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1、第 1 页页 23 个经典的不等式专题 1. 证明:; . 222 111 1+2 23n 2. 若:,求证: ; 33 ab2 ab2 3. 若:,求证:; nN . 1111 1 2n1n22n 4. 若:,且,求:的取值范围 ; , a b0 abab3 ab 5. 若:是的三边,求证: ; , ,a b cABC abc 1a1b1c 6. 当时,求证: ; n2 . 222 111111 1 2n1n 23n 7. 若,求的值域 ; xR 22 yxx1xx1 8. 求函数的最大值和最小值 ; sin cos 3 y 2 9. 若,求证: ; , ,a b c0 2229 abbcc
2、aabc 10.若,且,试求:的取值范围; , ,a b cR 222 abc25 a2b2c 11.若,且,求的最小值; , ,a b cR 2ab2c6 222 abc 12.若,且,求的最大值和最小值; , ,a b cR ()()() 222 a1b2c3 1 1654 abc 13.若,且满足, , ,a b c0 , ,x y z0 222 abc25 222 xyz36 ,求:的值; axbycz30 abc xyz 14.求证: ; n 2 k 1 15 3 k 15.当时,求证:; n2 ()n 1 213 n 16.求证: ; . () . . () 11 31 3 51
3、3 52n1 2n1 22 42 4 62 4 62n 第 2 页页 17.求证: ; ().() 111 2n11122n11 23n 18.已知:,求证: ; x0 ln() x 1xx 1x 19.已知:,求证: ; nN .ln(). 11111 1n1 23n12n 20.已知:,求证: ; n2 () n 2n n1 21.已知:,求证: ; nN . n 111n 1 23212 22.设:,求证: ; .() n S1 22 3n n1 ()()2 n n n12Sn1 23.已知:,求证: . nN . 111 12 n1n23n1 23 个经典的不等式专题解析 1. 证明:
4、 ; . 222 111 1+2 23n 证明 放缩法 . () nnnn 22 k 1k 2k 2k 2 111111 111112 k k1k1kn kk 从第二项开始放缩后,进行裂项求和. 此法称为“放缩法”. 积分法 构建函数:,则在区间为单调递减函数. ( ) 1 f x 2 x ( )f xxR 于是: () n nn n 222 1 1k 1k 2 1111111 11dx1122 xn1n kkx 从第二项开始用积分,当函数是减函数时,积分项大于求和项时,积分限为; 1, n 积分项小于求和项时,积分限为. 此法称为“积分法”. 2,1n 第 3 页页 加强版 求证: . 22
5、2 1117 4 12n 证明 放缩法 .+. 2222222 1111111 12n12131n1 . 1111111 1 221213131n1n1 11111 1 22131nn1 111 1 22131 1137 111 2244 2. 若:,求证: 33 ab2 ab2 证明 公式法 ,即: ()()() 3322 abab ababab ab ()ab ab2 则:,即:,即:. ()3ab ab6 () 33 ab3ab ab8 ()3ab8 ab2 立方和公式以及均值不等式配合. 此法称为立方和的“公式法”. 琴生不等式 构建函数:,则在在区间为单调递增函数,且是下凸函数. (
6、 ) 3 f xx xR 对于此类函数,琴生不等式表述为:函数值得平均值不小于平均值的函数值. 即: ()().(). () f xf xf xxxx 12n12n f nn 对于本题: 即: ( )( ) () f af bab f 22 333 abab 22 即:,即:,即: 333 abab2 1 222 ab 1 2 ab2 第 4 页页 琴生不等式可秒此题. 此法称为“琴生不等式”. 权方和不等式 若(,或) a0 b0 m0 m1 则: (.) . (.) m 1m 1m 1 n1n1 mmm 1n1n aaaa bbbb 已知:,即: 33 ab2 33 22 ab 1 22(
7、)() 采用权方和不等式: 3333 2223 ababab 22222 ()() ()()() 即:,即:. 此法称为“权方和不等式”. 3 3 ab 1 2 () ab2 幂均不等式 由于幂均函数随 单调递增而得到幂均不等式: . ( ) 1 rrr r 12n r aaa Ma n r ,即: ( )( ) 13 MaMa 1 33 3 abab 22 即:,即:. = 1 1 33 3 3abab2 1 222 ab2 此法称为“幂均不等式”. 3. 若:,求证: nN . 1111 1 2n1n22n 解析 放缩法 由: 得: , nnnkn , ,.(),k1 2n 111 2nn
8、kn 则:, 即: nnn k 1k 1k 1 111 2nnkn . n111n 2nn1n2nnn 第 5 页页 故: . . 1111 1 2n1n22n 从一开始就放缩,然后求和. 此法称为“放缩法”. 性质法 本题也可以采用不等式性质证明. 所证不等式中的任何一项如第项,均满足,当有项累加时, k 111 2nnkn n 不等式两个边界项乘以倍,则不等式依然成立. n 即:大于最小值得倍,小于最大值的倍. nn 另外,的最大值是,本题有些松. . 111 n1n22n ln.20 693147 4.若:,且,求:的取值范围 ; , a b0 abab3 ab 解析 解析法 , ()(
9、)() 222 abab2ab4ab4 ab34 ab12 令:,则上式为:,即: tab 2 t4t120 ()()t6 t20 故:或(舍). t6 t2 本题采用了均值不等式和二次不等式. 基本不等式 由得:,即:. abab3 abab14 ()()a1 b14 两正数之积为定值时,两数相等时其和最小. 故:当时,为最小值. ()()a1b12 ()()a1b1 即:,即:. ()()a1b1224 ab6 拉格朗日乘数法 拉格朗日函数为: ( , )()L a bababab3 第 6 页页 当拉氏函数取极值时,; () L 1b10 a () L 1a10 b 即:,即: 11 b1a1 ba 则取极值时,代入得: ( , )L a bba abab3 2 a2a3 即:,即:,即: 2 a2a30 ()()a3 a10 a3 故:取极值时,则: ( , )L a bba3 ab6 由于当时,代入得:,即: a2 abab3 2bb5 b5 此时,. ab