《高三数学一轮复习第五章 平面向量5.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习第五章 平面向量5.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算课件（77页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算 (江苏卷5年0考) 【知识识梳理】 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理. 条件:e1,e2是同一个平面内的两个_向量. 结论结论 :对对于这这一平面内的任一向量a,_实实 数1,2满满足a=_. 不共线线 有且只有一对对 1e1+2e2 (2)基底:不共线线的向量e1,e2叫做表示这这一平面内所有 向量的一组组基底. (3)平面向量的正交分解. 向量正交分解是把一个向量分解为为两个_的向 量. 互相垂直 2.平面向量的坐标标表示 (1)平面向量的坐标标表示: 在平面直角坐标标系中,分别别取与x轴轴、y轴轴方向相同的两 个单单位向量i,j作为为
2、基底,由平面向量基本定理知,该该平 面内的任一向量a可表示成a=x i+y j,由于a与有序数 对对(x,y)是一一对应对应 的,因此向量a的坐标标是(x,y),记记作 _. a=(x,y) (2)设设 =xi+yj,则则向量 的坐标标(x,y)就是_的 坐标标,即若 =(x,y),则则A点坐标为标为 _,反之亦成立 (O是坐标标原点). 终终点A (x,y) 3.平面向量的坐标标运算 向量的加法 、减法 设设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则a+b= _ _,a-b=_ 向量的数乘设设a=(x,y),R,则则a= _ 向量坐标标的 求法 若向量的起点是坐标标原点,则终则终 点坐标标
3、 即为为向量的坐标标 设设A(x1,y1),B(x2,y2),则则 = _ _ (x1+x2, y1+y2)(x1-x2,y1-y2) (x,y) (x2-x1, y2-y1) 4.向量共线线的坐标标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab_=0, 特别别地,若x2,y20,则则ab . x1y2-x2y1 【常用结论结论 】 1.向量共线线的充要条件有两种 aba=b(b0). a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则abx1y2-x2y1=0. 2.两向量相等的充要条件 它们们的对应对应 坐标标相等. 3.注意向量坐标标与点的坐标标的区别别 (1)向量与坐标标之间间是用
4、等号连结连结 . (2)点的坐标标,是在表示点的字母后直接加坐标标. (3) 是用B点的横纵纵坐标标减去A点的横纵纵坐标标,既有方 向的信息也有大小的信息,其向量位置不确定. (4)点的坐标标含有横坐标标和纵纵坐标标,点是唯一的. 【基础础自测测】 题组题组 一:走出误误区 1.判断正误误(正确的打“”,错误错误 的打“”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为为一组组基底. ( ) (2)同一向量在不同的基底下的表示是相同的. ( ) (3)在ABC中,设设 =a, =b,则则a与b的夹夹角为为 ABC. ( ) (4)若a,b不共线线,且1a+1b=2a+2b,则则1=2, 1=2.( )
5、 提示:(1).因为一组不共线的向量可以作为一组基底 ,所以平面内的任意两个向量都可以作为一组基底错误 . (2).由平面向量基本定理可知,平面内的任意向量都 可以由一组基向量唯一线性表示,而同一向量在不同的 基底下的表示是不同的. (3).由向量夹角的定义可知:a与b的夹角为ABC的补 角. (4).因为1a+1b=2a+2b,所以(1-2)a= (2-1)b,当1-20时,a= b,所以a与b共线, 与已知a,b不共线矛盾. 2.若 =(1,2), =(3,4),则则 =_. 【解析】向量加法法则可知: = + =(1,2)+(3,4)=(4,6). 答案:(4,6) 3.在ABC中,已知
6、M是BC的中点,设设 =a, =b,则则 =_. 【解析】在ABC中,因为M是BC的中点,由向量加法的平 行四边形法则可知: 答案:- 题组题组 二:走进进教材 1.(必修4P81练习练习 T2改编编)已知向量a=(4,2),b=(x,3), 且ab,则则x的值值是_. 【解析】因为ab,所以43-2x=0,所以x=6. 答案:6 2.(必修4P79练习练习 T7改编编)已知三个力F1=(-2,-1),F2= (-3,2),F3=(4,-3)同时时作用于某物体上一点,为为使物体 保持平衡,现现加上一个力F4,则则F4=_. 【解析】根据力的平衡原理有F1+F2+F3+F4=0,所以F4= -(
7、F1+F2+F3)=(1,2). 答案:(1,2) 3.(必修4P82T9改编编)已知点A(1,-2),若向量 与a= (2,3)同向, =2 ,则则点B的坐标为标为 _. 【解析】设点B的坐标为(x,y),则 =(x-1,y+2), 因为向量 与a=(2,3)同向, 所以 0, 因为 =2 , 所以(x-1)2+(y+2)2=52, 由联立解得 所以点B的坐标为(5,4). 答案:(5,4) 4.(必修4P82T6改编编)设设点P是线线段P1P2上的一点,若 P1(1,3),P2(4,0)且点P是P1P2的一个三等分点,则则点P的 坐标为标为 _. 【解析】由题意得 = 或 = , =(3,
