统计分析与方法-第八章 主成分与因子分析

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1、主成分分析和因 子分析 主成分与因子分析主成分与因子分析 3 主成分与因子分析 u好裁缝做上衣，要测量上体长、手臂长、 胸围等 14 个指标。用流水线生产上衣时要 测量每个顾客的 14 个指标是不可能的。 u于是统计学家出了个主意：这 14 个指标 是相关的，可以找出几个反映上衣特征的综 合指标，加工出的上衣大多数人都能穿，当 然特体除外。 4 主成分与因子分析 u结果统计学家成功了! u这两个不相关的指标就是上衣的型 和号。 u本章的教学目的就是教会学生如何 建立和使用降维模型。 主成分分析主成分分析 u每个人都会遇到有很多变量的数据。 u比如全国或各个地区的带有许多经济和社 会变量的数据；

2、各个学校的研究、教学等各 种变量的数据等等。 u这些数据的共同特点是变量很多，在如此 多的变量之中，有很多是相关的。人们希望 能够找出它们的少数“代表”来对它们进行描述 。 主成分分析和因子分析主成分分析和因子分析 u本章就介绍两种把变量维数降低以便 于描述、理解和分析的方法：主成分分 析（principal component analysis） 和因子分析（factor analysis）。实际 上主成分分析可以说是因子分析的一个 特例。在引进主成分分析之前，先看下 面的例子。 成绩数据（成绩数据（student.savstudent.sav） u100个学生的数学、物理、化学、语文、历

3、史、英语的成绩如下表（部分）。 从本例可能提出的问题从本例可能提出的问题 u目前的问题是，能不能把这个数据的6个变 量用一两个综合变量来表示呢？ u这一两个综合变量包含有多少原来的信息 呢？ u能不能利用找到的综合变量来对学生排序 呢？这一类数据所涉及的问题可以推广到对 企业，对学校进行分析、排序、判别和分类 等问题。 主成分分析主成分分析 u例中的的数据点是六维的；也就是说，每 个观测值是6维空间中的一个点。我们希望把 6维空间用低维空间表示。 u先假定只有二维，即只有两个变量，它们 由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值 都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如 果这些数据形成一个椭圆形状的

4、点阵（这在 变量的二维正态的假定下是可能的） 1010 主成分分析主成分分析 u那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴 。在短轴方向上，数据变化很少；在极 端的情况，短轴如果退化成一点，那只 有在长轴的方向才能够解释这些点的变 化了；这样，由二维到一维的降维就自 然完成了。 主成分分析主成分分析 u当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表 长轴的变量就描述了数据的主要变化，而代 表短轴的变量就描述了数据的次要变化。 u但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平 行。因此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行 变换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。 u如果长轴变量代表了数据包含的大部分信 息，就用该变量代替原先的两个变量

5、（舍去 次要的一维），降维就完成了。 u椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也 越有道理。 主成分分析主成分分析 u对于多维变量的情况和二维类似，也有高 维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。 u首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表 大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量 ；这样，主成分分析就基本完成了。 u注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴 也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是 原先变量的线性组合，叫做主成分 (principal component)。 主成分分析主成分分析 u正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三 个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分 。 u选择越少的主成分，降维就越好。

6、什么是 标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的 主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分 。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有 主轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是 一个大体的说法；具体选几个，要看实际情 况而定。 u对于我们的数据，SPSS输出为： u这里的Initial Eigenvalues就是这 里的六个主轴长度，又称特征值（数 据相关阵的特征值）。 主成分分析的一般模型主成分分析的一般模型 u这个方程且满足： 主成分分析主成分分析 u其中 有以下原则来确定： u这时称：Y1是第一主成分 Y2是第二主成分 主成分的含义主成分的含义 u有原始数据的协方差阵或相关系数据阵， 可计算出

7、矩阵的特征根： 主成分的含义主成分的含义 u但是，spss软件中没有直接给出主成分系 数，而是给出的因子载荷，我们可将因子载 荷系数除以相应的 ，即可得到主成分系 数。 由Component1、2的系数除以 和 ，得到 ： Y1=-0.417x1-0.349x2-0.349x3+0.462x4+0.427x5+0.433x6 Y2=0.183x1+0.275x2+0.265x3+0.158x4+0.225x5+0.220x6 这些系表示主成分和相应的原先变量的相关系数。 相关系数(绝对值）越大，主成分对该变量的代表 性也越大。 主成分分析主成分分析 u为什么spss中值取了两个主成分呢？ 头两

8、个成分特征值对应的方差累积占了总方差的 81.142%，称为累计方差贡献率为81.142%。后面的 特征值的贡献越来越少。 一般我们取累计方差贡献率达到85%左右的前k个 主成分就可以了，因为它们已经代表了绝大部分的 信息 。 Spss中选取主成分的方法有两个：一是根据特征 根1来选取； 另一种是用户直接规定主成分的个 数来选取。 特征值的贡献还可以从SPSS的所谓碎石图看出 可以把第一和第二主成分的点画出一个二维图以直 观地显示它们如何解释原来的变量的。 该图左面三个点是数学、物理、化学三科， 右边三个点是语文、历史、外语三科。 因子分析因子分析 u因子分析是主成分分析的推广和发展。 u为什

