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1、莆田一中2018届第四次月考理科数学试卷 2018.05.04一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合，若，则实数的取值集合为（ ）A B C D 2.复数的共轭复数是（ ）A B C D3. 以下有关命题的说法错误的是（ ） A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. “”是“”成立的必要不充分条件C. 对于命题，使得，则，均有D. 若为真命题，则与至少有一个为真命题4.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（ ）A B C D 第4题图 第5题图5.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）A B
2、C D6.中，、是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的离心率为（ ）. A B C. D7.中国古代有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A174斤 B184斤 C.191斤 D201斤 8.已知奇函数，当时单调递增，且，若，则的取值范围为（ ） A B C. D9.一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从到中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超
3、过次就按对的概率为（ ）A B C D 10. 若，函数的图像向右平移个单位长度后与函数图像重合，则的最小值为（ ） A B C. D11.在中，边上的高为2，则的内切圆半径（ ）A BCD 12.如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形 的中心且，设点、分别为线段、上的 动点，已知当取得最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） ABCD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若满足约束条件，则的最大值是 14. 若的展开式的常数项是_ 15.已知向量，满足，且，_ 16.已知函数，若使得函数有三个零点，则的取值范围是_. 三、解答题：共70分.解答
4、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 为数列的前项和已知0，,且（1）求的通项公式（2）设，求的值.18. 如图所示，直三棱柱中， ，点，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.19. 已知点，圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与圆相切，并与(1)中轨迹交于不同的两点、当=，且满足时，求面积的取值范围20.（12分）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量某地车牌竞价的基本规则是：“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当
5、期竞拍的总人数；竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：（i）求这200位竞拍人员报价的平均值和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii）假设所有参与
6、竞价人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由（i）中所求的样本平均数及估值若年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价参考公式及数据：回归方程，其中，；，；若随机变量服从正态分布，则，21.（12分）已知函数.（1）若，函数的极大值为，求实数的值；（2）若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.22.（10分）在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数，）以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）写出曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当在
7、区间上变化时，求的最大值23. （10分）已知函数（）（1）证明：；（2）若，求实数的取值范围莆田一中2018届第四次月考理科数学参考答案 DBDA BDBA CBBB 17. （1） 可得 两式相减得， 即，又 即 由已知可得， 故为等差数列，.(2) 18. （）连接，,则且为的中点，又为的中点，又平面，平面，故平面.（）因为是直三棱柱，所以平面，得.因为，故.以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，.取平面的一个法向量为，由得：令，得，同理可得平面的一个法向量为，二面角的大小为，解得，得，又，设直线与平面所成角为，则.19. ()连接QF，|QE|QF
8、|=|QE|QP|=|PE|=(|EF|=2)， 点的轨迹是以E(-1，0) 、F(1，0)为焦点，长轴长的椭圆，即动点Q的轨迹的方程为； 4分()依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线的方程为()直线即与圆O:相切，得 5分又点A、B的坐标(，)、(，)满足：消去整理得，由韦达定理得，其判别式， 7分=，9分 10分，且， 12分20.21.解：（1）由题意， 2分（）当时，令，得；，得，所以在单调递增，单调递减所以的极大值为，不合题意. 3分（）当时，令，得；，得或，所以在单调递增，单调递减，所以的极大值为，得.综上所述. 5分（2）令，当时，则对恒成立等价于，即，对恒成立. 7分（）当时，此时，不合题意. 8分（）当时，令，则，其中， 令，则在区间上单调递增，时，所以对，从而在上单调递增，所以对任意，即不等式在上恒成立.10分时，由，及在区间上单调递增，所以存在唯一的使得，且时，.从而时，所以在区间上单调递减，则时，即，不符合题意.综上所述， .12分22.解：（1）曲线的极坐标方程为，即曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为 4分（2） 由（1）知，由知，当，即时， 有最大值10分23. 10
