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1、具有不同分支参数的Nakagami信道下最大比合并系统容量的新颖表达式 具有不同分支参数的 Nakagami 信道下最大比合并系统容量的新颖表达式 冯宝荣，岳殿武，王光健 (大连海事大学信息工程学院 大连 辽宁 116026) 摘 要：基于不同参数的伽玛变量的和的分布特性，研究了具有不同分支参数的 Nakagami多接收天线系统，给出了采用最大比合并接收时的系统容量新颖的封闭表达式。与传统的无穷级数结果相比，本结论是使用有限项和来表示的，因此结论具有更高的精确性。数值分析和仿真结果表明，采用多天线分集接收是可以很大的提高系统的容量。 关键词：最大比合并 伽玛分布 Nakagami 分布 信道容
2、量 概率密度函数 1引言 由于无线通信信道所特有的严重衰落的特点，导致无线通信系统的性能往往比有线通信系统要差的多，因此我们要采取特殊的技术来抵抗无线信道的衰落特性。众所周知，无线通信的接收端采用多天线，利用分集接收技术是可以很大的提高系统的性能1，2。最大比联合是一种使输出信噪比最大的一种分集接收技术,在没有同信道干扰的加性高斯白噪声信道下,它是最优的接收方法。Nakagami 分布由于它非常符合实际的信道衰落分布3，并且分布函数表达式的特殊形式，有利于进行实际的系统性能计算分析，因此得到了广泛的应用。所以分析 Nakagami 信道中最大比合并策略的性能是必须的。 对于独立但是参数可以不同
3、 Gamma 的变量和的分布，大多数都是采用无穷级数的表示，并且其中的系数还具有迭代计算，因此在实际计算是是很不方便的，而且不便于给出系统性能的精确解。4中利用无穷级数给出了独立的和相关的 Gamma 变量和的概率密度函数，并且利用概率密度函数得到了 MRC 系统的中断概率、信道容量和平均错误概率的精确表达式，同样5中利用无穷级数表示给出了相关 Gamma 随机变量和的分布函数。但是利用无穷级数来表示系统的性能函数，导致性能函数在实际应用时要采用近似，因此期望获得一种利用有限和的形式来表示系统的性能。 本文是利用文献6中多元统计分析的结论，通过有限项和的形式来表示独立但不同分布的Gamma变量
4、和的累积分布函数和概率密度函数，并且利用得到的概率分布函数和概率密度函数得到具有不同分支参数的Nakagami衰落信道下，系统接收端采用最大比合并的系统遍历容量新颖的封闭表达式。与传统的无穷级数形式的结果相比，本文中的结论是使用有限项和来表示的，因此结论具有更高的精确性。本文得到的结果在实际的应用中具有一定的局限性就是，就是每个分支的Nakagami参数 必须是一个整数。 m 2独立 Gamma 变量和的分布 下面我们将要介绍 Gamma 分布和独立 Gamma 变量和的分布特性。 若随机变量Y 具有下面的概率密度函数 ， )( yfYyrrY eyryf ?=1)()( (1) - 1 -/
5、 那么我们就称变量Y 是服从 Gamma 分布的，并且 r 称为形状参数(shape parameter),称为尺度参数(scale parameter)，并且记为： ),( rY 。 下面根据文献6给出独立但不同分布的 Gamma 变量和的密度函数： 已知 是 个独立的 Gamma 随机变量,有：NYYY , 21 ; N ),1(,),( NirrY iiii ;= ，要求是整数，则有它们的和 的概率密度函数为： = Ni iYY 1= =?=NirkzkkiziiezrNcKzf1 11, ),()( (2) 其中上式中各系数由下面定义： =NiriiK1 ， ， ， ，irSiS?=
6、)1( =NiirS1?+=12, ijia jiTNrrrr ),( 21 ;= ， TN),( 21 ;= ， 1,2,1;,2,1,1*1* ?=?>=?>=+NjNijirjirrjijijjijjjij ; (3) ikjjrkjjkjjkjjiki rkSrNc Ni NN,2,1,),(22112321,; = ? = = = (4) iNNiiiNNNiNNNNiiiiiirjkiNirjrjrjjiNirjjjrjjiirjjjrrjiirjrjkaaaa*12*111*232*2232*212*2212*11*111)()!1()()()(*1,1*2,1*2,
7、1*1,1?+?+?+?+?=?=?=?=# (5) 可以看出上面的系数在 较大时计算有点烦琐，但是用有限和表示，因此是精确的。对于给定 之后，系数Ni ),(, rNc ki 在文献6中还给出了一些具体的简化计算方法： =?=Nijjrijiriji rrNc,1, )()!1(1),( (6) 对于 有： 121 ?= irk ， ;),(),1()!1()!1(1),( )(,1, rNcrNijRkrjkrkrNc jkrikj iikri ii ?=? ?+?= (7) 其中 ),( rNjnR 由下面定义： )1,0(,)(),(,11 ?=?= =?iNjiiniji rnrrN
8、jnR ; (8) 3系统模型 - 2 -/ 我们考虑无线通信系统，假设发送端有一根天线而接收端有 N 根天线,信道是频率平坦衰落的。因此我们可以得到系统的接收信号为: nhy += x (9) x是表示发送符号，其能量为 sExE = 2 ；y表示 )1( N 的接收向量；nK的每个元素是服从零均值、每维方差为 的是加性高斯白噪声； h 为 的信道向量， 是独立的随机变量，假设信道是 Nakagami 衰落的，因此可以得到第 i个接收分支上接收信号的包络的概率密度函数为： in2n )1( NTNhhh , 21 ;=h ijii eRh =iiiixmmmiiiR exmmxf ?=/12
9、 2)()(2)( (10) 其中 、 2ii RE= )( 222iiii REm ?= 为第 i 个接收分支的参数。因此有 22 iii Rh =的分布为： iiiiixmmmiiiexmmxf ?=/1)()(1)( (11) 可见 i 是服从 )/,( iiii mm 的 Gamma 随机变量。 根据文献2，在接收端采用最大比合并(MRC)时，我们可以得到此时系统输出为： nxhnxz HNiiHH KK hhhyh +=+= = 122 (12) 此时有系统的瞬时输出信噪比为： YEhENiinsNiins = = 12122 22 (13) 其中 = Ni ihY 1 2 ， 。所
10、以可以得到Y 是服从独立的 Gamma 变量的和的分布，因此我们只要对(2)式做简单的变换(22/ nsE =iiiii mmr = /,= )就可以得到 Y 的概率密度函数： = =?=NimkzmkkiziiiezmNcKzf1 11, ),()( (14) 4系统容量分析 根据容量定义，可以得到系统的平均容量为： HzsbitYEhEECNiins /)1(log)21(log)( 21222 +=+= =h (15) 上式是对信道矩阵 求统计平均。 h因此我们可以利用上面得到的输出信噪比概率密度函数式(14)，得到系统平均容量的闭合表达式为： = =?=NirkikiikkrNcKC1 11, ),/1()(),()2ln()( (16) - 3 -/.
