进行深入 分析的基础上，利用较少的定量信息使决 策的思维过程数学化，从而为多目标、多 准则或无结构特性的复杂

2、决策问题提供简 便的决策方法。 n是对难于完全定量的复杂系统作出决策的 模型和方法。 n层次分析法在经济、科技、文化、军事、 环境乃至社会发展等方面的管理决策中都 有广泛的应用。 n常用来解决诸如综合评价、选择决策方案 、估计和预测、投入量的分配等问题。 层次分析法建模层次分析法建模 n一 、问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指 在面临多种方案时需要依据一定的标准选择 某一种方案。 例1 某人准备选购一台电冰箱 他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解 后，选取一些中间指标指标进行考察。例如电冰电冰 箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量 、外界

3、信誉、售后服务、外界信誉、售后服务等。 n n 然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标 准下的准下的优劣排序优劣排序。借助这种排序，最终作借助这种排序，最终作 出选购决策出选购决策。在决策时，由于。在决策时，由于6 6种电冰箱对种电冰箱对 于每个中间标准的优劣排序一般是不一致于每个中间标准的优劣排序一般是不一致 的，因此，决策者的，因此，决策者首先要对这首先要对这7 7个标准的重个标准的重 要度作一个估计，给出一种排序要度作一个估计，给出一种排序，然后把然后把6 6 种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出 来来，最后把这些信息

4、数据综合，最后把这些信息数据综合，得到针对得到针对 总目标即购买电冰箱的排序权重总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这。有了这 个个权重向量权重向量，决策就很容易了。，决策就很容易了。 n n 例例2 2 旅游旅游 假期旅游，是去风光秀丽的假期旅游，是去风光秀丽的苏州苏州，还是，还是 去凉爽宜人的去凉爽宜人的北戴河北戴河，或者是去山水甲天下，或者是去山水甲天下 的的桂林桂林？通常会依据？通常会依据景色、费用、食宿条件景色、费用、食宿条件 、旅途、旅途等因素选择去哪个地方。等因素选择去哪个地方。 n例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企 业等单位可以去选择，一般依据工作环境、 工资待遇、发

5、展前途、住房条件等因素择业 。 n例4 科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几 个课题，一般依据课题的可行性、应用价值 、理论价值、被培养人才等因素进行选题。 分解 建立 确定计算 判断 实际问题层次结构多个因素 诸因素的相 对重要性 权向量综合决策 一、层次分析法基本原理 二、层次分析法的步骤和方法二、层次分析法的步骤和方法 运用层次分析法构造系统模型时，大体可运用层次分析法构造系统模型时，大体可 以分为以下四个步骤：以分为以下四个步骤： 1. 1. 建立层次结构模型建立层次结构模型 2. 2. 构造判断构造判断( (成对比较成对比较) )矩阵矩阵 3. 3. 层次单排序及其一致

6、性检验层次单排序及其一致性检验 4. 4. 层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验 n n 将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和 决策对象按它们之间的相互关系分为最高层决策对象按它们之间的相互关系分为最高层 、中间层和最低层，、中间层和最低层，绘出层次结构图绘出层次结构图。 n n 最高层最高层：决策的目的、要解决的问题。：决策的目的、要解决的问题。 n n 中间层中间层：考虑的因素、决策的准则。：考虑的因素、决策的准则。 n n 最低层最低层：决策时的备选方案。：决策时的备选方案。 n n 对于相邻的两层，称高层为对于相邻的两层，称高层为目标

7、层，低层目标层，低层 为因素层。为因素层。 1 建立层次结构模型建立层次结构模型 一个典型的层次可以用下图表示出来： 几点注意 n1.处于最上面的的层次通常只有一个元素， 一般是分析问题的预定目标或理想结果。 中间层次一般是准则、子准则。最低一层 包括决策的方案。层次之间元素的支配关 系不一定是一一对应的，即可以存在这样 的元素，它并不支配下一层次的所有元素 。 n2.层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽 程度有关。每一层次中的元素一般不超过9个，因 一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带 来困难。 n3.一个好的层次结构对于解决问题是极为 重要的。层次结构建立在决策者对所面临 的问题

