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1、传 输 光 学 实 验 室 1激光传输的基本理论胡巍本文将简要介绍激光传输的傍轴传输理论，分为线性介质传输、非线性传输等二部分，包括了 Wave equation、Helmholtz Equation、Paraxial Equation 以及 Gauss 光束等的传输。第一部分 线性介质中的激光传输1 Wave Equation 1. Maxwell Equations光的本质是电磁波，在经典物理学的范围内描述激光传输的基础是 Maxwell Equations。(1.)0BDjtHBE同时还有该包含三个介质方程：(2.)EjMHP0原则上一切电磁现象都可以由以上 2 组方程求解，但对实际问题
2、需要引入大量近似，以方便求解并突出主要物理过程。 近似 1：我们处理的光学介质是无电流、无自由电荷的，即 , 。也0j就是说光学介质大都是非导体。导体中不能传输电磁波。对于等离子体、半导体等介质，其中可能含有电荷、电流，其传输现象需要更复杂的处理。 近似 2：介质是非铁磁体，即 。0M于是得到 的方程（对 有同样的方程，下略）：EB(3.)20221)( tPtEcE其中利用了 和矢量性质 。20/1c)(传 输 光 学 实 验 室 22. 折射率的基本概念和唯象描述折射率是介质和光场相互作用的表现：一方面，光波作用于介质，激发介质极化，例如，使电中性的原子感生偶极矩，或使随机取向的极性分子有
3、序化等。另一方面，极化的介质又辐射次级电磁场，反作用于光波。折射率就是这种相互作用的宏观描述。当光场不很强时，极化强度和外加电场成线性关系，表现为通常的线性折射率；当光波电场足够强时，还必需考虑二阶，三阶及更高阶的极化，相应的折射率需包含非线性修正项。介质在外电场作用下，其分子、原子或离子（以下统称粒子）内部的电荷分布和运动状态将发生一定形式的变化，从而感生出电偶极矩（矢量） ，这种现象称为“极化” 。对于大量粒子集合的介质，极化的宏观效应可用单位体积中各粒子的感应偶极矩矢量之和来描述，这就是极化强度矢量，定义为：(4.)Nip1P其中， 为第 个粒子的偶极矩矢量， 为单位体积中的粒子数。此式
4、表明介质ip的极化强度取决于两方面因素：一是单个粒子在外场作用下的感生电偶极矩；其次是粒子密度及统计叠加特性。显然，介质的极化强度与电场强度相关。在通常的弱场条件下，为线性关系，而当外场足够强时，呈现非线性关系，可用下式表示：(5.) E:E)3(0)2(0)1(0 P其中， 一阶线性电极化率，是 2 阶张量，有 9 个分量； （ ）是 2 阶)1( )2()3(（3 阶）非线性电极化率，是 3 阶（4 阶）张量。对于线性极化介质，电位移矢量 为：D(6.)EEPD0)1(00 其中的 称为介电常数。)1( 概念： ： 与 之间的方向可以不同，所以 是张量。)(i是 2 阶张量，有 9 个分量
5、即：)1( zyxzzyzxzxyLzyx EP)1()()1()()()(03 阶张量有 27 个元素，4 阶张量有 81 个元素。由于介质本身的对称性，实际独立的元素个数是比较少的。如介质是立方晶系的晶体或各向同性介质，则张量 只有对角元素是非零的且全部相等，张量退化为标量，即 与 之)1( PE间的方向相同。传 输 光 学 实 验 室 3 概念：在给定时刻 ，介质中感应的电极化强度 ，是由t )(tP该时刻以前的各个时刻 的电场 所决定的，而不是简单的由该时刻的t)(E瞬时电场 所确定。也就是说电极化强度与产生电极化的场的历史有关：)(tE 0)1()1(0 )( dtdtPtL 通过对
6、 与 作 Fourier 变换，得到：0)1()1( ei是依赖频率的电极化率。严格地讲(6.)式是不正确的。介电常数)1(的实部和虚部分别代表折射率 和损耗系数 ：n(7.)1()(2Im)(Re)(nccicin这里我们平常所讲的极化率、介电常数、折射率和损耗系数等概念都是特定频率的，而不是在时间域。 概念：介质的折射率 和损耗系数 均是频率的函数，称为频率色散。 近似 3：我们以下只讨论各向同性介质，这样(i) 和 是标量数值，(ii) )1(与 之间的方向相同，光场可以保持规定的偏振方向。对于非各向同性介PE质中的双折射等效应我们不考虑。 近似 4：我们将假定介质是均匀的，即 和 不随
7、空间坐标变化。)1( 近似 5： 我们暂时忽略介质的损耗，即 2n由 所以：0ED(8.)0)(1)1(222 t dEct 作 Fourier 变换， 在频率域中：dtixp)(9.)0)()(E22 Ecn(8.)式称为 Wave Equation, (9.)式称为 Helmholtz Equation. 近似 6：上面式(8.,9.)中各个矢量分量之间已无关联，不失一般性，我们取 x分量为光的偏振方向，可以用一个分量的标量方程代替矢量方程。以下我们传 输 光 学 实 验 室 4将只讨论标量光场的传输。2 传输方程以下我们介绍激光的传输方程前，先给出几个概念。 概念：我们关心的传输是一个在
