集合与命题教程

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1、集合与命题 2014夏 “集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为: 许多的人或物聚在一起. 在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言， 我们怎样理解数学中的“集合”？ 考察下列问题： （1）120以内的所有质质数； （2）绝对值绝对值 小于3的整数； （3）杭大附中0906班的所有男同学； （4）平面上到定点O的距离等于定长长的所有的点. 思考1：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象 的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素 .上述4个集合中的元素分别是什么？ 思考2：一般地，怎样理解“元素”与“集合”？ 把研究的对象称为元素，通常用小写拉丁字母a，b， c，表示；把

2、一些元素组成的总体叫做集合，简称集， 通常用大写拉丁字母A，B，C，表示. 是否有 限制? 任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元 素有什么特征？ 思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由 此说明什么？ 集合中的元素必须是确定的 思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此 说明什么？ 集合中的元素是不重复出现的 思考3：0705班的全体同学组成一个集合，调整座位后 这个集合有没有变化？由此说明什么？ 集合中的元素是没有顺序的 确定性 互异性 无序性 集合的特征 思考1：设集合A表示“120以内的所有质数”，那么 3，4，5，6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中 ？

3、思考2：对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A 有哪几种可能关系？ 思考3：如果元素a是集合A中的元素，我们如何用数学 化的语言表达？ a属于集合A，记作 思考4：如果元素a不是集合A中的元素，我们如何用数 学化的语言表达？ a不属于集合A，记作 集合与元素的关系 自然数集（非负整数集）：记作 N 正整数集：记作 或 整数集：记作 Z 有理数集：记作 Q实数集：记作 R 思考1：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实 数能否分别构成集合？ 思考2：自然数集，正整数集，整数集，有理数集， 实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？ 集合的分类 思考3：集合中的元素个数的多少是否有限制？ 有限

4、集无限集空集 不含任何元素的集合 理论迁移 例1 已知集合S满足： ，且当 时 , 若 ，试判断 是否属于S，说明你的理由. 例2 设由4的整数倍再加2的所有实数构成的集合 为A，由4的整数倍再加3的所有实数构成的集合为B， 若 ，试推断x+y和x-y与集合B的关系. 思考1：这两个集合分别有哪些元素？ 考察下列集合： （1）小于5的所有自然数组成的集合； （2）方程 的所有实数根组成的集合. （1）0，1，2，3，4； （2）-1，0，1 思考2：由上述两组数组成的集合可分别怎样表示？ （1）0，1，2，3，4； （2）-1，0，1 思考3：这种表示集合的方法叫什么名称？ 列举法 思考4：列

5、举法表示集合的基本模式是什么？ 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ” 括起来，即 集合的表示方法1：列举法 考察下列集合： （1）不等式 的解组成的集合； （2）绝对值小于2的实数组成的集合. 思考1：这两个集合能否用列举法表示？ 思考2：如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征？ （1） R，且 ； （2） R，且 思考3：上述两个集合可分别怎样表示？ （1） R| ； （2） R| 思考4：这种表示集合的方法叫什么名称？ 描述法 思考5：描述法表示集合的基本模式是什么？ 元素的一般符号及取值范围|元素所具有的性质 集合的表示方法2：描述法 思考1： 与 的含义是否相同？ 思考2：集合

6、1，2与集合（1，2）相同吗？ 思考3：集合 与集合 相同吗？ 思考4:集合 的几何意义如何？ x y o 辨 析 理论迁移 例1 用适当的方法表示下列集合： （1）绝对值小于3的所有整数组成的集合； （2）在平面直角坐标系中以原点为圆心，1为半径的圆 周上的点组成的集合； （3）所有奇数组成的集合； （4）由数字1，2，3组成的所有三位数构成的集合. -2，-1，0，1，2或 123，132，213，231，312，321. 例2 设集合 ，已知 ，求实 数a的值. 例3 已知集合A=1，2，3，B=1，2，设集合 C= ，试用列举法表示集合C. C=-1，0，1，2 1或-4 考察下列各组

7、集合： （1）A=2与B=2，3； （2）A= 与B= . （3）A=x|x是正三角形 与B=x|x是等腰三角形. 思考1:上述各组集合中，集合A中的元素与 集合B有什么关系？ A中的元素都属于B 子 集 思考2:上述各组集合中A与B有包含关系，我 们把集合A叫做集合B的子集. 一般地，如何 定义集合A是集合B的子集？ 对于两个集合A，B，如果集合A中任意 一个元素都是集合B中的元素，则称集合A为 集合B的子集. 思考3:如果集合A是集合B的子集，我们怎样 用符号表示？ （或 ）， 读作：“A含于B”（或“B包含A”） 任何集合都是自己的子集；空集是任何集合的子集 。 思考4:我们经常用平面上

