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1、福建省厦门市双十中学2016-2017学年高一下学期期中考试试题数学注意事项:1答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷(选择题)一、单选题1的值为( )A. B. C. D.2已知,且,则=( )A. 3 B. 5 C. D. 3的值是( )A. B.
2、C. D. 4如图,四边形是正方形,延长至,使得,若点为的中点,且,则( )A. 3 B. 2 C. 1 D. 5已知, ,则等于( )A. B. C. D. 6函数的部分图像如图所示,则( )A. 的一个对称中心为B. 的图像关于直线对称C. 在上是增函数D. 的周期为7如图,在圆C中,点A,B在圆上,的值( )A只与圆C的半径有关;B只与弦AB的长度有关C既与圆C的半径有关,又与弦AB的长度有关D是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值8函数的图像沿轴向右平移个单位,所得图像关于轴对称,则的最小值为( )A. B. C. D. 9过轴上一点作轴的垂线,分别交函数的图像于,若,则=( )A.
3、 B. C. D. 10已知函数在上单调递增,在上单调递减,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 11已知函数 为常数, ,在处取得最大值,则函数是( )A. 奇函数且它的图像关于点 对称 B. 偶函数且它的图像关于点 对称C. 奇函数且它的图像关于点 对称 D. 偶函数且它的图像关于点 对称12已知,且,则的值为( )A. 0 B. C. D. 1第II卷(非选择题)二、填空题13已知,则向量与的夹角是_14已知,则_15已知直线与函数在轴右侧的前12个交点横坐标依次为,且,则_16如图,在直角梯形中, , 为线段(含端点)上一个动点,设对于函数,给出以下三个结
4、论:当时,函数的值域为;对于任意的,均有;对于任意的,函数的最大值均为4.其中所有正确的结论序号为_三、解答题17在平面直角坐标系中,若角的始边为轴的非负半轴,其终边经过点.(1)求的值; (2)求的值18根据平面向量基本定理,若为一组基底,同一平面的向量可以被唯一确定地表示为 = ,则向量与有序实数对一一对应,称为向量的基底下的坐标;特别地,若分别为轴正方向的单位向量,则称为向量的直角坐标.(I)据此证明向量加法的直角坐标公式:若,则;(II)如图,直角中, , 点在上,且,求向量在基底下的坐标.19已知函数 ,且的最小正周期为.(1)求的值;(2)求函数在区间上单调增区间.20在平面直角坐
5、标系中, 为坐标原点, 三点满足. (I)求证:三点共线;(II)已知,的最小值为,求实数的值.21已知向量满足,且,令.(I)求(用表示);(II)若对任意,任意恒成立,求实数的取值范围.22已知函数,若(1)求的值,并写出函数的最小正周期(不需证明);(2)是否存在正整数,使得函数在区间内恰有个零点?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.福建省厦门市双十中学2016-2017学年高一下学期期中考试试题数学 答 案1D【解析】试题分析:故选D考点:诱导公式2D【解析】,且,即=故选:D3D【解析】.故选:D4B【解析】由题意,设正方形的边长为1,建立坐标系如图,则B(1,0),E(1,1)
6、,=(1,0),=(1,1),=(,),又P是BC的中点时,=(1, ),解得: ,+=2,故选:B5C【解析】= ,选C6A【解析】根据函数y=Asin(x+)(A0,0,|)的部分图象,可得A=3, =,=2,再根据五点法作图可得2+=,=,y=3sin(2x+)显然,它的周期为=,故排除D;当x=时,函数y=f(x)=3sin(2x+)=0,故函数的图象关于点对称,故A正确当 时,f(x)=,不是最值,故f(x)的图象不关于直线 对称,故排除B;在上,2x+,y=3sin(2x+)不是增函数,故排除C,故选:A点睛:函数的性质(1) .(2)周期(3)由 求对称轴(4)由求增区间;由求减
7、区间.7B【解析】试题分析:,所以选B考点:向量的数量积8D【解析】 ,向右平移个单位得 ,所以 因此的最小正值为,选D点睛:三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数;函数是偶函数;函数是奇函数;函数是偶函数.9A【解析】过x轴上一点P作x轴的垂线,分别交函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象于P1,P2,P3,线段PP1的长即为sinx的值,PP3的长为tanx的值,PP2的长为cosx的值;又,tanx=cosx,即cos2x=sinx,由平方关系得sin2
