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1、第 1 页页 23 个经典的不等式专题 1. 证明：； . 222 111 1+2 23n 2. 若：，求证： ； 33 ab2 ab2 3. 若：，求证：； nN . 1111 1 2n1n22n 4. 若：，且，求：的取值范围 ； , a b0 abab3 ab 5. 若：是的三边，求证： ； , ,a b cABC abc 1a1b1c 6. 当时，求证： ； n2 . 222 111111 1 2n1n 23n 7. 若，求的值域 ； xR 22 yxx1xx1 8. 求函数的最大值和最小值 ； sin cos 3 y 2 9. 若，求证： ； , ,a b c0 2229 abbcc
2、aabc 10.若，且，试求：的取值范围； , ,a b cR 222 abc25 a2b2c 11.若，且，求的最小值； , ,a b cR 2ab2c6 222 abc 12.若，且，求的最大值和最小值； , ,a b cR ()()() 222 a1b2c3 1 1654 abc 13.若，且满足， , ,a b c0 , ,x y z0 222 abc25 222 xyz36 ，求：的值； axbycz30 abc xyz 14.求证： ； n 2 k 1 15 3 k 15.当时，求证：； n2 ()n 1 213 n 16.求证： ； . () . . () 11 31 3 51
3、3 52n1 2n1 22 42 4 62 4 62n 第 2 页页 17.求证： ； ().() 111 2n11122n11 23n 18.已知：,求证： ； x0 ln() x 1xx 1x 19.已知：，求证： ； nN .ln(). 11111 1n1 23n12n 20.已知：，求证： ； n2 () n 2n n1 21.已知：，求证： ； nN . n 111n 1 23212 22.设：，求证： ； .() n S1 22 3n n1 ()()2 n n n12Sn1 23.已知：，求证： . nN . 111 12 n1n23n1 23 个经典的不等式专题解析 1. 证明：
4、 ； . 222 111 1+2 23n 证明 放缩法 . () nnnn 22 k 1k 2k 2k 2 111111 111112 k k1k1kn kk 从第二项开始放缩后，进行裂项求和. 此法称为“放缩法”. 积分法 构建函数：，则在区间为单调递减函数. ( ) 1 f x 2 x ( )f xxR 于是： () n nn n 222 1 1k 1k 2 1111111 11dx1122 xn1n kkx 从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为； 1, n 积分项小于求和项时，积分限为. 此法称为“积分法”. 2,1n 第 3 页页 加强版 求证： . 22
5、2 1117 4 12n 证明 放缩法 .+. 2222222 1111111 12n12131n1 . 1111111 1 221213131n1n1 11111 1 22131nn1 111 1 22131 1137 111 2244 2. 若：，求证： 33 ab2 ab2 证明 公式法 ，即： ()()() 3322 abab ababab ab ()ab ab2 则：，即：，即：. ()3ab ab6 () 33 ab3ab ab8 ()3ab8 ab2 立方和公式以及均值不等式配合. 此法称为立方和的“公式法”. 琴生不等式 构建函数：，则在在区间为单调递增函数，且是下凸函数. (
6、 ) 3 f xx xR 对于此类函数，琴生不等式表述为：函数值得平均值不小于平均值的函数值. 即： ()().(). () f xf xf xxxx 12n12n f nn 对于本题： 即： ( )( ) () f af bab f 22 333 abab 22 即：，即：，即： 333 abab2 1 222 ab 1 2 ab2 第 4 页页 琴生不等式可秒此题. 此法称为“琴生不等式”. 权方和不等式 若（，或） a0 b0 m0 m1 则： (.) . (.) m 1m 1m 1 n1n1 mmm 1n1n aaaa bbbb 已知：，即： 33 ab2 33 22 ab 1 22(
7、)() 采用权方和不等式： 3333 2223 ababab 22222 ()() ()()() 即：，即：. 此法称为“权方和不等式”. 3 3 ab 1 2 () ab2 幂均不等式 由于幂均函数随 单调递增而得到幂均不等式： . ( ) 1 rrr r 12n r aaa Ma n r ，即： ( )( ) 13 MaMa 1 33 3 abab 22 即：，即：. = 1 1 33 3 3abab2 1 222 ab2 此法称为“幂均不等式”. 3. 若：，求证： nN . 1111 1 2n1n22n 解析 放缩法 由： 得： ， nnnkn , ,.(),k1 2n 111 2nn
8、kn 则：， 即： nnn k 1k 1k 1 111 2nnkn . n111n 2nn1n2nnn 第 5 页页 故： . . 1111 1 2n1n22n 从一开始就放缩，然后求和. 此法称为“放缩法”. 性质法 本题也可以采用不等式性质证明. 所证不等式中的任何一项如第项，均满足，当有项累加时， k 111 2nnkn n 不等式两个边界项乘以倍，则不等式依然成立. n 即：大于最小值得倍，小于最大值的倍. nn 另外，的最大值是，本题有些松. . 111 n1n22n ln.20 693147 4.若：，且，求：的取值范围 ； , a b0 abab3 ab 解析 解析法 ， ()(
9、)() 222 abab2ab4ab4 ab34 ab12 令：，则上式为：，即： tab 2 t4t120 ()()t6 t20 故：或（舍）. t6 t2 本题采用了均值不等式和二次不等式. 基本不等式 由得：，即：. abab3 abab14 ()()a1 b14 两正数之积为定值时，两数相等时其和最小. 故：当时，为最小值. ()()a1b12 ()()a1b1 即：，即：. ()()a1b1224 ab6 拉格朗日乘数法 拉格朗日函数为： ( , )()L a bababab3 第 6 页页 当拉氏函数取极值时，； () L 1b10 a () L 1a10 b 即：，即： 11 b1a1 ba 则取极值时，代入得： ( , )L a bba abab3 2 a2a3 即：，即：，即： 2 a2a30 ()()a3 a10 a3 故：取极值时，则： ( , )L a bba3 ab6 由于当时，代入得：，即： a2 abab3 2bb5 b5 此时，. ab
