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1、第三章 一元函数积分学及其应用 1 定积分的概念、存在条件与性质 （ 5学时 ）一 背景1. 曲边梯形的面积问题以上问题的思路可以分解为下列四个具体求解步骤：分：在区间内任意插入个分店：，把分割成个子区间，第个子区间的长度为：， 。过各分点作平行于轴的直线，相应地曲边梯形就被分成个小曲边梯形；匀： 在第个子区间上任取一点，对应小曲边梯形的面积用底为，高为的小矩形面积近似代替，则有， ；合:将所有小曲边梯形的面积的近似值加起来得到曲边梯形面积A的近似值：A精：当越大并且每个子区间的长度越小时，上面的表达式越精确，因此，当所有子区间长度的最大值（记作）趋于0时，上面和式的极限就规定为曲边梯形面积的
2、精确值，即A=;2. 物质非均匀分布的细棒质量问题以上问题的思路也可以分解为下列四个具体求解步骤：分：在区间内任意插入个分点：，把分割成个子区间，第个子区间的长度为：， 。匀： 在第个子区间上任取一点，则该段细棒质量的近似值为， ；合:将各段细棒质量的近似值加起来得到细棒总质量的近似值：精：当越大并且每个子区间的长度越小时，上面的表达式越精确，因此，当所有子区间长度的最大值（记作）趋于0时，上面和式的极限就规定为曲边梯形面积的精确值，即=;二、 定积分的定义1 定义2 注意：1） 不能用来代替；2） 在构造和式时包含了两个任意性：即区间分割与的选取都是任意的。例1 判断Dirichlet函数
3、的可导性；3） 函数在区间上的定积分是一个确定的数，它的值仅与被积函数与积分区间有关，而与积分变量无关。4） 补充规定：.=-.3举例例1 已知函数在区间 上可积 . 用定义求积分.解 取等分区间作为分法, . 取 .= .由函数在区间上可积 , 每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数在区间 上可积 , 用定义求积分.解 分法与介点集选法如例1 , 有 .上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.3 定积分的几何意义三、定积分的存在条件1 可积的必要条件:Th 1 ， 在区间 上有界.证2 可积的充要条件:1）思路与方案:思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分
4、和. 用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法及介点无关的条件 .方案: 定义上和和下和. 研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件 . 2）Darboux和: 以下总设函数在区间 上有界. 并设, 其中和分别是函数在区间 上的下确界和上确界 .定义Darboux和, 指出Darboux和未必是积分和 . 但Darboux和由分法唯一确定.分别用、和记相应于分法的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和是数集(多值) . 但总有 , 因此有 .和的几何意义 .3）Darboux和的性质: 本段研究Darboux和的性质
5、, 目的是建立Darboux定理.先用分点集定义分法和精细分法: 表示是的加细 .性质1 若, 则, . 即 : 分法加细, 大和不增,小和不减 . ( 证 )性质2 对任何, 有 , . 即 : 大和有下界,小和有上界. ( 证 )性质3 对任何 和 , 总有. 即: 小和不会超过大和 .证 .性质4 设是添加个新分点的加细. 则有 + , .证 设是只在中第个区间内加上一个新分点所成的分法, 分别设 , , . 显然有 和 . 于是 .添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次. 即证得第二式. 可类证第一式.系 设分法有个分点，则对任何分法，有， .证 . . 4）上积分和下积分: 设函数
6、在区间 上有界. 由以上性质2 ，有上界 ，有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界.定义 记, . 分别称和为函数在区间 上的上积分和下积分.对区间 上的有界函数, 和存在且有限 , . 并且对任何分法, 有 .上、下积分的几何意义. 例1 求 和 . 其中是Dirichlet函数 .5）Darboux定理 : Th 1 设函数在区间 上有界, 是区间 的分法 . 则有 =, =. 证 ( 只证第一式 . 要证 : 对使当时有. 是显然的. 因此只证 . ) , 对 , 使 设有个分点, 对任何分法 , 由性质4的系, 有, 由*式, 得 即 亦即 . 于是取, ( 可设, 否则为常值函数,
7、 = 对任何分法成立. ) 对任何分法, 只要 , 就有 .此即=. 6）可积的充要条件: Th 2 （ 充要条件1 ）设函数在区间 上有界. = .证 设 =, 则有 =. 即对使当时有 | | 对成立. 在每个 上取, 使, 于是, | | = .因此, 时有| | | | + | | + = .此即=. 由Darboux定理 , = .同理可证 = . = . 对任何分法, 有 , 而 = = .令和 的共值为, 由双逼原理 =.Th 3 有界. 对 .证 ( ) = 0. 即对时, . , 由, , = .定义 称 为函数在区间上的振幅或幅度.易见有 0 . 可证=Th 3 (充要条件
8、2 ) 有界. 对 .Th 3 的几何意义及应用Th 3的一般方法: 为应用Th 3, 通常用下法构造分法:当函数在区间 上含某些点的小区间上作不到任意小时, 可试用在区间 上的振幅作的估计 , 有 . 此时, 倘能用总长小于, 否则为常值函数 )的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法的一部分分点，在区间 的其余部分作分割，使在每个小区间上有, 对如此构造的分法, 有 .四可积函数类：1 闭区间上的连续函数必可积：Th 5 （ 证 ）2 闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 .Th 6 （ 证 ）系1 闭区间上按段连续函数必可积 .系2 设函数在区间 上有界且其间断点仅有
9、有限个聚点, 则函数在区间 上可积.例3 判断题:1） 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 . ( )2） 闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 . ( )3.闭区间上的单调函数必可积：Th 7 （ 证 ）例3 证明在上可积.五、定积分的性质1. 线性性质:Th 1 Const , 且 . （ 证 ）Th 2 , , 且 .（ 证 ）综上 , 定积分是线性运算 .2.乘积可积性:Th 3 , .证 和有界. 设 , 且可设.( 否则或恒为零 ). 插项估计 , 有 .但一般 .3.关于区间可加性:Th 4有界函数在区间 和上可积， ,并有. ( 证明并解释几何意义 )系 设函数在区间 上可积
10、 . 则对 , 有 . （ 证 ）4.积分关于函数的单调性:Th 5 设函数, 且, .（ 证 ）(反之确否?)积分的基本估计: . 其中和分别为函数在区间上的下确界与上确界.5. 绝对可积性:Th 6 设函数, , 且 (注意.)证 以 证明;以 证明不等式.该定理之逆不真. 以例 做说明.6.积分第一中值定理: Th 7 ( 积分第一中值定理 ) , 使 =. （ 证 ）Th 8 ( 推广的积分第一中值定理 ) 且不变号. 则, 使=. （ 证 ） =.六. 利用定积分求和式极限 原理: 例1 求极限 . 3 P163 E13 . 与1例2连系.例2 求极限.解 = .由函数在区间 0 , 1 上可积 , 有=. .Ex. P176-178 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11
