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1、,平面解析几何复习1,执教教师：XXX,课 前 自 修,知识梳理,一、圆的标准方程 设圆心C坐标(a，b)，半径是r，则圆C的标准方程是_特别地，圆心为O(0,0)时，标准方程为_ 二、圆的一般方程 当D2+E2-4F0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的_，其圆心为_，半径r=_.,(x-a)2+(y-b)2=r2,一般方程,x2+y2=r2,三、圆的直径式方程 以(x1，y1)，(x2，y2)为直径的圆的方程可写为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 四、二元二次方程表示圆的充要条件 设二元二次方程为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.该方程表示圆的充
2、要条件为：A=C0，B=0，D2+E2-4AF0，而A=C0，B=0只是方程表示圆的必要条件,五、常见的圆系方程及其应用 1过定直线l：Ax+By+C=0和定圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系：x2+y2+Dx+Ey+F+l(Ax+By+C)=0. 2过两定圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0和x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系：x2+y2+D1x+E1y+F1+l(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0，当l=-1时，方程表示两圆公共弦所在直线的方程,1圆x2+y2-2ax+4y+a=0的面积为4p，则a=( ) A0或-1 B-1或1 C0或1 D-1或1,解析：
3、依题意知圆的半径为r 2，解得a0或a1，且都满足a2a40， a0或a1.故选C. 答案：C,基础自测,2(2012潍坊市模拟)对于aR，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心，以 为半径的圆的方程为( ) Ax2y22x4y0 Bx2y22x4y0 Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0,解析：直线方程可化为(x1)axy10，易得直线恒过定点(1,2)故所求圆的方程为(x1)2(y2)25，即为x2y22x4y0.故选C. 答案：C,3(2011辽宁卷) 已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为_,4(2012桂林市模拟)已知圆C的圆心与点P(-
4、2,1)关于直线y=x+1对称直线3x+4y-11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为_.,解析：圆心的坐标为(0，1)，所以r232 18，圆的方程为x2(y1)218. 答案：x2(y1)218,考 点 探 究,考点一,求圆的方程,【例1】 根据下列条件，求圆的方程 (1)和圆x2+y2=4相外切于点P(-1， )，且半径为4； (2)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上； (3)已知一圆过P(4，-2)，Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4,思路点拨：在用待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程；若已
5、知条件与圆心、半径的关系不大，则设圆的一般方程,点评：无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式,变式探究,1(1)圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A，B，若|AB|= ，则该圆的一般方程是_ (2)已知f(x)=(x-1)(x+2)的图象与x轴，y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是_,(2) f(x)的图象与x轴交于点A(1,0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2)，设过A，B，C三点的圆的方程为x2y2Dx EyF0，
6、则有 解得D1，E1， F2，所以圆的方程为x2y2xy20，设圆与y轴另一个交点为M(0，a)，易知a1，所以交点坐标为M(0,1) 答案：(1)4x24y28x4y10 (2)(0,1),考点二,圆的综合问题,【例2】 设圆满足：截y轴所得的弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31.在满足条件的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程,解析：(法一)设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴y轴的距离分别为|b|，|a|. 由题设条件知圆P截x轴所得的劣弧所对的圆心角为90，圆P截x轴所得的弦长为 r，故r22b2. 又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2a2
7、1，从而得2b2a21. 点P到直线x2y0的距离为d ， 5d2(a2b)2a24b24ab 2a22b24ab12(ab)211. 当且仅当ab时取等号，此时，5d21，d取得最小值 由ab及2b2a21得 或 进而得r22. 所求圆的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.,(法二)同法一，得d ，所以a2b d，a24b24 bd5d2，将a22b21代入整理得2b24 bd5d210，(*) 把(*)看成关于b的二次方程，由于方程有实数根，故0即8(5d21)0,5d21，可见5d2有最小值1，从而d有最小值 ，将其代入(*)式得2b24b20，b1，r22b22，a2
8、2b211，a1. 由|a2b|1知a，b同号 故所求圆的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.,变式探究,2已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1，点A(-1,0)，B(1,0)，点P为圆上的动点，求d=|PA|2+|PB|2的最大值、最小值及对应的点P的坐标,解析：若设P(x0，y0)，则d|PA|2|PB|2(x01)2y (x01)2y 2(x y )2， 欲求d的最值，只需求xy的最值， 即求圆C上的点到原点距离的平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求,设过O，C两点的直线交圆C于P1，P2两点，直线OC的方程为y x，代入圆的方程中，
9、可解得P1，P2两点的坐标为P1 ，P2 . min(|OC|1)216|OP1|2，此时dmin216234，P1 . max(|OC|1)236|OP2|2，此时dmax236274，P2 .,考点三,求点的轨迹,【例3】 设A(-c,0)，B(c,0)(c0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0)，求点P的轨迹 思路点拨：根据题设，可直接由题中条件建立方程关系，然后化简方程,点评：本题的解法是直接由题中条件，建立方程关系，然后化简方程，这种求曲线方程的方法称为直接法主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力
10、有较高要求同时也考查了分类讨论这一数学思想,变式探究,3(1)若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称，过点C(-a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为_,解析：由圆x2y2ax2y10与圆x2y21关于直线yx1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线yx1上，故可得a2，即点C(2,2)，所以过点C(2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x2)2(y2)2x2，整理即得y24x4y80. 答案：y24x4y80,(2)设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹,思路点拨：
11、本题关键是找出动点P与定点M及已知动点N之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可,1不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值 2求圆的方程的一般步骤 (1)选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程)； (2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组； (3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得
12、到所求圆的方程,3解析几何中与圆有关的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算 4在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项只是表示圆的必要条件而不是充分条件 5在一般方程中，当D2+E2-4F=0时，方程表示一个 点，当D2+E2-4F0时，无轨迹 6数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握 7与圆有关的轨迹问题，可根据题设条件选择适当方法(如直接法、定义法、动点转移法等)，有时还需要结合运用其他方法，如交轨法、参数法等.,感 悟 高 考,品味高考,1(2012陕西卷)已知圆C：x2+y2-4x=0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
13、 Al与C相交 Bl与C相切 Cl与C相离 D以上三个选项均有可能,解析：将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32024330，点P(3,0)在圆C的内部过点P的直线l定与圆C相交故选A. 答案：A,2在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上 (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OAOB，求a的值,(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程 组 消去y，得方程2x2(2a8)xa22a10. 由已知可得，判别式5616a4a20.从而x1x24a，x1x2 . 由于OAOB，可得x1x2y1y20. 又y1x1a，y2x2a， 所以2x1x2a(x1x2)a20. 由得a1，满足0，故a1.,高考预测,1(2012北京市东城区期末)在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围为( ) A(-，-2) B(-，-1) C(1，+) D(2，+),解析：曲线C：x2y22ax4ay5a240，即(xa)2(y2a)24表示以 ,2a)为圆心，2为半径的圆，当a2且2a2，即a2时，曲线C上所有的点均在第二象限内故选D. 答案：D,A,谢谢观看,请指导,
