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1、数学(理科)试题 本试卷分第卷( 选择题) 和第卷( 非选择题) 两部分, 第卷页, 第卷 页, 共 分, 测试时间 分钟 注意事项: 选择题为四选一题目, 每小题选出答案后, 用 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案, 不能答在测试卷上 第卷( 共 分) 一、 选择题( 本大题共 个小题在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 已知集合Ax|x , Bx| x , 则AB A(,)B(,)C(,)D(,)(,) 设i是虚数单位,z 是复数z的共轭复数, 若zi, 则复数ziz 在复平面内对应的 点位于 A第一象限B第二象限C第三象
2、限D第四象限 已知a,b都是实数, 那么“ a b ” 是“ a b ” 的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 在平面直角坐标系x O y中,M(a,b) 为不等式组 xy xy x 所表示的区域上任意动点, 则 b a 的最大值为 A B C D 南宋数学家秦九韶在 数书九章 中提出的秦九韶算 法至 今 仍 是 多 项 式 求 值 比 较 先 进 的 算 法, 已 知 f(x) x x x, 程序框图 设计的是求f( x) 的值, 在M处应填的执行语句是 AniBn i CniDn i 双曲线x a y b ( a,b) ,M、N为双曲线上关于原点对称的两点
3、,P为双曲线上的 点, 且直线PM、PN斜率分别为k、 k, 若kk , 则双曲线离心率为 A B CD 数学( 理科) 试题 第页( 共页) 某学校随机抽查了本校 个同学, 调查 他们平均每天在课外从事体育锻炼的时 间( 单位: 分钟) , 根据所得数据的茎叶 图, 以为组距将数据分为组, 分别是 ,) , , ) , , , , 作出频率分 布直方图如图所示, 则原始的茎叶图可 能是 A B C D 将函数f(x) s i n x c o s x的图象向左平移 个单位, 再把图象上所有点的横坐标缩 短到原来的 倍( 纵坐标不变) , 得到y g(x) 的图象, 则关于yg(x) 的图象,
4、下列结论 不正确 的是 A周期为 B关于点 , 对称 C在 , 单调递增 D在 , 单调递减 在ax() 的展开式中, x 项的系数等于 , 则 a x x d x等于 A l n Bl n C l n D l n 如图, 圆M、 圆N、 圆P彼此相外切, 且内切于正三角形A B C中, 在 正三角形A B C内随机取一点, 则此点取自三角形MNP( 阴影部分) 的概率是 A B C D 已知定义在R上的函数f(x) 满足: ( )f(x)f(x) ; ( )f(x)f(x) ; ( )x,x, 时, (xx) f(x)f(x) 则f( ) , f( ) ,f( ) 大小关系 Af( )f(
5、)f( )Bf( )f( )f( ) Cf( )f( )f( )Df( )f( )f( ) 数学( 理科) 试题 第页( 共页) 已 知 长 方 体A B C DABCD中, 底 面A B C D的 长 A B, 宽B C, 高A A, 点M,N分别是B C,CD 的中点, 点P在上底面ABCD中, 点Q在AN上, 若 PM , 则P Q长度的最小值是 AB C D 第卷( 共 分) 二、 填空题( 每小题分, 共计 分) 已知a(,) ,b(k,) , 若(ab)a, 则a在b方向上射影的数量 已知抛物线y p x ( p) 的焦点为F, 其准线与双曲 线y x 相交于A,B两点, 若A B
6、 F为等边三角 形, 则p 如图所示是一个几何体的三视图, 则这个几何体外接球 的表面积为 三角形A B C中,A B ,A C, 以B为直角顶点作等 腰直角三角形B C D(A、D在B C两侧) , 当B A C变化 时, 线段AD的长度最大值为 三、 解答题( 本大题共小题, 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) ( 本小题满分 分) 设S n为数列an 的前n项和, 且a , 当n 时, (n )an(n )Sn n(n ) ,nN () 证明: 数列 Sn n 为等比数列; () 记TnS SSn, 求Tn ( 本小题满分 分) 手机作为客户端越来越为人们所青睐, 通过手机实现衣
7、食住行消费 已经成为一种主要的消费方式在某市, 随机调查了 名顾客购物时使用手机支付的 情况, 得到如下的列联表, 已知从使用手机支付的人群中随机抽取人, 抽到青年 的概率为 () 根据已知条件完成列联表, 并根据此资料判断是否有 的把握认为“ 市 场购物用手机支付与年龄有关” ? 列联表: 青年中老年合计 使用手机支付 不使用手机支付 合计 数学( 理科) 试题 第页( 共页) () 现采用分层抽样的方法从这 名顾客中按照“ 使用手机支付” 和“ 不使用手机支 付” 抽取一个容量为 的样本, 再从中随机抽取人, 求这三人中“ 使用手机支付” 的人 数的分布列及期望 附: K n(a db c
8、) ( ab) (cd) (ac) (bd) P(K k) k ( 本小题满分 分) 如图所示, 正四棱椎P A B C D中, 底面 A B C D的边长为, 侧棱长为 () 若点E为P D上的点, 且P B平面E A C试确定E点的 位置; () 在() 的条件下, 点F为线段P A上的一点且P F P A , 若平面A E C和平面B D F所成的锐二面角的余弦值为 , 求实 数的值 ( 本小题满分 分) 设椭圆C: x a y b ( ab ) 的离心率是 , A、B分别为椭圆的左顶 点、 上顶点, 原点O到A B所在直线的距离为 ( ) 求椭圆C的方程; ( ) 已知直线l:yk x
9、m与椭圆相交于不同的两点M,N( 均不是长轴的端点) , AHMN, 垂足为H, 且AH MHHN, 求证: 直线l恒过定点 ( 本小题满分 分) 设函数f(x) l nxa e x a,aR ( ) 当a 时, 证明f(x) 在(,) 是增函数; ( ) 若当x(,) 时,f(x ) , 求a取值范围 ( 本小题满分 分) 选修 : 坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处, 极轴与x轴非负半轴重合, 直线l的参数方 程为:x tc o s yts i n ( t为参数,) ) , 曲线C的极坐标方程为: c o s ( ) 写出曲线C在直角坐标系下的标准方程; ( ) 设直
10、线l与曲线C相交于P,Q两点, 若|P Q| , 求直线l的斜率 ( 本小题满分 分) 选修 : 不等式选讲 已知函数f( x) |a x | |a x |,a为实数 ( ) 当a 时, 求不等式f(x) 的解集; ( ) 求f(a) 的最小值 数学( 理科) 试题 第页( 共页) 数学(理科)试题参考答案 一、 选择题( 本大题共 个小题在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) A A D D B A B D B C C C 二、 填空题: 本大题共小题, 每小题分, 共 分把答案填在答题卡的相应位置 三、 解答题: 本大题共小题, 共 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 解: () 当n 时,anSnSn, 所以( n ) (SnSn)(n )Snn(n ) ,分 即( n )Sn n Snn(n ) , 则 Sn n S n n ,分 所以S n n Sn n , 又S , 故数列 Sn n 是首项为 , 公比为的等比数列分 ( ) 由() 知 Sn n S n n, 所以S nn n n,分 故Tn( n n) ( n)分 设M n n, 则M n n, 所以M n n n n n n, 所以M( n ) n , 分 所以Tn( n ) n n(