9、么要进行因子分析？ u由主成分分析的模型可知： 因子分析因子分析 u我们如果想知道每个变量与公共因子的关 系，则就要进行因子分析了。因子分析模型 为： 因子载荷因子载荷 u 称为因子载荷（实际上是权数）。 u因子载荷的统计意义：就是第i个变量与第j 个公共因子的相关系数，即表示变量xi依赖于 Fj的份量（比重），心理学家将它称为载荷 。 30 变量共同度的统计意义 公因子方差表公因子方差表 u提取出来的公因子对每个变量的解释程度 到底有多大呢？可从公因子方差表得知： （0.744+0.736+0.718+0.890+0.870+0.880）/6=0.8113 因子旋转因子旋转 u为了对公因子F

10、能够更好的解释，可通过因 子旋转的方法得到一个好解释的公因子。 u所谓对公因子更好解释，就是使每个变量 仅再一个公因子上有较大的载荷，而在其余 的公因子上的载荷比较小。 u这种变换因子载荷的方法称为因子轴的旋 转。因子旋转的方法很多，常用的为方差最 大正交旋转。 这里，第一个因子主要和语文、历史、英语科有很强的正 相关；而第二个因子主要和数学、物理、化学三科有很强 的正相关。因此可以给第一个因子起名为“文科因子”，而 给第二个因子起名为“理科因子”。从这个例子可以看出， 因子分析的结果比主成分分析解释性更强。 这些系数所形成的散点图（在SPSS中也称载荷图）， 可以直观看出每个因子代表了一类学

11、科 。 因子得分因子得分 u在分析中，人们往往更愿意用公共因子反 映原始变量，这样根有利于描述研究对象的 特征。因而往往将公共因子表示为变量（或 样品）的线性组合，即： u称上式为因子得分函数，用它可计算每个 样品的公因子得分。估计因子得分的方法很 多。 可以根据输出，计算出每个学生的第一个 因子和第二个因子的大小，即算出每个学 生的因子得分f1和f2。 人们可以根据这两个函数分别计算出每个学 生的两套因子得分，对学生分别按照文科和 理科排序。 也可以每个因子的方差贡献率为权数，进行 加权综合，计算出每个学生的总得分，以此 排队。 主成分和因子分析的一些注意事项主成分和因子分析的一些注意事项

12、u可以看出，因子分析和主成分分析都依赖 于原始变量，也只能反映原始变量的信息。 所以原始变量的选择很重要。 u另外，如果原始变量都本质上独立，那么 降维就可能失败，这是因为很难把很多独立 变量用少数综合的变量概括。数据越相关， 降维效果就越好。 39 40 因子分析的判断因子分析的判断 KMO测度和巴特利特球体检验： KMO值：0.9以上非常好；0.8以上好；0.7一般； 0.6差；0.5很差；0.5以下不能接受。 巴特利特球体检验的 H0:相关矩阵为单位阵 主成分和因子分析的一些注意事项主成分和因子分析的一些注意事项 u在得到分析的结果时，并不一定会都得到 如我们例子那样清楚的结果。这与问题

13、的性 质，选取的原始变量以及数据的质量等都有 关系 u在用因子得分进行排序时要特别小心，特 别是对于敏感问题。由于原始变量不同，因 子的选取不同，排序可以很不一样。 SpssSpss实现实现 uSpss选项:AnalyzeData ReductionFactor u用Extraction，选择提取共因子的方法（如果是 主成分分析，则选Principal Components）， u用Rotation，选择因子旋转方法（如果是主成分 分析就选None）， u用Scores计算因子得分，再选择Save as variables（因子得分就会作为变量存在数据中的附 加列上）和计算因子得分的方法（比如

14、Regression ）；要想输出Component Score Coefficient Matrix表，就要选择Display factor score coefficient matrix； 因子分析因子分析例例11.111.1 u仍以学生成绩的数据(student.sav)为例,说 明因子分析的过程。 4444 因子分析因子分析例例11.111.1 u北京市各区县的社会经济发展水平存在着一定的 差异，然而反映社会经济发展水平的指标很多，如 何反映各区县之间的差异，进行多指标的综合评价 是统计分析的问题之一。因为指标较多且之间的相 关性很强，用主成分分析和因子分析可以用较少的 综合指标，反

15、映原来变量的较多的信息，达到降维 简化分析过程的目的。 u数据文件：北京市各区县主要指标因子分析.sav 。数据来源：北京统计年鉴 2004 4545 因子分析因子分析例例11.111.1 u变量名称： x1-在岗职工平均工资（元/人） x2-地区生产总值（万元） x3-城镇居民人均可支配收入（元） x4-地方财政收入（万元） x5-全社会固定资产投资（万元） x6-社会消费品零售额（万元） x7-从业人数。 4646 各指标的相关系数矩阵各指标的相关系数矩阵 4747 4848 碎石图碎石图 4949 因子载荷矩阵因子载荷矩阵 5151 因子旋转因子旋转 5252 因子得分因子得分 5353 因子得分因子得分 5454 因子得分因子得分 由因子得分系数，我们可以得到计算因子得 分的线性方程： f1=-0.212x1+0.307x2- 0.384x3+0.183x4+0.367x5+0.233x6+0.263x7 f2=0.573x1-0.163x2+0.799x3+0.025x4-0.265x5- 0.052x6-0.095x7