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1、山西省孝义市2018届高三下学期一模考试文科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为集合， ，则，故选A.2. 已知平面向量，则向量的模是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为向量，故选C.3. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 当时，满足，但不成立， 当时，一定成立，所以是的必要不充分条件，故选B4. 问题“今有女子不善织布，逐日
2、所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的张邱建算经，该问题的答案是（ ）A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺【答案】A【解析】由已知可得该女子三十日每日织布数组成一个等差数列，设为，且，则，故选A.5. 若函数为奇函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数为奇函数，所以可得 ， ，故选D.6. 从装有大小材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】记个红球分别为，个黑球分别为，则随机取出两个小球共有种可能：，其中两个小球同色共有种可能
3、，根据古典概型概率公式可得所求概率为，故选C.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，. ，再，.依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.7. 已知为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，若，则这样的点有（ ）A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个【答案】B【解析】连接，则四边形为正方形，因为圆的半径为，原点（圆心）到直线距离为符合
4、条件的只有一个，故选B.8. 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与半个圆锥组合而成，其中圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径和高均为， 其体积为，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体
5、三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9. 已知函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 ，由周期，可得，且的对称轴为，方程恰有两个不同的实数解，则，故选B.10. 中国古代数学著作算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等？”意思是现有松树高尺，竹子高尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是根据这一问题所编制的一个程序框图，若输入，输出，则程序框图中的 中应填入（ ）A. ？ B. ？ C.
6、？ D. ？【答案】C【解析】当时，；当时，；当时，；当时，不满足运行条件，输出程序框图中，应填，故选C.11. 已知函数，若曲线上存在点使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为曲线在上递增，所以曲线上存在点， 可知，由，可得，而在上单调递减，故选B.12. 在四面体中，底面，的面积是，若该四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】四面体与球的位置关系如图所示，设为的中点，为外接球的圆心，因为，由余弦定理可得，由正弦定理可得由勾股定理可得，又，在四边形中，计算可得，则球的表面积是，故选D.【方法点晴】本题主要考
7、查球的性质及圆内接三角形的性质、正弦定理与余弦定理法应用及球的表面积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；注意运用性质.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 复数满足，则复数的共轭复数_【答案】【解析】由得，故答案为.14. 已知实数，满足约束条件则的最大值是_【答案】【解析】试题分析：要求目标函数的最大值，即求的最小值首先画出可行域，由图知在直线和直线的交点处取得最小值，即，所以的最大值为考点
8、：线性规划；15. 是为双曲线上的点，分别为的左、右焦点，且,与轴交于点，为坐标原点，若四边形有内切圆，则的离心率为_【答案】【解析】设，可得，则四边形的内切圆的圆心为，半径为的方程为，圆心到直线的距离等于，即，化简得，故答案为.【 方法点睛】本题主要考查双曲线的方程与性质以及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解 16. 数列满足，若，则数列的前项的和是_【答案】【解析】由，可得，数列的前项依次为，其和为，从第项起，数列是以为
9、周期的周期数列，又从第项至第项共计项为个周期，还余两项，故和为，故数列的前项的和为，故答案为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，内角，的对边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由根据正弦定理可得，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得，；（2）由的面积为，可得，再利用余弦定理可得，从而可得的周长.试题解析：（1），.，.，.（2）的面积为，.由，及，得，.又，.故其周长为.18. 如图，三棱柱中，平面.（1）证明：平面平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明
10、见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由平面，可得.由，可得，由线面平行的判定定理可得平面，从而可得平面平面；（2）设点到平面的距离为.则，又，从而可得点到平面的距离为.试题解析：（1）证明：平面，.，平面.又平面，平面平面.（2）解法一：取的中点，连接.，.又平面平面，且交线为，则平面.平面,，四边形为菱形，.又，是边长为正三角形，.设点到平面的距离为.则.又，.所以点到平面的距离为.解法二：利用平面转化为求点到平面的距离，即.19. 某大型商场去年国庆期间累计生成万张购物单，从中随机抽出张，对每单消费金额进行统计得到下表：消费金额（单位：元）购物单张数2525301010由于工作人员失误
11、，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值元、元、元的奖品.已知中奖率为，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为.若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）
12、由消费在区间的频率为，可知中位数估计值为，设所求概率为，利用每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和等于求解即可；（2）根据，解得，可得一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为，从而可得一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为，进而可得结果.试题解析：（1）因消费在区间的频率为，故中位数估计值即为.设所求概率为，而消费在的概率为.故消费在区间内的概率为.因此消费额的平均值可估计为.令其与中位数相等，解得.（2）设等比数列公比为，根据题意，即，解得.故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为，.今年的购物单总数约为.其中具有抽奖资格的单数为，故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为，.于是，采购奖品
13、的开销可估计为（元）.20. 已知抛物线的焦点为，为轴上的点.（1）过点作直线与相切，求切线的方程；（2）如果存在过点的直线与抛物线交于，两点，且直线与的倾斜角互补，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】试题分析：（1）设切点为，利用导数求出切线斜率，由点斜式求得切线方程，将代入切线方程，求出或，进而可得切线方程；（2）设直线的方程为，代入得，根据斜率公式可得，韦达定理得，利用判别式大于零可得结果.试题解析：（1）设切点为，则.点处的切线方程为.过点，解得或.当时，切线的方程为，当时，切线的方程为或.（2）设直线的方程为，代入得.设，则，.由已知得，即，.把代入得，当时，显然成立
14、，当时，方程有解，解得，且.综上，.21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，曲线总在曲线的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】试题分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）原命题等价于不等式在上恒成立，即，不等式恒成立，可化为恒成立，只需大于的最大值即可.试题解析：（1）由可得的定义域为，且，若，则，函数在上单调递增；若，则当时，在上单调递增，当时，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）原命题等价于不等式在上恒成立，即，不等式恒成立.当时，即证当时，大于的最大值.又当时，综上所述，.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立
