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1、2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研考试数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则的真子集的个数为（ ）A3 B4 C7 D82设复数（是虚数单位），则的值为（ ）A B C D3已知命题：，命题：，则下列说法正确的是（ ）A命题是假命题 B命题是真命题 C命题是真命题 D命题是假命题4据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏A. 2 B. 3 C. 26 D. 275
2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D6如图是一个算法流程图，若输入的值为13，输出的值是46，则的取值范围是（ ）A B C D7已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A B C D8设函数是奇函数（）的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A B C D9已知在矩形中，现在矩形内任意取一点，则的概率为（ ）A B C D10将函数图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到的图象，则函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 11已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重
3、合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 412定义函数，则函数在区间（）内所有零点的和为（ ）A B C D二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知变量满足，则的最小值为 .14若的展开式中的系数为，则实数的值为 .15已知，满足，则的最大值为 . 16四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在中，角的对边分别为，已知.（1）若，求的值；（2）若，求面积
4、的最大值.18中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人.抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.记
5、抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.参考数据：，其中.19.在多面体中，面是梯形，四边形是正方形，.（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，求二面角的平面角的余弦值.20已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足.（1）求椭圆的标准方程； （2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于两点，与椭圆相交于两点，当且时，求的面积的取值范围.21已知函数.（1）讨论的极值点的个数；（2）若，且恒成立，求的最大值.参考数据：请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系的中，曲线的参数方程是（为参数）
6、，以射线为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求直线与曲线相交所得的弦的长.23选修4-5：不等式选讲已知函数（为正实数），.（1）若，求实数的取值范围；（2）若存在实数，使，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号123456789101112选项CACCABDABCBD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13 141516三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17解：（1
7、）,，又，.（2）当，即，当且仅当时等号成立，面积的最大值为.18.解：由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充列联表如下：因为的观测值，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”有差异.（2）抽到1人是45岁以下的概率为，抽到1人45岁以下且另一人是45岁以上的概率为，故所求概率.从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人.所以的可能取值为0,1,2，.故随机变量的分布列为所以.19.（1），所以为直角三角形，且，同理因为所以为直角三角形，且，又四边形是正方形，所以，在梯形中，过点作于故四
8、边形是正方形，所以，在中，平面，平面所以平面又因为平面，所以，因为，平面平面. 平面，平面，平面平面.（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，令，则，因为，因为平面，取是平面的一个法向量设平面的法向量为，则则即即，令，得20（1），为线段的中点，又，所以，于是有，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）依题意设直线的方程为，由得，则，由已知得，解得由，得，设，则，设，则其中，因为关于在上是减函数，即的面积的取值范围是.21解：（1）根据题意可得，当时，函数是减函数，无极值点；当时，令得，即，又在上是增函数，且当时，所以在上存在一解，不妨设为，所以函数在上单调递增，在上单调递减所以函数有一
9、个极大值点，无极小值点；总之，当时，无极值点；当时，函数有一个极大值点，无极小值点.（2）因为，由（1）知有极大值，且满足可知，要使恒成立，即由可得，代入得，即，因为，所以，因为，且在是增函数，设为的零点，则，可知，由可得，当时，不等式显然恒成立；当时，令，所以在上是减函数，且，所以，所以，又，所以的最大值为10.22解：（1）曲线的参数方程化为直角坐标方程为，因为，所以的直角坐标方程为（2）直线的倾斜角为，过点，所以直线化成参数方程为，即（为参数）代入得，设方程的两根为，则，所以.23解：，且，因为，所以且，所以的取值范围是.（2），显然可取等号，所以若存在实数，使，只需使，又，因为，所以实数的取值范围11
