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1、个人收集整理 仅供参考学习9.7 抛物线教学目标重点：掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 难点：充分利用抛物线的有关性质，通过建立抛物线的标准方程来准确处理有关几何问题知识点：抛物线的定义，标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等能力点：能够利用“数形结合”的思想方法解决有关代数或几何中的问题；恰当选用“待定系数法”求抛物线的方程教育点：通过运用代数方法解决几何问题（坐标法）的过程，提高学生的运算能力，培养学生借助平面直角坐标系解决数学问题的意识和能力自主探究点：抛物线标准方程的特征与抛物线简单几何性质之间的内在联系，直线与抛物线位置关系的判定方法易错点：容易混淆抛物线
2、的标准方程四种形式及其几何性质考试点：抛物线的标准方程的求解及定义、几何性质的综合应用，数形结合的思想方法拓展点：圆锥曲线是否有统一的定义.学法与教具1学法：讲练结合法、分组讨论法 2教具：讲义、多媒体一、【知识结构】 抛物线的几何性质范 围对 称 性顶 点焦 点准 线抛物线的定义抛物线的标准方程抛物线二、【知识梳理】1抛物线的概念平面内与一个定点和一条定直线（）的距离_的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的_，直线叫做抛物线的_2抛物线的标准方程与几何性质（完成表格）标准方程的几何意义：焦点到准线的距离图形顶点对称轴开口方向向右向左向上向下范围焦点准线方程焦半径通径离心率3利用待定系数法求抛物线
3、方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程4 抛物线焦点弦的性质：设是过抛物线焦点的弦，为坐标原点若，则（1），；（2）弦长（为弦的倾斜角）；（3）；（4）以弦为直径的圆与准线相切；（5），与在准线上的射影三点共线三、【范例导航】例1 根据下列条件求抛物线的标准方程（1）抛物线的焦点是双曲线的左顶点；（2）抛物线过点；（3）抛物线的焦点在直线上.【分析】要求抛物线的方程，关键是求出参数对于（1），根据条件直接求得的值对于（2）中的抛物线过点，可判断抛物线的位置只有两种情况，位于轴上方或轴左侧，故所求抛物线的方程可设为或，再代入点求出的值 对于（3）中的抛物线
4、，由直线与坐标轴的交点确定抛物线的焦点，进而求出的值【解答】（1）双曲线的左顶点，即抛物线的焦点是，所求抛物线的标准方程为（2） 抛物线过点，所以设抛物线的方程为或，将点代入得；将点代入得，所求抛物线的标准方程为或（3）抛物线的焦点在直线上，又抛物线的焦点在坐标轴上，当焦点为时，抛物线的标准方程为；当焦点为时，抛物线的标准方程为.所求抛物线的标准方程为或.【点评】（1）求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p，可利用题中已知条件确定p的值注意到抛物线标准方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定型，再定量（2）涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶
5、点、对称轴、开口方向等几何特征变式训练：1已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且抛物线上的一点到焦点的距离为，其中，求的值并求抛物线的标准方程.答案：；.2. 如图，已知抛物线有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边与的长分别为和，求抛物线方程答案：.例2已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，又有点，求的最小值，并求出取最小值时点的坐标【分析】如图，根据抛物线的定义可以将转化为点到准线的距离，从而将转化为点经再到准线的距离，显然点到准线的距离为所求的最小值【解答】将代入抛物线方程得，在抛物线内部，如图所示设抛物线上点到准线的距离为，由定义知，当（垂足为）时，最小，最小值为，即的最小
6、值为，此时点纵坐标为，代入，得，点的坐标为【点评】 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线有关问题的重要途径变式训练：1. 已知点是抛物线上的动点，点到准线的距离为，且点在轴上的射影是，点，则的最小值是 () 答案：.例3 如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，（1）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；（2）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明|为定值，并求此定值【分析】要证明|为定值，只需求出点的坐标即可，故只需先求出线段的垂直平分线的方程即可.【解答】（1）解 由已知得，.抛物线的焦点坐标为，准线方程为.(2
7、)证明设，由已知得，直线的斜率为，则直线方程为将此式代入，得，故.设直线与的交点为， 则， ，故直线的方程为.令，得点的横坐标为，故.为定值，定值为【点评】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式变式训练：1.已知定点和直线上的两个动点，且，动点满足， (其中为坐标原点)（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与（1）中的轨迹相交于两个不同的点，若，求直线的斜率的取值范围解：（1）设，即， 又，且，且，当时，不符合
8、题意. 当时，有，代入得，动点的轨迹的方程为（2）设（易知存在），联立消去，得，设，则，又，故直线的斜率的取值范围为四、【解法小结】1抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决2抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应法则，将抛物线关于轴、直线与对称变换可以得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系3求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程4注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题五、
9、【布置作业】必做题：1动圆过点，且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_2(2012年高考北京卷理科12)在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于、两点，其中点在轴上方.若直线的倾斜角为，则的面积为 . 3已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，则线段的中点到轴的距离为 4. (2012年高考辽宁卷理科15)已知，为抛物线上两点，点，的横坐标分别为，过，分别作抛物线的切线，两切线交于，则点的纵坐标为_ 5设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为_6已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且(1)求该抛物线的方程(2)为坐标原点，为抛物线上一点，
10、若，求的值必做题答案：1 2 3 4 5 6解:（1）直线的方程是，与联立，整理得，.由抛物线定义得，所以，从而抛物线方程是.（2）由知可化为，从而，所以，设，由得，即，代入得，即，解得或.所以的值为或.选做题：1抛物线上到焦点的距离等于的点的坐标是_2(2012年高考安徽卷理科9)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为 . 3设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则_.4(2012年高考四川卷理科8)已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点.若点到该抛物线焦点的距离为，则 . 5(2012年高考重庆卷理科14)过抛物线的焦点作直线
11、交抛物线于两点，若，则 . 6.(2012年高考山东卷理科21) 在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为（）求抛物线的方程；（）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值选做题答案：1或 2 3 4 5 6.解：（）依题意线段为圆的弦，由垂径定理知圆心的纵坐标，又到抛物线准线的距离为，所以.所以抛物线的方程为.（）假设存在点满足条件，又，设.由得，.因为直线为抛物线的切线，故，解得，即.又取中
12、点，由垂径定理知，所以，化简得，解得，所以存在点，使得直线与抛物线相切于点.（）依题，圆心，圆的半径，圆心到直线的距离为，所以，.又联立，化简得，设，则有，所以，.因此，.令，由于，则，所以，设，因为，当时，即函数在上是增函数，所以当时，取最小值，因此，当时，取得最小值.六、【教后反思】1本教案的亮点是：从新课标和考试说明出发，抓住了抛物线知识的重点、难点，注重难点的突破和知识点的拓展把抛物线的定义、标准方程与几何性质的应用通过三个典型例题展示出来,同时又注重了对难点知识和综合应用的突破在课后练习的选择上，注重了落实双基，力求题目对知识点的涵盖，同时从今年高考试题中选择了具有代表性的题目，提高了学生完成作业的积极主动性2本教案的弱项是：由于“直线与抛物线的位置关系”所涉及的问题丰富多样，所设计的题目数量不够，例题的类型还不是很全面9