8、有限的时间-空间范围内分布的电磁波包沿一定方向的演化过程，一般取 轴为传输方向。我们物理上关心的传z输问题应该是一个初值问题，即给定初始位置（一般 处）的光场分布0z，求解在一定距离 处光场的变化，但波动方程(8.)式的性质决定其是),(tyxz边值问题。 概念： ：这相当于静电场或频率为 的单色连续电磁场情况。实际上最常见的情况是准稳态，典型例子是频率为 的脉冲电磁场。0此时，场与物质的互相作用必然与时间过程有关，介质既不能瞬时地响应外场脉冲的变化，又会在脉冲过去后一段时间内遗留影响。这就引出了“响应时间”和“弛豫速率”等问题。同时，脉冲场必然包含一定范围的频谱，尽管在频域与介质极化的频谱分
9、量之间有简单的对应关系，但在时域上两者呈现较为复杂关系。 概念：考虑波的震荡形式，我们可以用复数指数函数表示震荡的场，但不是任何情况都能简单地用)(0,zy(x),zE( tzietAt复函数代替实函数。(i) 实际的物理量，如 应该是实数。(ii)用复数量代表是E实数量时，复数量的实部等于实数量。(iii)存在非线性项时，一般不能这样做，而是要用下列表达形式： 。(iv)对极端的.ReE)(21)( 00 cAetzitzi 超短脉冲问题，须使用 CAS 信号，其虚部的选取是唯一的。 概念：对准单色情况，我们可以把场用复数函数表示，这对简化方程和数学运算都带来很大方便。)(0,zy(x),z
10、E( tzietAt这是十分关键的一步，对简化问题具有重要作用。在物理上，被分离的快变部分是一个均匀平面波（共性部分） ，需要具体研究的对象只是余下的时空包络部分 （特殊性部分） ；在数学上，提供了近似处理的条件，可以很大 ),(tr地简化方程和有关的运算。 概念： ：数学上严格的单频震荡波是从无穷长的，因此是相干的、稳态的。物理上的单色光是有限长度的，其频谱必然是有一定宽度，我们常称为 CW 连续波(Continuous Wave)，以区别于脉冲波 (Pulse)。他是稳态的，在一定范围内（相干长度）是相干的。光脉冲的持续时间越短，其频谱越宽，相干性也越差。传 输 光 学 实 验 室 51
11、稳态传输稳态传输中包络不含时间， ，同时方程(8.)中的(0)zy,(x),zE( tzieAt积分可以简化：(10.)220zizA其中 。cn00 近似 7：Paraxial Approximation 傍轴近似：我们假定光束基本上是沿平行 z 轴的方向传输，光场包络在沿 z 轴的变化是缓慢的，变化速度远远小于震荡本身的变化，即在一个波长的传输距离上基本不变。数学上表示为：或 。这是我们传输光学中最重要的近似，我们的Az0zAz02激光光束大都满足此近似。由傍轴近似(10.) 式中第一项可以忽略。(11.)0220zi这就是傍轴方程，Paraxial Equation, 是研究激光传输的基
12、本方程。作归一化处理：， 衍射长度， 为光束宽度，则Lzwyx/,/,/ /20ww(12.)0A42yxAi2. 准稳态传输将 代入方程(8.)，作 Fourier 变换：(0)zy,(x),zE( tzieAt(13.)0220020 Ai其中 。cn)( 近似：慢变振幅近似，缓变包络近似，Slowly Varying Envelope Approximation：光场包络在随时间的变化是缓慢的，变化速度远远小于震荡本身的变化，即在一个光学周期的时间内上基本不变。数学上表示为：或 ，即光脉冲的光谱宽度远远小于中心频率 。这是At010 0脉冲传输最重要的基本近似。与空间的傍轴近似的地位是一
13、样的。由慢变振幅近似，光脉冲的光谱宽度远远小于中心频率 ，所以0，于是对 在中心频率 附近在 Taylor 展开：)(2002)(传 输 光 学 实 验 室 6(14.)0,)(!)(2)()( 3020100 n nndc其中 是群速度的倒数。 群速度随频率的变化，称ggc vc/1)(1 2为群速度弥散(Group Velocity Dispersion)， 简称色散。 等称为高阶色散。3为正色散，否则为负色散。02 近似：我们只考虑 2 阶色散，即群速度弥散项，而忽略高阶色散。但脉冲很短时，有必要考虑高阶色散。将式(14. )是代入式 (13.)并作反 Fourier 变换：(15.)0
14、22110 AttiAzi 引移动坐标： ，gvzt/ ,1(16.)220i 这是准稳态光束传输的非线性 Shroedinger 方程。其中第二项式衍射项，第三项式色散项。对于纯脉冲传输则有方程：(17.)02Ai作归一化处理： ， 色散长度， 为脉冲宽度，则LT/,/ 2/TT(18.)sgn(i 概念：空间传输的光束出现衍射，时间传输的脉冲经历色散，两者在方程(16.) 中是非常一致的，都是 2 阶导数形式。空间传输的傍轴近似和时间传输中的慢边包络近似的地位是一样的。色散来源于介质线性质，其值有正有负；衍射是波动的本性，符号不变，相当于负色散。3瞬态脉冲光束传输2 衍射积分衍射定义为光对直线传输的偏离，是波动性质的体现。我们处理的光束传输问题， （即稳态传输）是以傍轴方程为基础的：传 输 光 学 实 验 室 7(19.)0A22zik对脉冲传输中色散的性质是类似的，请见1衍射积分光束分布 的 Fourier 变换为)(,
