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1、第 9 讲函数模型及其应用一、填空题1某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：如一次购物不超过 200 元，不给予折扣；如一次购物超过 200 元而不超过 500 元，按标准价给予九折优惠；如一次购物超过 500 元，其中 500 元的部分给予九折优惠，超过 500 元的剩余部分给予八五折优惠某人两次去购物，分别付款 176 元和 432 元如果他只去一次购买同样的商品，则他应该付款为_元解析 设购物应付款 x 元，实际付款 y 元，则由题意知：yError!，那么该人两次 实际购物应付款分别为 x1176 元，x24320.9 480 元， 则 x1x 2656 元，如果他只去一次
2、，则应该付款y0.85 65625582.6 元答案 582.62从盛满 20 升纯消毒液的容器中倒出 1 升，然后用水加满，再倒出 1 升，再用水加满这样继续下去，则所倒次数 x 和残留消毒液 y 之间的函数解析式为 _解析所倒次数 1 次，则 y19；所倒次数 2 次， 则 y19 ，所倒次1920数 x 次，则 y19 x1 20 x.(1920) (1920)答案y20 x(1920)3为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文 密文 密文 明文 加 密 发 送 解 密 已知加密为 ya x2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文
3、为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文 “3”，若接受方接到密文为 “14”，则原发的明文为_解析依题意 ya x2 中，当 x3 时， y6，故 6a 32，解得 a2.所以加密为 y2 x2，因此，当 y14 时，由 142 x2，解得 x4.答案44某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为 r，存期是 x，本利和( 本金加利息) 为 y 元，则本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为_解析已知本金为 a 元，利率为 r，则1 期后本利和为 yaara(1r)，2 期后本利和为 ya(1 r)a(1 r )ra(1 r) 2，3 期后本利和为 ya(1 r)3，x 期后本利
4、和 为 ya(1 r)x，xN*.答案ya(1r) x，x N *5. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y 应分别为_解析由三角形相似，得 ，得 x (24y)，所以 Sxy (y12)24 y24 8 x20 54 542180，所以当 y12 时， Smax180，此时 x15.答案15,126将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线 yae nt.若 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了 m 分钟后甲桶中的水只有 升，则
5、m 的值为_a8解析 令 aae nt，即 e nt，因为 e 5n，故 e 15n，比较知18 18 12 18t15，m15510.答案 107小王每月除去所有日常开支，大约结余 a 元小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行 a 元，存期 1 年(存 12 次)，到期取出本和息假设一年期零存整取的月利率为 r，每期存款按单利计息那么，小王的存款到期利息为_元解析 依题意得，小王存款到期利息为12ar11ar 10ar 3ar2ar ar ar78ar 元1212 12答案 78ar8一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加投资
6、 1 万元，年产量为 x(xN *)件当 x20 时，年销售总收入为(33x x 2)万元；当 x20 时，年销售总收入为 260 万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元，则 y(万元) 与 x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入一年总投资)解析 本题考查了函数的实际应用当 x20 时， y(33xx 2)x100 x 232x 100；当 x20 时，y260100x160x .故yError!( xN* )当 020 时，160x ，即 f(x) 不恒成立，115 105 x5故函数模型 y 2 不符合公司要求x150(2)对于
7、函数模型 yg(x) ，10x 3ax 2即 g(x)10 ，3a 20x 2当 3a200 ，即 a 时递增，203为使 g(x)9 对于 x10,1 000恒成立，即要 g(1 000)9,3a181 000，即 a ，来源: 学科网 ZXXK9823为使 g(x) 对于 x10,1 000恒成立，x5即要 5，即 x248x15a0 恒成立，10x 3ax 2即(x24) 215a5760(x10,1 000) 恒成立，又 2410,1 000，故只需 15a5760 即可，所以 a .1925综上，a ，故最小的正整数 a 的值为 39.192513我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地
8、采用价格调控等手段以达到节约用水的目的某市用水收费标准是：水费基本费超额费定额损耗费，且有如下三条规定：若每月用水量不超过最低限量 m 立方米时，只付基本费 9 元和每户每月定额损耗费 a 元；若每月用水量超过 m 立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付 n 元的超额费；每户每月的定额损耗费 a 不超过 5 元(1)求每户每月水费 y(元) 与月用水量 x(立方米)的函数关系式；(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：月份 用水量(立方米) 水费 (元)一 4 17二 5 23三 2.5 11试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并
9、求m，n，a 的值解：(1)依题意，得yError!其中 0a5.(2)0a5，99a14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于 14 元，故用水量 4 立方米， 5 立方米都大于最低限量 m 立方米将Error!和Error!分别代入 (*)得Error!两式相减，得 n6.代入 179n(4m) a 得 a 6m16.又三月份用水量为 2.5 立方米，若 m2.5，将Error!代入 (*)，得 a6m13，这与 a6 m16 矛盾m2.5，即该家庭三月份用水量 2.5 立方米没有超过最低限量，将Error!代入(*) 得 119a.由Error!解得 Error!所以，该家庭今年一、二月
10、份用水量超 过最低限量，三月份用水量没有超 过最低限量，m3， n6，a2.14为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10)，若不建隔热层，每年能源k3x 5消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值解(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为 C(x) ，k3x 5再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x) .403x 5而建造费用为 C1(x)6x .最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)20C(x)C 1(x)20 6x 6x(0x10) 403x 5 8003x 5(2)f(x) 2 1022 1070(当且仅当4003x 5 3x 5 4003x5，即 x5 时， “”成立)，所以当 x5 时，f(x) minf (5)70.4003x 5故隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元.
