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1、 在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方 程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精 确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散 的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性回 归方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的 方法。 1 灰色预测理论 2 GM(1,1)模型 灰色预测法 1 灰 色 预 测 理 论 一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全明确的。 回总目录回本章目录 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。 灰色系统内的一部分信息是已知的，
2、另一 部分信息是未知的，系统内各因素间有不 确定的关系。 回总目录回本章目录 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。 （2）灰色预测法 回总目录回本章目录 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋 势的相异程度，即进行关联分析，并对 原始数据进行生成处理来寻找系统变动 的规律，生成有较强规律性的数据序列， 然后建立相应的微分方程模型，从而预 测事物未来发展趋势的状况。 回总目录回本章目录 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，
3、 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一 特征量的时间。 回总目录回本章目录 （3）灰色系统的应用范畴 灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： （1）灰色关联分析。 （2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预 测.等等。 （3）灰色决策。 （4）灰色预测控制。 （4）灰色预测的四种常见类型 灰色时间序列预测 即用观察到的反映预测对象特征的时 间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时 间。 灾变预测 即通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区 内。 回总目录回本章目录 系统预测 通过对系统行为特征指标建立一组相互 关联的灰色预测模型，
4、预测系统中众多变 量间的相互协调关系的变化。 拓扑预测 将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻 找该定值发生的所有时点，并以该定值为 框架构成时点数列，然后建立模型预测该 定值所发生的时点。 回总目录回本章目录 二、生成列 设已知数据变量组成序列X(0)，则我们可得 到数据序列 为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰 色预测模型之前，需先对原始数据序列进行数据 处理，经过数据处理后的数据序列即称为生成列 。 回总目录回本章目录 累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。 灰色系统常用的数据处理方式有累加 和累减两种。 （1）数据处理方式 回总目录回本章目录 累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为
5、生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。 回总目录回本章目录 记原始时间序列为： 生成列为： 上标1表示一次累加，同理，可作m次累加： 回总目录回本章目录 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为数据序 列已由随机序列变为非随机序列。 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。 回总目录回本章目录 累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列 累减是累加的逆运算，累减可将累加生
6、成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为： 回总目录回本章目录 三、关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度 的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数 。 （1）关联系数 设 则关联系数定义为： 回总目录回本章目录 式中： 为第k个点 称为分辨率，03有 ( t) 0.5 , 则其满足准光滑条件; 然后检验数列X (1)是否具有准指数规律, 由 (1) ( t) = X(1) ( t) / X(1)( t - 1) , 若对t 有(1) ( t) 1 , 1+ ,其中常取0.5 ,则 准指数规律满足,可对X(1) 建立GM(1 ,1) 模型,否 则需继续累加。 2
7、GM(1,1)模型 一、GM（1，1）模型的建立 设原始序列有n个观 察值，通过累加生成新序列 则GM（1，1）模型相应的微分方程为： 其中：称为发展灰数；称为内生控制灰数。 回总目录回本章目录 构造矩阵B与向量Y Y=(X(0)(2),X(0)(3),，X(0)(n) 设为待估参数向量， 利用最小二乘法可得： 求解微分方程，即可得预测模型： ，则微分方程 回总目录回本章目录 可表示为 对其做累减还原，即可得到原始数列 的 灰色预测模型为: 由灰色预测方法原理, - a 主要控制系统发展态 势的 大小,即反映预测的发展态势,被称为发展系数; u 的大小反映了数据变化的关系,被称为灰色作用量,
8、其中: 当- a 0.3 时, GM(1 ,1) 模型可用于中长期预测; 当0.3 - a 0.5 时, GM(1 ,1) 模型可用于短期预 测,中长期预测慎用; 当0.50.95 0.80 0.70 0.70 C 0.35 0.50 0.65 0.65 好 合格 勉强合格 不合格 回总目录回本章目录 3基于灰色预测的等维灰数递补模型 从灰色预测模型公式中可以看出，它是 一个指数增长的模型，在进行预测时，最近一 年的预测结果应该是很精确的，但对后续几 年的预测误差会逐渐增大，为了提高预测模 型的广泛适用性，我们做出了如下的改进：对 原灰色模型等维灰数递补，即构造等维灰数递 补模型。 GM(1,
9、1)模型中具有预测意义的数据仅 仅是数据X(n)以后的前几个数据，随着时间 的推移，老的数据越来越不适应新的情况，所 以，要在原数据的基础上每次增加一个新信 息时，就去掉一个老信息。这种新数据补充、 老数据去除的数据列，由于其维数不变，因而 叫等维信息数据列，相应的模型叫等维灰数 递补模型，或叫新陈代谢模型。 设原始数列为: 置入新信息X(0)(n+1),去掉老信息X(0)(1),可构成 新数列: 利用这一新数列建立的GM(1,1)模型,即为等 维信息GM(1,1)模型。 由于在实际中，信息处于不断的变化之中,具有 很大的随机性,虽然历史信息对预测时刻的具体值有 一定的相关性和影响,但与预测时刻更接近的信息对 于该时刻的预测结果更有价值。鉴于这种情况,可先 用已知数列建立的GM(1,1)模型预测一个值, 然后补 充一个新信息数据到已知数列中, 同时去掉最老的一 个数据, 使序列等维, 接着再建立GM(1,1)模型,这样 逐个滚动预测,依次递补,直到完成预测目标为止，这 样我们再对具体问题进行预测,就可以得到更为精确 的结果。 3 灾变预测
