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1、河南省商丘市2017-2018高三第二次模拟考试试卷理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数(是虚数单位）的共辄复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以选A.2. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，又因为，所以，所以，选B.3. 已知等差数列的公差为，且，则的最大值为（ ）A. B. C. 2 D. 4【答案】C【解析】因为，所以，选C.4. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框
2、图，若输入的分别为91，39，则输出的（ ）A. 11 B. 12 C. 13 D. 14【答案】C【解析】执行循环得：结束循环，输出选C.5. 高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答案】D【解析】先确定选择日月湖景区两名同学，有种选法；其他4名学生游览我市不包括日月湖在内的5个景区，共有种选法，故方案有种，选D.6. 设满足约束条件若目标函数的最大值为18，则的值为（ ）A. 3 B. 5 C. 7 D. 9【答案】A【解析】根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形
3、区域，目标函数化为 当直线过点时，有最大值，将点代入得到 故答案为：A.7. 已知且，函数在区间上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为函数在区间上是奇函数，所以，即因为在区间上是增函数，而函数在区间上是增函数，所以 ，当时单调递增，舍去A,B; 当时且单调递减，舍去C，选D.8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相切，记到直线的距离分别为，则的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】由得 ，选B.9. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】几何体为一个四
4、棱锥（高为，底面为长位，宽为3的矩形）与一个半圆柱（半圆半径为2，高为3）的组合体，所以条件为选A.10. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】 ， 向左平移个单位，得到函数的图象，所以 ，因为,所以 即的最大值为6，选C.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 由求增区间;由求减区间.11. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，在双曲线的右支上存在点，且满足，则双曲线的离心
5、率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ， 选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 记函数，若曲线上存在点使得，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为为单调递增函数，所以 因为函数单调递减，所以在上有解，即在上有解，因为 ，所以的取值范围是，选B.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值
6、)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知球的表面积为，此球面上有三点，且，则球心到平面的距离为_【答案】【解析】因为球的表面积为，所以 因为，所以三角形为直角三角形，因此球心到平面的距离为球心到BC中点的距离，为 .点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列
7、方程(组)求解.14. 已知是圆上的两个动点，若是线段的中点，则的值为_【答案】【解析】.15. 展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为_【答案】【解析】因为展开式中，各项系数之和为 因此展开式中的常数项为 16. 已知曲线在点处的切线的斜率为，直线交轴、轴分别于点，且.给出以下结论：； 当时，的最小值为；当时，；当时，记数列的前项和为，则.其中，正确的结论有_(写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】令， 所以；对；因为 ，所以；对；令，所以，即 ，错；因为，所以 对；点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系
8、为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，内角所对的边分别为，若，且.（1）求证：成等比数列；（2）若的面积是2，求边的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理化简得，由余弦定理得，再利用诱导公式化简，得，再根据正弦定理得，最后根据等比数列定义证结论，（2）根据三角形面积公式得 ，解得 ，最后根据余弦定理求边的长.试题解析：（1）证明： ， 在中，由正弦定理得，由正弦定理可得：， ，则， 成等比数列； （2） ，则 ， 由（
9、1）知， ，联立两式解得 ， 由余弦定理得， . 18. 世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别频数（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；（3）已知本数据中旅游费用支出在范围内的8名学生中有5名女生，
10、3名男生， 现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望.附:若，则，.【答案】（1）（百元）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）根据中位数定义列式解得中位数，（2）由正态分布得旅游费用支出在元以上的概率为，再根据频数等于总数与频率乘积得人数.(3)先确定随机变量取法，再利用组合数分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）设样本的中位数为，则，解得，所得样本中位数为（百元）. （2）， 旅游费用支出在元以上的概率为 ，估计有位同学旅游费用支出在元以上. （3）的可能取值为， ， ， ，的分布列为. 19. 如图所示的几何体是由棱台和棱
11、锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，平面.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据菱形性质得，根据线面垂直得，再根据线面垂直判定定理得平面，即得.最后根据得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系确定所成锐角二面角的余弦值.试题解析：(1)证明：因为底面四边形是菱形， 又平面， 平面，.又棱台中， (2)建立空间直角坐标系如图所示， 则， ， 所以，设平面的一个法向量为，则,，.令，得， ； 设平面的法向量为，则,，
12、令，得， ， 设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 20. 已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交于两点，且.（1）求拋物线方程；（2）设点在准线上的投影为，是上一点，且，求面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）；（2），.【解析】试题分析：（1）依题意，分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得抛物线方程.（2）设，则，直线联立直线方程与抛物线方程可得，点到直线的距离，则，当且仅当时等号成立，直线方程为或.试题解析：（1）依题意，当直线的斜率不存在时，当直线的斜率存在时，设由，化简得由得，所以抛物线方程.（2）设，则，又由，可得因为，所以，故直线
13、由，化简得，所以.所以设点到直线的距离为，则所以，当且仅当，即,.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21. 已知函数.（1）如图，设直线将坐标平面分成四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；（2）当时，求证：且，有.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据定义域确定只能在3，4区域，再根据确定只能在4，转化为不等式恒成立，分离变量得利用导数求函数单调性，根据单调性确定函数最值，即得的取值范围；（2）作差函数，再利用二次求导确定为单调递减函数，最后根据，得，即得结论.试题解析：（1）函数的定义域为，且当时，又直线恰好通过原点，函数的图象应位于区域内， 于是可得， 即 ，令，则时，单调递增；时，单调递减 的取值范围是 （2）， 设,则，时 为单调递减函数，不妨设，令（），可得， ，且单调递减函数，为单调递减函数， ，即 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数