8、-3). 设P(x,y),则 =(x-1,y-3), 当 = 时,(x-1,y-3)= (3,-3), 所以x=2,y=2,即P(2,2). 当 = 时,(x-1,y-3)= (3,-3), 所以x=3,y=1,即P(3,1). 答案:(2,2)或(3,1) 考点一 平面向量的坐标标运算 【题组练题组练 透】 1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则则向量 a- b=_. 【解析】因为a=(1,1),b=(1,-1), 所以 a- b= (1,1)- (1,-1) = =(-1,2). 答案:(-1,2) 2.已知点A(0,1),B(3,2),向量 =(-4,-3),则则向量 =_
9、. 【解析】 =(3,1), =(-4,-3), = - = (-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 答案:(-7,-4) 3.已知ABC的三个顶顶点A,B,C的坐标标分别为别为 (0,1), ( ,0),(0,-2),O为为坐标标原点,动动点P满满足| |=1,则则 | |的最小值值是_. 【解析】设P(cos ,-2+sin ), 则 = 答案: -1 4.已知A(1,0),B(4,0),C(3,4),O为为坐标标原点,且 = ,则则| |等于_. 【解析】由 = = , 知点D是线段AC的中点,故D(2,2), 所以 =(-2,2),故| |= 答案:2 5.已知正ABC的边长为边
10、长为 2 ,平面ABC内的动动点P,M满满 足| |=1, 则则| |2的最大值值是_. 【解析】建立平面直角坐标系如图所示, 则B(- ,0),C( ,0),A(0,3),则点P的轨迹方程为x2+ (y-3)2=1.设P(x,y),M(x0,y0),则x=2x0- ,y=2y0,代入 圆的方程得 所以点M的轨迹方程 为 它表示以 为圆心,以 为半 径的圆, 所以 所以 = 答案: 【规规律方法】向量坐标标运算的注意事项项 (1)向量坐标标与点的坐标标形式相似,实质实质 不同. (2)向量坐标标形式的线线性运算类类似于多项项式的运算. (3)向量平行与垂直的坐标标表达形式易混淆,需清楚结结 论
11、论推导过导过 程与结结果,加以区分. 考点二 平面向量基本定理及其应应用 【典例】(1)如图图所示,矩形ABCD的对对角线线相交于点O,E 为为AO的中点,若 (,为实为实 数),则则2+2= _.世纪纪金榜导导学号 【解析】 所以= ,=- , 故2+2= . 答案: (2)在ABC中,点D,E分别别在边边BC,AC上,且 若 =a, =b,则则 =_.(用a,b 表示) 【解析】 答案: 【规规律方法】应应用平面向量基本定理解题题的一般策略 (1)根据题题意选选准基底或建立直角坐标标系. (2)结结合平面几何知识识,运用平面向量的线线性运算,用 基底或坐标标表示所求向量. 【对对点训练训练
12、 】 1.已知在ABC中,点O满满足 =0,点P是OC上 异于端点的任意一点,且 则则m+n的取值值 范围围是_. 【解析】依题意,设 (00. 【对对点练练找规规律】 1.(2018全国卷)已知向量a= b= c= 若 c 则则=_. 【解析】因为2a+b=(4,2),c=(1,),且c(2a+b), 所以4=21,解得= . 答案: 2.已知向量 =(1,-3), =(2,-1), =(k+1,k-2), 若A,B,C三点能构成三角形,则实则实 数k应满应满 足的条件是 _. 【解析】若点A,B,C能构成三角形,则向量 不共 线.因为 =(2,-1)-(1,-3)=(1,2), =(k+1
13、,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以1(k+1)-2k0, 解得k1. 答案:k1 3.设设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量a+b与向量c=(-4, -7)共线线,则则=_. 【解析】因为a=(1,2),b=(2,3),所以a+b=(,2) +(2,3)=(+2,2+3).因为向量a+b与向量c=(-4,- 7)共线,所以-7(+2)+4(2+3)=0.所以=2. 答案:2 思想方法系列向量中的数形结结合思想 【思想诠释诠释 】数形结结合就是把抽象的数学语语言、数量 关系与直观观的几何图图形、位置关系结结合起来,通过过“ 以形助数”或“以数解形”即通过过抽象思维维与形象思
14、维维的结结合,可以使复杂问题简单杂问题简单 化,抽象问题问题 具体化, 从而起到优优化解题题途径的目的. 向量中的数形结结合思想应应关注以下几点: (1)向量的几何表示关注方向. (2)向量运算中的三角形、平行四边边形法则则使向量具 备备形的特征. (3)向量的坐标标表示和坐标标运算又具备备数的特征. 【典例】给给定两个长长度为为1的平面向量 和 它们们 的夹夹角为为 如图图所示,点C在以O为圆为圆 心的 上运动动. 若 其中x,yR,求x+y的最大值值. 【解析】以O为坐标原点, 所在的直线为x轴建立平 面直角坐标系,如图所示, 则A(1,0),B 设AOC= 则C(cos ,sin ), 所以x=cos + sin ,y= sin , 所以x+y=cos + sin =2sin 又 所以当= 时,x+y取得最大值2. 【技法点拨拨】 向量中的数形结结合
