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1、2018-2019学年度上学期第三次月考高二文科数学试题本试卷满分150分,考试时间120分钟。请在答题卷上作答。第I卷 选择题 (共60分)一、选择题(本大题共12题,每题5分,满分60分,每小题只有一个正确答案)1.已知命题,命题q:若恒成立,则,那么()A. “”是假命题 B. “”是真命题C. “”为真命题 D. “”为真命题【答案】D【解析】【分析】分别判断命题的真假性,然后再判断每个选项的真假【详解】,即不存在,命题是假命题若恒成立,时,即符合条件时,则解得,则命题为真命题故是真命题故选【点睛】本题考查了含有“或”“且”“非”命题的真假判定,只需将命题的真假进行判定出来即可,需要解
2、答一元二次不等式,属于基础题。2.已知,是的充分条件,则实数的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】p是q的充分条件,所以pq,则p是q的子集,由此得出集合的包含关系,再解不等式即可。【详解】由 0,得0x1,即p:0x1.由4x2xm0,得4x2xm.因为4x2x(2x)22x,要使p是q的充分条件,则当0x1时,m大于等于4x2x的最大值,又当x1时,4x2x有最大值6,所以m6.故选A.【点睛】在判断充分不必要条件,必要不充分条件,充分必要条件时转化为集合的关系。等价于是的子集。3.已知椭圆的离心率是,过椭圆上一点作直线,分别交椭圆于,两点,且斜率分别为,若点,
3、关于原点对称,则的值为()A. B. C. D. 【答案】【解析】设点,则。则。 由题意得,,又,解得,答案:点睛:关于点与椭圆的位置关系有以下结论:点在椭圆内;点在椭圆上;点在椭圆外特别是根据点在椭圆上,可得点的横纵坐标之间的等量关系,以便进行两坐标间的转化。4.已知,则等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析:令,则,因此,则根据求导公式有考点:导数的求法;换元法;5.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点若,则该双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析:由双曲线方程可知其渐近线方程为,将代入上式可得即
4、。因为,由图形的对称性可知,即。因为,所以,即。因为,所以。故B正确。考点:双曲线的简单几何性质。6.函数的图象大致是【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式,根据定义在上的奇函数图像关于原点对称可以排除,再求出其导函数,根据函数的单调区间呈周期性变化,分析四个选项即可得到结果【详解】当时,故函数图像过原点,排除又,令则可以有无数解,所以函数的极值点有很多个,故排除故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化结合四个选项,只有符合要求故选【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状,解决此类问题,主要从函数的定义域,值域,单调性以及奇偶性,极值等方面考虑,有时也用特殊值代入验证。7.已
5、知抛物线上一点到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为,若双曲线的一条渐近线与直线平行,则实数的值为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】由于到其焦点的距离为,所以,所以(,),由题意知,8.函数的单调减区间是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析:令,故选C.考点:函数的单调区间.9.设直线与函数的图像分别交于点,则当达到最小时的值为( )A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】由题,不妨令,则,令解得,因时,当时,所以当时,达到最小。即。10.设在和处均有极值,则下列点中一定在轴上的是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算的导数,可知-1,1是
6、方程的两根,结合根与系数关系,即可。【详解】,由题意知-1,1是方程的两根,由根与系数的关系知,所以,故选A.【点睛】本道题考查了函数导数计算方法,结合根与系数关系,即可。11.已知是抛物线的焦点,点,在该抛物线上且位于轴的两侧,(其中为坐标原点),则与面积之和的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析:据题意得,设,则,或,因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为 .【考点定位】1、抛物线;2、三角形的面积;3、重要不等式.12.做一个圆柱形锅炉,容积为,两个底面的材料每单位面积的价格为元,侧面的材料每单位面积的价格为元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为()A. B
7、. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设锅炉的高h与底面直径d的比为k=,运用圆柱的表面积公式和体积公式,结合导数,求得极值点且为最值点,即可得到【详解】设锅炉的高h与底面直径d的比为k=,由V=h=kd=kd3,可得d=,h=kd=,设造价为y,则y=2()2a+dhb=+b,则y=()+b,令y=0,解得k=,可得此时y取得最小值故当造价最低时,锅炉的高与底面直径的比为故选:A【点睛】本题考查函数在实际问题中的运用,考查导数的运用:求最值,同时考查圆柱的表面积和体积的运用,属于中档题第卷(非选择题 90分)二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.若命题“,”是真命题,则实数
