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1、8. 8 随机变量的期望与方差一、知识要点二、例题分析三、规律总结四、巩固练习9.9期望与方差、正态分布*知识归纳*1均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称 为的均值或数学期望，简称期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平 期望的性质：（1）（2）若服从两点分布，则（3）若B(n，p)，则np2方差: 由上述分布列，我们把称为随机变量的均方差，简称为方差。 标准差:的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作方差的性质：（1）；（2）若服从两点分布，则（3）若B(n，p)，则np(1-p) 3正态分布（1）正态函数，式中的实数、是参数，分别表示总体的平均
2、数与标准差，当时得到标准正态分布密度函数： （2）正态分布是由均值和标准差唯一决定的分布，正态分布曲线的性质：曲线在x轴的上方，与x轴不相交 曲线关于直线x=对称 且当x=时，曲线位于最高点 曲线与x轴之间的面积为1当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移一定时，曲线的形状由确定 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小曲线越“瘦高”总体分布越集中：（3）由正态分布曲线的特征，可以求得在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取之间的值，并称之为原则。*双基落实*1抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数的期望是 （ ） A10/3 B55/
3、9 C80/9 D50/92已知，则的值分别是 （ ）A；B；C；D 3设随机变量服从正态分布,若,则c= ( )A.1 B.2 C.3 D.44设离散型随机变量满足E=l，D=3，则D（36)等于 （ ）A9 B6 C27 D305已知机变量X服从正态分布，则P（X0）= P(2X2)= *范例分析*例1（1）设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有（ ）ABC D（2）设随机变量服从正态分布N(0，1)，记(x)p(x)，给出下列结论： (0)05；(x)1(x)；p (2)2(2)1。则正确结论的序号是_（3）已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩XN（110，52），据此估计，
4、大约应有57人的分数在下列哪个区间内？ （ ）A.（90，110B.（95，125C.（100，125D.（105，115（4）设XN（5，1），则P（6X7）=_.例2有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：110120125130135P0.10.20.40.10.2100115125130145P0.10.20.40.10.2其中和分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.例3.(2008全国卷理) 已知5只动物中
5、有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;(2)表示依方案乙所需化验次数,求的期望.例4（2009浙江卷理）在这个自然数中，任取个数（1）求这个数中恰有个是偶数的概率；（2）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，
6、此时的值是）求随机变量的分布列及其数学期望*规律总结*1求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E；根据方差、标准差的定义求出、.若B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可2对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要3正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征，其图象特征由平均数和标准差唯一决定的，因此解决与正态分布相关的问题，关键是要熟悉正态曲线的五个特点，合理运用原则， *基础训练*一、 选择题1若(3)=0.9987，则标
7、准正态总体在区间(3，3)内取值的概率为 ( ) A 0.9987 B0.9974 C0.944 D 0.84132设随机变量B(2,p), B(4,p),若，则的值为 （ ）(A) (B) (C) (D) 3已知抛物线的对称轴在轴左侧，其中，在这些抛物线中，记随机变量“的取值”，则的数学期望为 （ ）A、 B、 C、 D、4一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为 （ ）ABCD5某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是 （ ）A该市这次
8、考试的数学平均成绩为80分；B分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D该市这次考试的数学成绩标准差为10.二、 填空题6. 在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，）(0).若在（0,1）内取值的概率为0.4,则在(0,2)内取值的概率为 .7. 同学甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则同学甲回家途中遇红灯次数的期望为_.8. .随机变量的分布列如下：-101Pabc其中a,b,c成等差数列.若E=,则D的值是 .9. A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队
9、获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为，为比赛需要的场数，则 。三、 解答题10. 在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即N（90，100）.(1)试求考试成绩位于区间（70，110）上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？11. (2009安徽卷理） 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中
10、直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.*能力提高*12. 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。. （I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。9.9期望与方差、
11、正态分布参考答案*双基落实*14 DDBC50.5 0.9544*范例分析*例1（1）A （2）（3）C(4) 解 由已知=5, =1.P(4X6)=0.682 6，P(3X7)=0.954 4，P(3X4)+P(6X7)=0.954 4-0.682 6=0.271 8.如图，由正态曲线的对称性可得P（3X4)=P(6X7)P(6X7)=0.135 9.例2解 E=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125,E=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125，D=0.1（110-125）2+0.2(120-125)2+0.4（12
12、5-125）2+0.1（130-125）2+0.2（135-125）2=50，D=0.1（100-125）2+0.2（115-125）2+0.4（125-125）2+0.1（130-125）2+0.2（145-125）2=165，由于E=E120，而DV,故甲厂的材料稳定性较好.例3. （1）设1、2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P表示对应的概率，则方案甲中1的分布列为1234P方案乙中2的分布列为 123P0若甲化验次数不少于乙化验次数,则P=P(1=1)P(2=1)+P(1=2)P(2=1)+P(2=2)+P(1=3)P(2=1)+P(2=2)+P(2=3)+P(1=4)=0+（0+）+（0+）+=0.72.(2)E=10+2+3=
