《高三数学一轮复习第十章 平面解析几何10.3 第三节 圆的方程课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习第十章 平面解析几何10.3 第三节 圆的方程课件（81页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 圆 的 方 程(江苏卷5年3考),【知识梳理】 1.圆的定义、方程,定点,定长,(a,b),r,D2+E2-4F0,2.点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系: (1)点M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2_r2. (2)点M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2_r2. (3)点M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2_r2.,=,【常用结论】 (1)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件: A=C0,B=0,且D2+E2-4AF0. (2)解决与圆上点(x,y)有
2、关的最值问题:转化为与圆 心有关的最值问题. (3)过x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程:x0x+y0y=r2.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”). (1)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a,b),半径为t的圆. ( ),(2)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为 半径为 的圆. ( ) (3)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则 +Dx0+Ey0+F0. ( ),(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-
3、y1)(y-y2)=0. ( ),提示:(1).t0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为|t|的圆. (2). a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0,即-2a 时表示圆.,(3).因为点M(x0,y0)在圆外, 所以 即 +Dx0+Ey0+F0. (4).设M(x,y)是圆上异于直径端点A,B的点,由 得(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.,2.在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(2,0),PAB是直角三角形,则动点P的轨迹方程为_. 【解析】若PAB=90,则P在直线x=-2上, 由P、A、B三点构成三角形知,y0;,若PBA=90,则P在直线x=2上,
4、且y0; 若APB=90,则P在圆x2+y2=4上,且y0,综上,P的轨迹方程为x=2(y0)或x2+y2=4(y0). 答案:x=2(y0)或x2+y2=4(y0),题组二:走进教材 1.(必修2P111习题T1(3)改编)过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是_.,【解析】设圆心C的坐标为(a,b),圆的半径为r,因为圆心C在直线x+y-2=0上,所以b=2-a. 因为|CA|2=|CB|2, 所以(a-1)2+(2-a+1)2=(a+1)2+(2-a-1)2.,所以a=1,b=1.所以r=2. 所以方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 答案:(x-
5、1)2+(y-1)2=4,2.(必修2P111习题T6改编)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=_.,【解析】圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为 (x-1)2+(y-4)2=4, 故圆心为(1,4),d= 解得a=- . 答案:-,3.(必修2P111练习T2改编)ABC的三个顶点分别为 A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),则其外接圆的方程为 _.,【解析】方法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则由题意有 解得,故所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0. 方法二:由题意可求得线段AC的中垂线方程为
6、x=2,线段 BC的中垂线方程为x+y-3=0,所以圆心是两中垂线的交 点(2,1),半径r=,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25.即x2+y2-4x-2y-20=0. 答案:x2+y2-4x-2y-20=0,考点一 求圆的方程 【题组练透】 1.圆心在y轴上,半径长为1,且过点A(1,2)的圆的方程是_.,【解析】根据题意可设圆的方程为x2+(y-b)2=1, 因为圆过点A(1,2), 所以12+(2-b)2=1, 解得b=2, 所以所求圆的方程为x2+(y-2)2=1. 答案:x2+(y-2)2=1,2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C的标准
7、方程为_. 【解析】因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,所以由中点坐标公式可得C(0,0),所以所求圆的标准方程为x2+y2=1. 答案:x2+y2=1,3.圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的方程为_. 【解析】设点C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).,又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|, 即 解得a=-2,所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r= , 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 答案:(x+1)2+(y+2)2=10,【一题多解微课】题3还可以采用以下方法求解:
8、 方法一: 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意得,解得a=-1,b=-2,r2=10, 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 答案:(x+1)2+(y+2)2=10,方法二: 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则圆心坐标为 由题意得,解得D=2,E=4,F=-5,故所求圆的方程为x2+y2+2x+4y-5=0. 答案:x2+y2+2x+4y-5=0,4.(2019南昌模拟)若圆C经过坐标原点与点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是_. 世纪金榜导学号,【解析】 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过 点(0,0)和(4,0),
9、设圆心为(2,m),又因为圆与直线y=1 相切,所以 解得m=- , 所以圆C的方程为(x-2)2+ 答案:(x-2)2+,【规律方法】 1.求圆的方程的两种方法 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.,(2)待定系数法: 根据题意,选择标准方程与一般方程; 根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; 解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.,2.确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上. (3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线. 提醒:解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性
10、质.,考点二 与圆有关的轨迹问题 【典例】(1)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,则这些弦的中点P的轨迹方程为_. 世纪金榜导学号,(2)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得的线 段长为2 ,在y轴上截得的线段长为2 . 求圆心P的轨迹方程; 若点P到直线y=x的距离为 ,求圆P的方程.,【解析】(1)设P(x,y),圆心C(1,1). 因为P点是过点A的弦的中点,所以 又因为 =(2-x,3-y), =(1-x,1-y). 所以(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0. 所以P点的轨迹方程为 +(y-2)2= . 答案: +(y-2)2
11、=,【一题多解】本题还可以采用以下方法: 由已知得,PAPC,所以由圆的性质知点P在以AC为直 径的圆上,圆心C(1,1),而AC中点为 ,|AC|= 所以半径为 . 所求动点P的轨迹方程为 +(y-2)2= . 答案: +(y-2)2=,(2)设P(x,y),圆P的半径为r,则y2+2=r2,x2+3=r2,所 以y2+2=x2+3,即y2-x2=1.所以点P的轨迹方程为y2-x2=1; 设点P的坐标为(x0,y0),则 即|x0-y0|=1.所以y0=x01.,当y0=x0+1时,由 得(x0+1)2- =1,所以 所以r2=3, 所以圆P的方程为x2+(y-1)2=3;,当y0=x0-1
12、时,由 得(x0-1)2- =1,所以 所以r2=3, 所以圆P的方程为x2+(y+1)2=3. 综上所述,圆P的方程为x2+(y1)2=3.,【误区警示】在求与圆有关的轨迹方程时,一定要做到该分类讨论的要分类讨论,该舍去的点一定要舍去.,【规律方法】与圆有关的轨迹问题的四种求法,【对点训练】 1.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是_.,【解析】设点M(x0,y0)为圆x2+y2=4上任一点,PM中点为 Q(x,y),则 所以 代入圆的方程得(2x-4)2+(2y+2)2=4, 即(x-2)2+(y+1)2=1. 答案:(x-2)2+(y+1)2=1,2.已知点P(
13、2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.则点M的轨迹方程为_.,【解析】圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16, 所以圆心为C(0,4),半径为4. 设M(x,y),则 =(x,y-4), =(2-x,2-y). 由题设知 =0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0. 即(x-1)2+(y-3)2=2. 答案:(x-1)2+(y-3)2=2,考点三 与圆有关的最值问题 【明考点知考法】 与圆有关的最值问题,多以填空题的形式呈现,试题难度不大.考查借助几何性质,建立函数关系求最值.,命题角度1 借助几何性质求最值 【典例
14、】阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样 一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k0且 k1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若 平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比 为 ,当P,A,B不共线时,PAB面积的最大值是 _. 世纪金榜导学号,【解析】如图,以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y), 因为 所以 两边平方整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8,所以PAB面积的最大值为 22 =2 . 答案:2,【状元笔记】 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 (1)
15、形如= 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.,(2)形如t=ax+by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.,命题角度2 建立函数关系求最值 【典例】(1)若点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点 A(-1,0),B(1,0)为两个定点,则PA+PB的最大值为 _.世纪金榜导学号,【解析】易得PA2+PB2=4, 由基本不等式得 所以PA+PB2 . 答案:2,(2)过点P(-1,1)作圆C:(x-t)2+(y-t+2)2=1(tR)的切 线,切点分别为A,B,则 的最小值为_. 世纪金榜导学号,【解析】由已知,圆心坐标为C(t,t-2),半径r=1,其中 PC2=(-1-t)2+(1-t+2)2=2t2-4t+10, PA2=PB2=PC2-1=2t2-4t+9, cosAPC=,cosAPB=2cos2APC-1=2 -1= , 利用平面向量数量积的定义有 cosAPB =(2t2-4t+9) =(t2-2t+5)+(t2-2t+4) ,设m=t2-2t+4,(m3),则 =