8、的取值范围是_【答案】8,0【解析】当a0时,不等式显然成立;当a0时,由题意知得8a0.综上,8a0.14.如图,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于两点,且,则该椭圆的离心率是_【答案】 【解析】由题意得,故,又,所以【考点】椭圆离心率 【名师点睛】椭圆离心率的考查,一般分两个层次,一是由离心率的定义,只需分别求出,这注重考查椭圆标准方程中量的含义,二是整体考查,求的比值,这注重于列式,即需根据条件列出关于的一个等量关系,通过解方程得到离心率的值.15.已知,分别是双曲线的左,右焦点,是双曲线上在第一象限内的点,若且.延长交双曲线右支于点,则的面积等于_【答案】4【解析】【分
9、析】结合双曲线性质,可以计算,进一步结合双曲线性质,得到 为等腰三角形,结合三角形面积计算公式,即可得出答案。【详解】由题意知,根据双曲线定义,所以,所以.由图知,所以,为等腰三角形,又因为,所以,则为等腰直角三角形,所以.所以.【点睛】本道题考查了双曲线的基本性质,结合双曲线上点到焦点距离之差为定值,即可判定为等腰直角三角形,结合该三角形三边关系,即可得出答案。16.已知函数(其中为自然对数的底数,且)若,则实数的取值范围是_【答案】【解析】由二次函数的性质可知,当时,是增函数,当时,又当时,所以函数在R上是增函数,则不等式等价于,所以,则实数的取值范围是,故答案为.三、解答题(共6小题,共
10、70分) 17.命题:已知“”是“”的充分不必要条件,命题:,恒成立,如果“”为真,“”为假,求实数的取值范围【答案】【解析】【分析】先求出命题分别为真命题时实数的取值范围,然后再根据题意判断出命题的真假,解不等式组可得所求范围【详解】解不等式x26x0得0x6,当命题p为真,即“a1xa1”是“x26x1,x10,x(x1)1213(当且仅当,即时等号成立),由x(1,),xa恒成立得因为p为真,p且q为假,所以q为假,则有,解得,所以的取值范围为【点睛】解决该类问题的基本步骤:弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假;明确符合命题的构成形式;根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假;转化为
11、不等式(组)求解18.设函数是定义在上的偶函数,当时,(为实数)(1)当时,求的解析式;(2)若,试判断在上的单调性,并证明你的结论;(3)是否存在,使得时,有最大值1?【答案】(1);(2)详见解析;(3).【解析】试题分析:(1)根据分段函数的奇偶性可得当时,求的解析式;(2)由于可得恒成立,得在上为增函数,根据对称性得在上为减函数;(3)讨论时,当时两种情况,研究单调性并求最值,舍去不合题意的情况,即可得结论.试题解析: (1)设,则,又是偶函数,.(2),又,即在上为增函数.(3)当时,在上是增函数,(不合题意,舍去).当时,令,如下表:最大值在处取得最大值,满足条件,当时,在上单调递
12、减,在无最大值,所以存在,使在上有最大值.19.设函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求的解析式;(2)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值,并求此定值【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】解:(1)方程7x4y120可化为yx3,当x2时,y又f(x)a,于是,解得故f(x)x(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由f(x)1知,曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为yy0(1)(xx0),即y(x0)(1)(xx0)令x0得,y,从而得切线与直线x0,交点坐标为(0,)令yx,得yx2x0,从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(
13、x0,y0)处的切线与直线x0,yx所围成的三角形面积为|2x0|6曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值,此定值为620.已知椭圆上的点到左,右两焦点,的距离之和为,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过右焦点的直线交椭圆于,两点,若轴上一点满足,求直线的斜率的值【答案】(1);(2)【解析】试题分析:(1)根据与离心率可求得a,b,c的值,从而就得到椭圆的方程;(2)设出直线的方程,并与椭圆方程联立消去y可得到关于x的一元二次方程,然后利用中点坐标公式与分类讨论的思想进行解决试题解析:(1),椭圆的标准方程为(2)已知,设直线的方程为,-,联立直线与椭圆的方程,化简得:,的中点坐标为当时,的中垂线方程为,点在的中垂线上,将点的坐标代入直线方程得:,即,解得或当时,的中垂线方程为,满足题意,斜率的取值为.考点:1、椭圆的方程及几何性质;2、直线与椭圆的位置关系21.已知双曲线的中心在原点,焦点,在坐标轴上,离心率为,且过点.(1)求双曲线的方程;(2)若点在双曲线上,求证:;(3)求的面积【答案】