《高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义3 新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义3 新人教a版必修4（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2 向量减法运算及其几何意义 【知识提炼】 1.相反向量 定义义 如果两个向量长长度_，而方向_那么称这这两个向量是 相反向量 性质质对对于相反向量有：a+(-a)=0 若a，b互为为相反向量，则则a=-b，a+b=0 零向量的相反向量仍是零向量 相等相反 2.向量的减法 (1)定义：a-b=_.减去一个向量就等于加上这个向量的_ _. (2)几何意义：a-b表示为从向量b的终点指向_的向量. a+(-b)相反 向量 向量a的终点 【即时小测】 1.思考下列问题. (1)若a-d=c-b，则a+b=c+d成立吗？ 提示：成立，移项项法则对则对 向量等式成立. (2)两个相反数的和为零，
2、那么两个相反向量的和也为零吗？ 提示：两个相反向量的和是零向量. 2.非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( ) A.m=n B.m=-n C.|m|=|n| D.方向相反 【解析】选选A.非零向量m与n是相反向量，则长则长 度相等，方向相反， 则则有m=-n，|m|=|n|. 3.在平行四边形ABCD中， =_. 【解析】由于向量 与 互为为相反向量，所以 答案：0 4.化简： =_. 【解析】 答案：0 5.四边形ABCD是边长为1的正方形，则| |=_. 【解析】| |=| |= 答案： 【知识探究】 知识点1 相反向量 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：相反向量与方向相反的
3、向量的区别是什么？ 问题2：两个向量互为相反向量应具备哪些条件？有哪些性质. 【总结提升】 1.相反向量的意义 (1)在相反向量的基础上，可以通过向量的加法定义向量的减法. (2)为向量的“移项”提供依据，如a+b=c+d，可得a-d=c-b. 2.对相反向量的两点说明 (1)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反 ，模长相等的两个向量. (2)两个非零向量a，b互为相反向量应具备的条件：一是长度相等，二 是方向相反，两者缺一不可. 知识点2 向量的减法 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：作两个向量的差向量的前提是什么？如何求作a-b？ 问题2：差向量a-b的“箭头
4、”指向有何特点？ 【总结提升】 1.向量减法法则的两点说明 (1)向量的减法法则有着丰富的几何背景：当a，b不共线时，a，b与a- b围成一个三角形；当a，b共线时，a，b与a-b不能围成一个三角形 .(2)向量的加法与向量的减法互为逆运算，可以灵活转化，减去一个 向量等于加上这个向量的相反向量. 2.透析差向量的作法 (1) =a-b，强调：差向量“箭头”指向被减向量. (2)可以用向量减法的三角形法则作差向量，也可以用向量减法定义a- b=a+(-b)作差向量. (3)作非零向量a，b的差向量a-b，可以简单记为：“共起点，连终点 ，指向被减”. 【题型探究】 类型一 向量的减法运算 【典
5、例】1.向量 可以写成： 其中正确的是_(填上序号). 2.化简：(1)( )-( ). (2)( )-( ) 【解题探究】1.典例1中，两起点相同的向量相减，差向量方向如何确 定？ 提示：两起点相同的向量相减，差向量指向被减向量. 2.典例2中，向量加减混合运算时，应该用向量加法的交换律和结合律 变形出哪些形式？ 提示：变变形出两种形式：一是向量相加首尾相接的形式，二是向量相 减共起点的形式. 【解析】1.因为为 ， 所以，正确. 答案： 2.(1)( )-( )= =( )+( )= =0. (2)( )-( ) 【方法技巧】 1.向量减法运算的常用方法 2.向量加减法化简的两种形式 (1
6、)首尾相连且为和. (2)起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用. 【变式训练】1.下列四式不能化简为PQ的是( ) A. B. C. D. 【解析】选选D. 2.化简 的结果是_ 【解析】将能够够首尾相连连的或变变号后能首尾相连连的放在一起运算，即 答案： 类型二 向量减法及其几何意义 【典例】1.如图所示，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点， 则 等于( ) 2.如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c. 【解题探究】1.典例1中，与向量 相等的向量有哪些？与解决本题 相关的是哪个向量？ 提示：与向量 相等的向量有 ， 与解决本题题相关
