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1、【知识要点】一、数列的求和要有通项意识,先要对通项特征进行分析(数列的通项决定了数列的求和方法),再确定数列求和的方法.二、数列常用的求和方法有六种:求和六法 一公二错三分四裂五倒六并,最后一定要牢记,公比为1不为1.1、公式法:如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列(正整数数列、正整数的平方和立方数列等)也可以直接使用公式求和.等差数列求和公式:等比数列求和公式:常见的数列的前项和:, =,,等.2、错位相减法:若数列,其中是等差数列,是等比数列,则采用错位相减法.若,其中是等差数列,是公比为等比数
2、列,令 ,则两式错位相减并化简整理即得.3、分组求和法:有一类数列,它既不是等差数列,也不是等比数列,但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列,则可以将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列,然后分别求和,再将其合并即可.4、裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似(其中是各项不为零的等差数列,为常数)的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和,需要掌握一些常见的裂项方法:,特别地当时, ,特别地当时 5、倒序相加法:类似于等差数列的前项
3、和的公式的推导方法.如果一个数列,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加,就得到一个常数列的和.这一种求和的方法称为倒序相加法.6.并项求和法.有些数列的通项里有,这种数列求和时,一般要分奇数和偶数来分类讨论.【方法讲评】方法一公式法使用情景如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列(正整数数列、正整数的平方和立方数列等)也可以直接使用公式求和.解题步骤直接代入公式即可. 学科.网【例1】已知等比数列中,,公比,又分别是某等差数列的第项,第项,第项.(1)求;(2
4、)设,求数列的前项和.【解析】(1)依题意有,即,,即2.,.故.【点评】(1)利用公式法求数列的前项和,一般先求好数列前项和公式的各个基本量,再代入公式.(2)第2问注意要分类讨论,因为与7的大小关系不能确定.【反馈检测1】已知是公差不为零的等差数列,且成等比数列.()求数列的通项;()求数列的前项和. 方法二错位相减法使用情景已知数列,其中是等差数列,是等比数列,则采用错位相减法.解题步骤若,其中是等差数列,是公比为等比数列,令,则 两式相减并整理即得.【例2】 已知函数 ,是数列的前项和,点(,)()在曲线上.()求数列的通项公式;()若,且是数列的前项和. 试问是否存在最大值?若存在,
5、请求出的最大值;若不存在,请说明理由.()因为 所以 得 .整理得, 策略二 利用商值比较法由式得.因为所以,即. 所以所以存在最大值.策略三 利用放缩法由式得,又因为是数列的前项和,所以. 所以所以存在最大值.【反馈检测2】数列的通项是关于的不等式的解集中正整数的个数,(1)求数列的通项公式; (2)若,求数列的前项和;(3)求证:对且恒有方法三分组求和法使用情景有一类数列,它既不是等差数列,也不是等比数列,但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列.解题步骤可以将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列,然后分别求和,再将其合并即可.【例3】已知数列的前项和为,且满足(1
6、)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;(2)数列满足,其前项和为,试求满足的最小正整数(2)设 【点评】(1)数列求和时,要分成两个数列求和,其中一个是数列通项是,它用错位相减来求和,另外一个数列是,它是一个等差数列,直接用公式法求和.(2)解不等式时,直接用代值试验解答就可以了.【反馈检测3】已知数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.方法四裂项相消法使用情景类似(其中是各项不为零的等差数列,为常数)的数列、部分无理数列等.解题步骤把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前项的和变成首尾若干少数项
7、之和. 学科.网【例4】 已知等差数列满足:,.的前项和为. ()求 及;()令(),求数列的前项和.【解析】()设等差数列的公差为,因为,所以有,解得,所以;=.()由()知,所以bn=,【点评】利用裂项相消时,注意消了哪些项,保留了哪些项.如,.为了确定保留了哪些项,最好前后多写一些项.【反馈检测4】 设数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和. 【反馈检测5】已知各项均为正数的数列的前项和为,且().() 求的值及数列的通项公式; () 记数列的前项和为,求证:().方法五倒序相加法使用情景如果一个数列,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和.解题步骤可采用正序写和
8、与倒序写和的两个和式相加,就得到一个常数列的和.【例5 】 已知数列的前项和,函数对有,数列满足.(1)分别求数列、的通项公式;(2)若数列满足,是数列的前项和,若存在正实数,使不等式对于一切的恒成立,求的取值范围【解析】(1) -得 即 要使得不等式恒成立,对于一切的恒成立,即 令,则当且仅当时等号成立,故 所以为所求. 【点评】如果一个数列,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可以利用倒序相加法求和.【例6】求证:【点评】如果一个数列,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可以利用倒序相加法求和.【反馈检测6】已知函数(1)证明:;(2)求的值.方法六并项求和法使用情景有些数
9、列的通项里有,这种数列求和时,一般要分奇数和偶数来分类讨论.解题步骤一般把项数分成奇数和偶数两种情况分类讨论. 学科.网【例7】求和:【解析】当为偶数时,当为奇数时,【点评】(1)如果数列的通项里有,这种数列求和时,一般要分奇数和偶数来分类讨论.把两项合成一项来求和. (2)这种情况最好先计算偶数的情况,再计算奇数的情况.讨论奇数情况时,为了减少计算量,提高计算效率,可以利用,而可以利用前面计算出来的偶数的结论(因为是偶数),只要把偶数情况下表达式中所有的都换成即可.【反馈检测7】已知数列的首项为,前项和,且数列是公差为的等差数列(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和高中数学常见题型
10、解法归纳及反馈检测第39讲:数列求和的方法参考答案【反馈检测1答案】(1);(2).【反馈检测1详细解析】()由题设知公差,由,成等比数列得,解得, 故的通项.()由()知,由等比数列前项和公式得.【反馈检测2答案】(1);(2);(3)见解析.(3) 由知于是故当且时为增函数 综上可知 . (2)由(1)知,故数列的前项和【反馈检测4答案】(1);(2).【反馈检测4详细解答】(1)因为, 所以当时, 当时, ,得,所以因为,适合上式,所以;(2)由(1)得,所以,所以【反馈检测5答案】(1), ;(2)见后面解析.【反馈检测5详细解析】()当时,解得或(舍去) 当时,相减得即,又,所以,则,所以是首项为,公差为的等差数列,故 证法二:当时,当时,先证,即证显然成立.所以所以, 综上,对任意,均有成立.【反馈检测6答案】(1);(2).学科.网【反馈检测7答案】(1);(2)【反馈检测7详细解析】(1)(1)由已知得, 当时,(2)由可得当为偶数时,综上,