8、x+sinx=1,解得sinx=,或sinx=3(不合题意,舍去),=故选:A10D【解析】由已知条件知,x=时f(x)取得最大值1,从而有=2k+,kZ,即8=12k+4,kZ,又由题意可得该函数的最小正周期T满足: 且,于是有T,0,满足012k+46的正整数k的值为0,于是=,令t=x,因为x,2,得t, ,由y=sint,t, ,得y,1,即f(x)的值域为,1,由于x,2时,不等式m3f(x)m+3恒成立,故有,解得2m,即m的取值范围是2, 故选:D11B【解析】将已知函数变形f(x)=asinxbcosx=sin(x),其中tan=,又f(x)=asinxbcosx在x=处取得最
9、大值,=2k+(kZ)得=2k(kZ),f(x)=sin(x+),函数y=f(x+)=sin(x+)=cosx,函数是偶函数且它的图象关于点(,0)对称故选:B点睛:本题主要考查函数的对称性,由(kZ)可得对称轴方程,由(kZ)可得对称中心横坐标.12B【解析】,所以,所以 即为方程的根 因此,选B.点睛:函数单调性的应用 不仅可以比较大小,也可解方程,即单调函数函数值相等,则自变量也必相等.13120【解析】,得到.向量与的夹角是120故答案为:12014【解析】,cos()=,sin()=,sin(+)=,cos(+)=,则cos2=cos(+)+()=cos(+)cos()sin()si
10、n()=()=,故答案为:点睛:三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,这是重要一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式 ;二看函数名称,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有切化弦;三看结构特征,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如遇到分式要通分等.15【解析】由题意,函数的周期为2,=1,f(x)=sinx,a=,x1+x2+x3+x12=+5+9+13+17+21=66故答案为:6616【解析】如图所示,建立直角坐标系在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2,CD=1,BC=a(a0),B(0,0),A(2,0),D(1,a)
11、,C(0,a)=x,(0x1)=(2,0)+x(1,a)=(x2,xa),=(0,a)(x2,xa)=(2x,axa)y=f(x)=(2x,xa)(2x,axa)=(2x)2ax(axa)=(a2+1)x2(4+a2)x+4当a=2时,y=f(x)=5x28x+4=,0x1,当x=时,f(x)取得最小值;又f(0)=4,f(1)=1,f(x)max=f(0)=4综上可得:函数f(x)的值域为因此不正确由y=f(x)=(a2+1)x2(4+a2)x+4可得:a(0,+),都有f(1)=1成立,因此正确;由y=f(x)=(a2+1)x2(4+a2)x+4可知:对称轴x0=当0a时,1x0,函数f(
12、x)在0,1单调递减,因此当x=0时,函数f(x)取得最大值4当时,0x01,函数f(x)在0,x0)单调递减,在(x0,1上单调递增又f(0)=4,f(1)=1,f(x)max=f(0)=4因此正确综上可知:只有正确故答案为:17(1)2.(2) .【解析】试题分析:(1)由任意角三角函数的定义直接可得的值;(2)先根据诱导公式、二倍角余弦公式、两角和正弦公式化简,再根据商数关系弦化切,最后代入正切值计算结果试题解析:(1)由任意角三角函数的定义可得: (2)原式18(I)见解析.(II).【解析】试题分析:( I)利用平面向量的坐标运算即可证明结论成立;( II)根据几何性质得出,用、表示
13、即可;根据几何性质得出,再用、表示即可.试题解析:(I)证明:根据题意: ,(4分). (II)解:法一(向量法):根据几何性质,易知,从而,所以,化简得: ,所以在基底下的坐标为.法二(向量法):同上可得: ,所以.上法也可直接从开始.法三(向量法):设,则利用共线可解得.法四(坐标法):以为坐标原点, 方向为轴正方向建立直角坐标系(以下坐标法建系同),则,由几何意义易得的直角坐标为.设,则= ,又知,则由三点共线易得.法六(坐标法):完全参照必修4P99例8(2)的模型和其解答过程,此处略.法七(几何图形法):将分解在方向,利用平几知识算出边的关系亦可.法八(向量法):设,则;由 ,由,解得.所以在基底下的坐标为. 19(1) (2) , 【解析】试题分析:(1)先根据二倍角公式、诱导公式以及配角公式将函数化为基本三角函数