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1、第6章 三角函数的计算与应用一、教学目标与要求1. 掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式.2. 掌握二倍角公式.3. 理解正弦定理、余弦定理及其应用.二、教学分析与说明本章由三节组成，可分为两部分. 其中第一部分为和角公式和倍角公式， 在以后的高等数学，物理学，天文学及其他科学技术中会经常遇到;第二部分为正余弦定理，此为解斜三角中经常遇到的知识.这些知识的系统掌握既是解决科技生产实际问题的有力工具，又是进一步学习高等数学与工程问题的必要基础.学习本章的关键是理解公式的推导过程，掌握三角公式及其应用.6.1 和角公式【本节教学导航】1. 在学习了两角和与差的正弦、余弦、正切之后，应该引导学生分析
2、、比较和与差两公式之间的异同，归纳出公式的特征，进行比较记忆.2. 对于两角和与差的正弦，在两公式中，展开后的函数名称及角的顺序相同，只是中间符号不同.类似地，对于两角和与差的余弦， 展开后的函数名称和角的排列顺序相同，展开后前项都是余弦乘积，后项都是正弦乘积，且运算符号都与展开前括号内符号相反.此外，掌握了两角和与差的正弦、余弦之后，在应用这些公式时，尤其要突出角的变换的特殊作用，如可以将看作是的和，也可以看作是与的差，即，可以将看作是与的差， 也可以看作是与 的和， 即. 教师可以通过此类的教学让学生形成发散型的思维，而不是拘泥于表面形式的框架之中.3. 对于两角和与差的正切的学习，在说明
3、公式具有一般性的同时，还必须使学生了解公式中的适用范围，即注意角没有正切值.4. 由于两角和与差的三角函数公式比较多，应用也比较为广泛，特别是应用时原题又往往不以公式的原形出现，这就给学生带来很多困难，因此教学中所选择的例题及练习题应是最基本的，目的是使学生能正确熟练地正向或逆向应用公式，解决一些化简，求值和简单的恒等式的证明等问题以及用两角和与差的三角函数的形式来表示某些三角函数式.5. 本节中，一共有6个公式， 要求学生熟练掌握. 学好此节内容， 可以为下一节学习二倍角公式打下良好的基础.【本节教学重难点】重点：运用两角和与差的正弦余弦和正切公式进行相关计算.难点：两角和与差的正弦、余弦和
4、正切公式的逆向应用.【本节课时安排如下（仅供参考）】6.1.1两角和与差的正弦约1课时6.1.2两角和与差的余弦约1课时6.1.3两角和与差的正切约1课时【课堂练习答案】6.1.11. 2. 3. 6.1.21. 2. 3. 6.1.31. 2. 3. 【习题6.1答案】1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 6.2 倍角公式【本节教学导航】1. 二倍角公式可以看作是两角和的三角函数公式的特例，即在两角和的三角函数公式中，令，便可推得二倍角三角函数公式.这一点要求教师引导，学生自己推导.其中有三种表达形式，即和，要求学生灵活运用.2. 在讲解二倍角三角函数公式时，要使学生注意，在一般情况下，
5、只有，才能成立.同样地，在一般情况下，（其中，只有当）3. 在公式和中，对角没有限制，但在中，角的限制条件是和，并且应使学生注意，当时，的值不存在，但的值却是存在的，事实上，此时4. 在教学时，教师要重视二倍角公式的推导过程，让学生自己推导，培养数学逻辑思维能力.因为中职生的学习任务大，教师不必强迫他们熟记公式，但是要求他们会推导.【本节教学重难点】重点：运用二倍角的正弦、余弦和正切公式进行相关计算.难点：二倍角的正弦、余弦和正切公式的逆向应用.【本节课时安排如下（仅供参考）】6.2.1 二倍角的正弦约1课时6.2.1 二倍角的余弦约1课时6.2.1 二倍角的正切约1课时【课堂练习答案】6.2
6、.11. 2. 3. 6.2.21. 2. 3. 6.2.31. 2. 2或3. 【习题6.2答案】1. 2. 3. 4. 5. 6. 6.3 解斜三角形【本节教学导航】1. 此节列出了对于正余弦定理的平面几何的性质，并不完整，只是为学生参与教学过程创造条件，并培养学生追根究底的能力.2. 斜三角形是锐角三角形和钝角三角形的总和.通常说正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具.事实上，由于正弦定理和余弦定理是在一切三角形中都成立的，所以斜三角形的解法应该也适用于直角三角形.3. 学生要清楚正弦定理：，可以解决的两类问题 已知两角和任一边，求其他两边和另一个角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对
7、角和其他的边角.4. 余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.引用余弦定理解可以解决两种问题已知三边，求三角；已知两边和它们的夹角，求第3边和其他两个角.5. 本节中，部分例题和练习题的计算需要用到计算器，请同学们提前准备好.6. 正余弦定理的推导比较麻烦， 不要求学生直接推导，只需要理解.【本节教学重难点】重点：运用正弦定理和余弦定理解三角形.难点：正弦定理和余弦定理的推导过程.【本节课时安排如下（仅供参考）】6.3.1 正弦定理约1课时6.3.1 余弦定理约1课时【课堂练习答案】6.3.11. (1) 1.6(2) 292. (1) A=65，C=85，c=22(2) B=41