8、封闭曲线的内部代 表集合，这种图称为venn图，那么，集合A 是集合B的子集用图形如何表示？ AB 思考5:如果 ，且 ，则集合A与 集合C的关系如何？ 思考6:怎样表述 ， ， 两两之间的 关系？ 考察下列各组集合： （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 . 思考1:上述各组集合中，集合A与集合B之 间的关系如何？ 相等 思考2:上述各组集合中，集合A是集合B的子 集吗？集合B是集合A的子集吗？ 集合相等 思考3：对于实数 ,如果 且 ， 则 与 的大小关系如何？ 思考4：从子集的关系分析，在什么条件下集 合A与集合B相等？ 理论迁移 例1 写出满足 的所有集 合A. 1，2，1，2，

9、3，1，2，3，4 例2 已知集合 ， ,试确定集合A与 B的关系. 例3 设集合 ， ,若 ， 求实数 的值. -1或0 例4 设集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围. 考察下列两组集合： （1）集合A=1，2，3，4与 （2）集合A=0，1，2，3，4与 思考1:上述两组集合中，集合A与集合B之间 的关系如何？ 思考2:上述两组集合中，集合A都是集合B的 子集，这两个子集关系有什么不同？ 思考3:为了区分这两种不同的子集关系，我 们把（1）中的集合A叫做集合B的真子集， 那么如何定义集合A是集合B的真子集？ 真子集 如果 ，但存在元素 且 ，则 称集合A是集合B的真子集. 思考4:如果集合

10、A是集合B的真子集，我们怎 样用符号表示？ 思考5:若集合A是集合B的子集，则集合A一 定是集合B的真子集吗？若集合A是集合B的 真子集，则集合A一定是集合B的子集吗？ 思考6:对于集合A=1，2，空集是集合A的 真子集吗？ 规定：空集是任何非空集合的真子集 思考7:空集与集合0相等吗？二者之间是 什么关系？ 思考8:集合a,a,b,a,b,c分别有多少 个子集？ 思考9:一般地，集合 共有多少 个子集？多少个真子集？多少个非空真子集 ？ 理论迁移 例1 已知集合M满足M 1，2，3，且集合 M中至少含有一个奇数，试写出所有的集合M. 1，3，1，2，1，3，2， 3 例2 设集合 ， ，若

11、A B，求实数m的值. m=0或 或-1 例3 已知集合 ， .若A B,求实数 的取值范围 . 例4 已知集合 ， ，其中 ，设集合 试确定集合M中共 有多少个元素.14个 思考题：已知集合A=1，2， , 若 ，求实数 的值. 思考题:已知集合A= , B=x|x2；（3）非典是怎么传传染的？； （4）奇数的平方仍是奇数；（5）方程2x=5只有一个解； （6）0不能作除数；（7）2100是个大数； （8）空集是任何非空集合的子集； （9）没有一个无理数不是实实数。 等价命题 考察下列问题，它们是命题吗？ (1)x2-1=0;(2)x+20;(3)x-1是整数;(4)2x+1是整数。 量 词

12、 q(x)p(x) 对于所有整数，p(x)、q(x)? 有一个整数，p(x)、q(x)? 理论迁移 联结两个命题都成立 时，新命题才成立。 命题1：开关A闭合(A=1)； 命题2：开关B闭合(B=1)； 新命题：灯亮(L=1)； 要使灯亮 (L=1，新命题成立) ，则串联的两个开关都必须闭 合(A=1 B=1，命题1、命题2成 立)。 A BL 0 00 0 10 1 00 1 11 L=AB 联结两个命题其中之一 成立时，新命题就成立 。 命题1：开关A闭合(A=1)； 命题2：开关B闭合(B=1)； 新命题：灯亮(L=1)； 要使灯亮 (L=1，新命题成立) ，则并联的两个开关其一闭合 (A=1 B=1，命题1、命题2其一 成立)。 L=A+B A BL 0 00 0 11 1 01 1 11 否定。 AL 01 10 L=A 理论迁移 充分条件、必要条件 推出pq p是q的充分条件；q是p的必要条件 在三角形中，等角对等边；在三角形中，等边对等角。 如果pq，则称p是q的充分且必要条件； 同时，q也是p的充要条件。 命题的四种形式 原命题逆命题 否命题逆否命题 互否 互否 互逆 互逆 互为 逆否 互为逆否的命题具有一样的真假性等价命题 真 真假 假 理论迁移