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1、新疆师范大学 硕士学位论文 零级Dirichlet级数与随机Dirichlet级数 姓名：刘万福 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：田宏根 2009-04-09 I 中文摘要 本文从两方面研究了零级 Dirichlet 级数与随机 Dirichlet 级数的增长性. 1. 全平面上的零级 Dirichlet 级数与随机 Dirichlet 级数. 2. 右半平面上的零级 Dirichlet 级数与随机 Dirichlet 级数. 第一部分,回顾零级 Dirichlet 级数与随机 Dirichlet 级数研究的历史,给出了本 文主要的结果. 第二部分,第一节参考了高宗生的文章1,引
2、入了型函数)(xU,定义了关于型 函数)(xU的增长性,在条件+ +， ，有) log ( 1 1 n n n a U ,取 + R ,使 2)( 1 1 = + (2.1.4) 由引理 2.1.1 的（3）,知)()( 1 _ 1 1 = + + cUcU （这里的c不一定相同）, 当 0 _ Nn n 及由(2.1.3),(2.1.4)式 1)(exp 1 1 DNNnN 1 1n11 0有当，,由于) 1(,恒 有 引理引理 2.2.2 】【4 设)( n X是概率空间），（PF,上有限方差 += ),( 3 ,有 3 333 ) 1 ( 11 e n e n e n en 3log 3
3、 nen 由此,则(2.2.5)）式 ) 3 )()(,( )()(,( )()(,()()(,( 1 2 3 0 1 22 0 1 21 0 1 21log 0 + += + + += + + += = + + += = + + + + + Tn Tn T N Tn T NnTn T Nn n n T cgm ndttcgm nncgmnncgm Q + += 1 2 Tn n收敛令) 3 )()(,(),( 1 3 0 1 2 1 c T cgmfMnc Tn + += + += )(log ),(loglog lim )(log ),(loglog lim),(loglog),(logl
4、og _ U gm U fM gmfM (2.2.6), 由引理 2.1.1 的(3)得1 )(log )2(log lim _ U U 又)() 1 ()2(UU充分小时,有 )(log ),(loglog lim )(log ),(loglog lim1 )(log )2(log lim _ = = U gm U gm U U . 又由引理 2.1.1 的(2)知 1 )(log ),(loglog lim _ U gm (2.2.6)式得1 )(log ),(loglog lim _ U fM 定理得证. 再证1 ) log (log log lim1 )(log ),(loglog l
5、im _ = = n nn n n a U U fM 假设1 ) log (log log lim _ n nn n n a U ,无妨设A a U n nn n n = ) log (log log lim _ ,由上面的证明过程可 全平面上和水平直线上零级 Dirichlet 级数与随机 Dirichlet 级数 第 12 页 共 25 页 得A U fM = )(log ),(loglog lim _ ,这与1 )(log ),(loglog lim _ = U fM 矛盾,从而定理得证. 定理定理 2.1.2 若零级随机 Dirichlet 级数(2.2.1)在满足条件(2.2.2)及
6、引理 2.1.1, 引理 2.2.2 的条件,及1 )(log ),(loglog lim _ = U fM a.s.下, 则有） （ ）（ 0 0 _ s1 )(log loglog limit U itf += + 证明: 由于1 )(log ),(oglog lim),()( _ = U fMl fMsfa.s. 从而对1 )(log loglog lim, 0 _ 0 + U itf Rt ）（ a.s. 设1 )(log loglog lim 0 _ + = U itf H ）（ 要证定理结论成立,只要证明0)(=HP取) 10(0时)()( 2 n 1 0 2 2 2 dpeXae
7、aB H N s nn N n nn nn + = = 全平面上和水平直线上零级 Dirichlet 级数与随机 Dirichlet 级数 第 13 页 共 25 页 exp 2 1 0 n Uc,于是对任意的Nn,当 0 m时 exp 2 1 0 n = n eaf n Nn 定义定义 3.1.1 如果在右半平面上 = + + 1 log ),(loglog lim _ 0 fM ，() + n n n a U NnNN，有， ) log () log (log)1 (log 1 1 n n n n n n a U a U b n nb U a U,令 n n nbbb c a UUUc 1
8、1 ) log () 2 1 () 1 (= + += n eXaf nn Nn 引理引理 3.2.1 4 设)( n X是概率空间），（PF,中独立的随机变量,不一定同 分布. 0)(= n XE,方差d,则对任意概 率大于零的FH ,存在正数及自然数K,对任何复数列 n a及自然数Kqp, 恒有 引理引理 3.2.2 】【4 设)( n X是概率空间），（PF,上有有限方差 有 nn nX k n t,由引理2.2.2的(2)知)(lim)(lim _ sadZEZ kk n k n k ,对几乎所有的 ,)( k n Z有子序列)( kl n Z, 2 )( kl n d Z, kl n
9、为 k n的子序列,但依赖 的选择. 令 ) log (log log )( nn n n n a U t =对于 + = = 0 n )( 2 )( 2 n s n n eXa d sf d ,再令 ) 2 log (log log )( * nn n n n Xa d U t = 1limlimlim) ) 2 log (log log lim)(lim)(lim _ * * _ = n n n k n l nn n n l n l n n ttt Xa d U tt kkl klkl kl kl kl 1)(lim ) 1 (log ) 2 ,(loglog lim ) 1 (log )
10、,(loglog lim * _ 0 _ 0 = + + + n n t U f d M U fM 令 ) 1 (log1 , ) 1 (log1 ) 1 (log ,)(g(s) 0 n UU U ea n s n n + = + = + = n nnnnn eZgm eeZaeZaeXaeXafM n n n nnn n nnn n s n n s n + = + = + = + = + = = 0 000 n 0 n )(),( )()()()(),( 右平面上和右半水平直线上零级 Dirichlet 级数与随机 Dirichlet 级数 第 20 页 共 25 页 记为(3.2.3)式
11、,由引理 3.2.2 得n X ZnXNnNN n n nnn ， n H使 HP,其中 1 , 0 0 m HH n = ,这样 ) 1 , 0( 0 m 时 H 都有 (3.2.5)式成立,从而对于N当) 1 , 0( 0 m 时 H 有 exp exp )()()()( )()()()()( 2 1 1 0 2 22 1 2 1 0n 2 2 1 0n 2 n 0 n 0 n = = = + = = Uc eanU dpeXadpsf dpeXasfdpeXa N n nn H N s nn H H N s nn H N s nn n n nn 由引理 3.2.2,对充分大的N,当Nn
12、时)()( 2 n 1 0 2 2 2 dpeXaeaB H N s nn N n nn nn + = = exp 2 1 0 n Uc,于是对任意的Nn,当) 1 , 0( 0 m 时,exp 2 1 0 n Ucea n nn （c不一定相同） 这与条件矛盾,从而定理得证. 1 2 1 ) 1 (log ),(loglog lim ) 1 (log ),(loglog lim 0 n _ = + + U fm U fM 参考文献 第 22 页 共 25 页 参考文献 1高宗生.零级狄里克莱级数的增长性J.武汉出版社,1994 (2):28. 2于家荣,丁晓庆,田范基. Dirichlet级数和随机Dirichlet级数的值分布M. 武汉 出版社,2004.5. 3Yu Jiarong. Surlesdr oites de Borel de certaines functions entieres. Ann J.scient Ec Norm Sup,3e series,1951,68(3):65-104. 4刘薇.随机 Dirichlet 级数表示整函数的增长性J. 河南师范大学学报,2007,35 (2):179-182. 5丁晓庆.零级解析 Dirichlet 级