7、是 . 2典例2中，两向量差与和的作图依据是什么？ 提示：两向量差的作图图依据是向量减法的几何意义义及三角形法则则；两 向量和的作图图依据是三角形法则则和平行四边边形法则则. 【解析】1.选选D.由题图题图 可知 ，则则 .又由 三角形中位线线定理知 2.方法一：如图图，在平面内任取一点O，作 =a， =b，则则 =a+b，再作 =c，则则 =a+b-c. 方法二：如图图，在平面内任取一点O，作 =a， =b，则则 =a+b，再作 =c，连连接OC，则则 =a+b-c. 【延伸探究】 1.(改变问法)若本例2中条件不变，则a-b-c如何作？ 【解析】如图图，在平面内任取一点O，作 =a， =b
8、，则则 =a-b.再 作 =c，则则 =a-b-c. 2.(变换条件)若本例2中的向量a，b，c如图所示，则结果如何？ 【解析】在平面内任取一点O，作 =a， =b， =c.由向量加法的平 行四边边形法则则得 =a+b； 由向量的减法法则则得 =a+b-c. 所以 就是所要求作的向量a+b-c(如图图所示) 【方法技巧】求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后作a+(- b)即可.(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重 合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 【补偿训练】已知向量a，b，c与d，如图(
9、1)所示，求a-b，c-d. 【解析】如图图(2)作 =a， =b，作BA， 则则a-b= ，作 =c， =d， 作 ，则则c-d= 类型三 利用已知向量表示未知向量 【典例】如图所示，解答下列各题： (1)用a，d，e表示 (2)用b，c表示 (3)用a，b，e表示 (4)用c，d表示 【解题探究】本例中，利用已知向量表示未知向量的解题依据是什么 ？ 提示：三角形法则则和平行四边边形法则则 【解析】(1) =d+e+a=a+d+e. (2) =-b-c. (3) =a+b+e. (4) =-c-d. 【方法技巧】用向量表示其他向量的方法 (1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行
10、四边形法则 和三角形法则 (2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是 否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有 共同起点的向量的终点？ (3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则. 【变式训练】如图，在正六边形ABCDEF中，O为中心，若 =a， =b，用向量a，b表示向量 【解析】方法一：在OAFE中，OF为对为对 角线线，且OA，OF，OE起点 相同， 应应用平行四边边形法则则， 得 =a+b.因为为 ，所以 =-a-b. 而 =-b， =-a， 所以 =-b， =-a-b， =-a. 方法二：由正六边边形的几何性质质，得 =-a， =-b， =-
11、a. 在OBC中， =-a-b. 方法三：由正六边边形的几何性质质，得 =-b， =-a. 在OBCD中， =-a-b. 【补偿训练】如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点， 设 =a， =b， =c， 求证：b+c-a= 【证证明】因为为b+c= 而 +a= 所以b+c= +a，即b+c-a= 【延伸探究】若本题中，令 =a， =b， =c，又如何求证c+a-b= 呢？ 【解析】因为为c+a= 而b+ 所以c+a=b+ ，即c+a-b= 易错案例 向量和、差的运算 【典例】(2015衡水高一检测)如图，已知O为平行四边形ABCD内一点 ， =a， =b， =c，则 =_(用a，b，c)表示. 【失误案例】 【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误错误 的根本原因是忽视视几何图图形的性质质和相等向量的定义义及在 处处理向量减法时时字母顺顺序出错错，导导致错误错误 . 【自我矫矫正】因为为 所以 所以 =a-b+c. 答案：a-b+c