8、，A=24，a=246.3.21. A=36，B=40，C=1042. b=7，C=8，A=22【习题6.3答案】1.2. (1) a=35，A=114，B=43(2)B=35，c=17，C=85(3) a=47，A=97，B=58复习题六1. 2. (1) B(2) D3. 4. 5. 6. 7.第7章 二次曲线一、 教学目标与要求1. 理解椭圆的标准方程、图形及其几何性质.2. 理解双曲线和抛物线的标准方程及其几何性质.3. 学会求它们的方程、顶点坐标和离心率.4. 能将实际生活中的问题转化为数学问题， 进行相关计算， 从而解决问题.二、 教学分析与说明本章主要介绍三种圆锥曲线的方程及其性
9、质.椭圆、双曲线、抛物线，它们三个为最常见的三种圆锥曲线，在实际生活中也是最为常见的曲线，所以掌握好这些知识是非常利于工程学的学习.本章也是从三节分别详细地介绍了椭圆、双曲线、抛物线的知识，学完之后，我们也可归纳一下它们的异同.本章要求学生牢牢掌握三种圆锥曲线的形状. 通过图形，去理解其性质.对于性质不要死记硬背.建议教师搜集一些有关圆锥曲线的实际问题，让学生去动手、动脑解决.如果条件允许，建议教师用多媒体教学，利用几何画板演示，学生更容易理解，印象更深刻.7.1 椭圆的标准方程和性质【本节教学导航】1. 椭圆是一种常见的图形，学生对椭圆有一定的感性认识，但对椭圆的定义不熟悉.因此引入定义时，
10、应借助教具，画出图形，这样可以加深学生的印象；教学中应边画边问：什么条件是固定，不变的，什么条件是变化的，然后请学生用语言表述符合条件的点的轨迹，并由教师归纳出定义.定义中强调绳长即常数大于F1F2是因为三角形两边之和大于第三边；如果常数等于F1F2，只能画出线段F1F2；如果常数小于F1F2，则画不出图形.2. 对于椭圆的标准方程中，坐标的选取，避免出现分数系数，以及方程的化简都要注意，之后才能对其焦点坐标，图形的对称性，顶点位置，离心率及x、y的取值范围进行研究.本节也安排了很多例题，以帮助学生对椭圆的定义及标准方程的掌握. 3. 对于椭圆中的a， b， c， 要清楚它们之间的关系：. a
11、的值比b和c的值都大. 由此可得，椭圆的离心率的值永远小于1.【本节教学重难点】重点：根据已知条件，写出椭圆的标准方程.难点：准确判断椭圆的焦点位置；根据椭圆方程，说出其几何性质.【本节课时安排如下（仅供参考）】7.1.1 椭圆及其标准方程约1课时7.1.2 椭圆的几何性质约1课时【课堂练习答案】7.1.11. 2. 7.1.21.【习题7.1答案】1. 3或2. 4.5. (1) 2a=10，2b=8，顶点（5，0)，(5，0)，(0，4)，(0，4)， ， 关于x轴、y轴和原点对称.(2) 2a=6，2b =，顶点（3，0)，(3，0)，(0，)，(0，) ，关于x轴、y轴和原点对称.(3
12、) 2a =4，2b =，顶点（，0)，(，0)，(0，2)，(0，2) ，关于x轴、y轴和原点对称.(4) 2a =8，2b =6，顶点（5，2)，(3，2)，(1，1)，(1，5)，关于x=1，y=2和点（1，2)对称. (5)2a=，2b =4，顶点（，1)，(，1)，(0，1)，(0，3)，关于x轴、y=1和点（0，1)对称. (6)2a =6，2b =4，顶点（2，2)，(4，2)，(1，0)，(1，4)，关于x=1，y=2和点（1，2)对称 .6. 不是椭圆.7. （根据离心率的大小判断，离心率越接近于0， 椭圆就越接近于圆）8. 9. 图略，平移向量为a =(2，1)7.2 双曲
13、线的标准方程和性质【本节教学导航】1. 本节分两部分：第一部分讲述一种与椭圆类似的另一种圆锥曲线，双曲线的标准方程；第二部分为双曲线的几何性质.此节在数学思想和方法上除了渐近线之外，其余与椭圆类似.所以我们可对比双曲线和椭圆的相同和不同之处来学习本节内容.2. 两种曲线的差别根源在于定义中的差别，定义中的差别主要是“和”与“差”，在椭圆定义中考察的是“平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹”；而在双曲线的定义中考察的是“平面上到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹”.之所以“差”的后面又加了“绝对值”，是因为当动点M在双曲线右支上时，有MF1MF2=2a；当动点M在双曲线左支上时
14、，有MF1MF2=2a，因此必须要用“绝对值”，否则，双曲线将变成“单曲线”.再者，与椭圆的不同之处在于，c最大.最后，双曲线有两种标准方程即3. 学完本节知识， 让学生自己归纳双曲线和椭圆的异同点.其中，双曲线存在渐近线，而椭圆不存在；双曲线的离心率e1， 而椭圆的离心率0e1.这两方面不同点，要求学生深刻理解.【本节教学重难点】重点：根据已知条件，写出双曲线的标准方程.难点：准确判断双曲线的焦点位置；根据双曲线方程，说出其几何性质.【本节课时安排如下（仅供参考）】7.2.1 双曲线及其标准方程约1课时7.2.2 双曲线的几何性质约1课时【课堂练习答案】7.2.11. m1或m22. 7.2.21. 焦点（13，0)，(13，0)；顶点（12，0)，(12，0)； 虚半轴长b=5；实半轴长a=12； 率心率； 渐近线方程.2. 【习题7.2答案】1. 182. 3. 4. k=15. 6. 7. (1)，顶点(，0)，对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点. (2)，顶点（0，），对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点. (3) ，顶点（