8、具有全面深入的认识基础上，如果 在层次的划分和确定层次之间的支配关系 上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问 题各部分相互之间的关系，以确保建立一 个合理的层次结构。 目标层O(选择旅游地) P2 黄山 P1 桂林 P3 北戴河 准则层 方案层 C3 居住 C1 景色 C2 费用 C4 饮食 C5 旅途 例1. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择. 例例2 2 大学毕业生就业选择问题大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，在获得大学毕业学位的毕业生，在“ “双向选择双向选择” ”时时 ，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。，用人单位与毕业生都有各自

9、的选择标准和要求。 就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的， 例如：例如： 能发挥自己才干作出较好能发挥自己才干作出较好贡献贡献（即工作岗位适（即工作岗位适 合发挥自己的专长）；合发挥自己的专长）； 工作工作收入收入较好（待遇好）；较好（待遇好）； 生活环境生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；好（大城市、气候等工作条件等）； 单位单位名声名声好（声誉等）；好（声誉等）； 工作环境工作环境好（人际关系和谐等）好（人际关系和谐等） 发展发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。晋升机会多（如新单位或前景好）等。 工作选择 可供选择的单位P1 P2 ，

10、 Pn 贡 献 收 入 发 展 声 誉 工 作 环 境 生 活 环 境 目标层 准则层 方案层 将决策问题分为3个或多个层次： 最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析 要达到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层：准则层、指标层、。表示采取某种措施、 政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节； 一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、政 策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。 建立层次结构模型的思维过程的归纳 层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题，按此相对权重可以对

11、最低层中的各种方案、 措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。 在建立递阶层次结构以后，上下层次之 间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层 次的元素Ck作为准则，对下一层次的元素 A1, , An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予 A1, , An 相应的 权重。 2构造判断构造判断( (成对比较成对比较) )矩阵矩阵 比较同一层次中每个因素关于上一层次 的同一个因素的相对重要性 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是 定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而

12、SaatySaaty 等人提出构造：等人提出构造：成对比较矩阵成对比较矩阵A = (aij)nn，即：，即： 1. 1. 不把所有因素放在一起比较，而是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互两两相互比较比较 。 2. 2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的 诸因素相互比较的困难，以提高准确度。诸因素相互比较的困难，以提高准确度。 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每 层不要超过9个因素。 成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个 因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Saaty 的19标度方法给出。 2 4 6 8 比较

13、尺度aij Saaty等人提出19尺度aij 取值 1,2, , 9及其互反数1,1/2, , 1/9 尺度 1 3 5 7 9 相同 稍强 强 明显强 绝对强 aij =1,1/2, ,1/9 的重要性与上面相反 用13,15,117,1p9p (p =2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。 便于定性到定量的转化： 成对比较阵和权向量 判断矩阵元素aij的标度方法 标度含义 1表示两个因素相比，具有同样重要性 3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 5表示两个因素相比，

14、一个因素比另一个因素明显重要 7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 2，4，6，8上述两相邻判断的中值 倒数 因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断aji=1/aij 对于 n 个元素 A1, , An 来说，通过两两比 较，得到成对比较（判断）矩阵 A = (aij)nn： 其中判断矩阵具有如下性质： （1）aij 0； （2）aij = 1/aji； （3）aii = 1。 我们称 A 为正的互反矩阵正的互反矩阵。 根据性质（2）和（3），事实上，对于 n 阶 判断矩阵仅需对其上（下）三角元素共 n(n-1)/2 个

15、给出判断即可。 要比较各准则C1,C2, , Cn对目标O的重要性 A成对比较阵选 择 旅 游 地 目标层 O(选择旅游地) 准则层 C3 居住 C1 景色 C2 费用 C4 饮食 C5 旅途 C1 C2 C3 C4 C5 C1 C2 C3 C4 C5 稍加分析就发 现上述成对比 较矩阵有问题 旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶） 。 用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确 定权值。 例如 一块石头重量记为1，打碎分成n小块，各块的重 量分别记为：w1,w2,wn 则可得成对比较矩阵 由右面矩阵可以看出， 3 层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验 即 但在例2的成对比较矩阵中， 在正互反矩阵A中，若 ,(A 的元素具有 传递性)则称A为一致阵。 定理：n 阶正互反阵A的最大特征根max n, 当且仅当 =n时A为一致阵 成对比较的不一致情况 允许不一致，但要确定不一致的允许范围 考察完全一致的情况 成对比较阵和权向量 一般地，我们并不要求判断具有这种传递性和 一致性，这是由客观事物的