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1、f # 0 一 32 7 81 非线性奇异微分方程边值问题的正解 研究生姓名： 学科、专业： 研究方向： 指导教师： 完成时间： 刘倩 应用数学 非线性泛函分析 刘立山教授 2 0 1 0 年4 月 曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文非线性奇异微分方程边值问题的正 解，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工 作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果 对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明 本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：各t l 伟 日期；
2、阳口I - f 口 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 非线性奇异微分方程边值问题的正解系本人在曲阜师范大学攻读硕士学 位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学 所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大 学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印 件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印 或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：台1 钨日期：咖岁厂， 摊名议记啉叫盯w 曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 近代物理学和应用数学的发展，要求分析和控制客观现象的数学
3、能力向着富 有全局性的高、精水平发展，从而使非线性分析成果不断积累，逐步形成了现代分 析数学的一个重要的分支学科一一非线性泛函分析非线性泛函分析是数学中既 有深刻理论又有广泛应用的研究学科，以数学和自然科学中出现的非线性问题为 背景，建立了处理非线性问题的若干一般性理论和方法因其能很好的解释自然 界中的各种各样的自然现象，在实际生产生活中有很大的应用，加之对物理学、 化学，生物科学以及天文学等相关学科的发展有积极的影响，近年来受到了国内 外数学及自然科学界的高度重视 非线性微分方程边值问题源于应用数学、物理学、控制论等各种应用学科中， 是微分方程领域中一类重要问题，是目前非线性泛函分析中研究最
4、为活跃的领域 之一，而具有奇异项的边值问题又是近年来讨论的热点，引起了科学家的广泛关 注 本文利用锥理论、不动点理论、拓扑度理论以及不动点指数理论，研究了几 类非线性奇异微分方程边值问题的正解的存在性 本文共分为三章； 在第一章中，我们利用锥拉伸和压缩不动点定理，并结合锥理论中的有关知 识，讨论三阶奇异非线性微分方程三点边值问题 以D “，( 厶以) _ o ， 0 O 是参数，Q ，p 和，7 都是常数且满足口 卢0 ， 0 卢 0 ，0 p 0 ，0 入m a x ， 一t e o ，1 】J 7 ，1 Am a xJ t 【o ，1 J J ， G l ( t ，s ) a ( s )
5、f ( s ，仳，u 7 ，u “ ) d s G l ( t ，s ) o ( s ) + u 7 + u ) d s ( 厶一E ) 一2 ) , B 2 1 1 t I l I l ( k 一) 1 刊u 忆 U 7 第一章非线性奇异三阶三点边值问题的正解 ( 酬，1 1 = t 【m 叫a x 】) 、Z 1 掣吣) ，( s 州) d s = A 。m f 。a ，x 。】，I 。d ( s ) ，( 3 ，u ，u 7 ，u ) d s A 1 。( s ) ，( s ，u ，仳，d s 入o ( s ) ( 厶一E ) ( u + + u ) d s 入B 知I I ，( 厶叫扣
6、I I 。 因此， I I T A u l l l I l u l l l ，V 札Kna Q 2 ( 1 3 2 ) 根据( 1 3 1 ) ，( 1 3 2 ) 和定理1 2 1 知，算子乃在矿Kn ( Q 2 Q 1 ) 中至少有 一个不动点，即B V P ( 1 1 1 ) 至少存在一个正解证毕 类似地，我们还可以证明如下结果： 定理1 3 2 假设( H 1 ) ，( H 2 ) 成立，且满足2 A 氏 o h ( 1 ) = 入： 0 对任意的A ( 0 ，A ：) ，存在常数 8 p O U S Z = 1 一( 曲阜师范大学硕士学位论文 m l ，m 2 ( O o ；o S
7、t S l 最后，我们再讨论正解不存在的情况： 定理1 3 5 假设( H 1 ) - ( H 2 ) 成立，且( t ，u ，口，叫) 【0 ，1 】R + XR + R + 时，有 入邢，叩，叫) 0 使 得当t T ，z D 时，有l z ( ) 一z ( + ) I r 0 ，A ：P r R _ P 是全连续的如果还满足： ( 1 ) I A u l I I I u I l ，V u a ； ( 2 ) 存在U 0 a 尸l 使得u T u + # U o ，V u a 只，p 0 那么A 在- r R 中有不动点 注2 2 2 如果引理2 2 3 中的条件( 1 ) ( 2 ) 对
8、于让a 只和u O P R 也分别满 足，那么引理2 2 3 仍然成立 引理2 2 4 假设( H 1 ) 一( H 2 ) 成立，则T ：一Pr R _ P 是全连续算子 证明首先我们需要证明T ：一P ，。R E 有定义且T ( 一P r , R ) cP 对任意的 1 4 ( u ，口) 一P r ，R ，由( H 2 ) 可知Vt R + ，有乃( u ，“ ) ( ) 0 和 乃( u ，口) ( t ) = G l ( t ，s ) m l ( s ) f l ( s ，饥，v ) d s J 0 ，+ o G l ( S ，s ) m 1 ( s ) ( 9 l ( s ，u )
9、 + 入1 ( s ，口) ) d 5 J 0 ，+ 。o G l ( S ，s ) m l ( s ) 9 l ( 5 ，r a l ( S ) ) d s + l l s u p A l ( s ，z ) J o 8 R + ，x e 0 ，捌 0 的任意性可知，五( D ) 中 的函数在R + 上是局部等度连续的再由( 2 2 3 ) 和( H 2 ) 可得， 乃似，u ) ( t ) 一死( u ，u ) ( + o o ) ( t ，s ) 一召l ( 5 ) l m l ( s ) ( s ，“，v ) d s ( t ，s ) 一召l ( s ) l m l ( s ) 9 1
10、( s ，r a l ( s ) ) d s D入l ( s ，z ) _ 0 t 一+ 。o G l ( t ，s ) 一U l ( s ) l d s 因此，噩( D ) 中的函数在+ o 。处是等度连续的根据引理2 2 2 可知，算子正： r R x 是全连续的此外，由注2 2 1 中C ( t ，s ) 的性质( 5 ) 可以推出 ，十0 0 五( u ，u ) ( t ) 盯1 ( t ) G l ( s ，s ) m 1 ( s ) ( s ，u ，v ) d s ，0 1 6 ( 2 2 8 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 由( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 可知， 丑(
11、u ，“ ) ( t ) 0 “ 1 ( z ：) l I T l ( u ，v ) l l ，Vt R + 同样的方法，可以证明T 2 ：一P r R _ X 是全连续的且 疋( 让，口) ( ) 观( 刚疋( u ，v ) l l ，V R + ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) 因此，由式( 2 2 9 ) 和( 2 2 1 0 ) 可知T ( R R ) CP 且算子T ：，兄一P 是全连续 算子证毕 其中 2 3 主要结果 定理2 3 1 假设( H i ) ，( n 2 ) 和下面的条件成立， ( H 3 ) 其中 ( H 4 ) 0 l i m s u ps u p o
12、+ 0 + 0 l i m s u p l ，一0 + t ，y E R + s u p ，x E R + ( t z ，Y ) Z f l ( ，z ，Y ) 0 使得对任意的t R + ，有 f l ( t ，z ，Y ) ( L I e 1 ) X ( L 1 一1 ) r l ，0 0 ，s 2 0 使得对Vt 【a ，6 ，有 ( ，z ，Y ) p l + e 2 ) x ，z ，7 ，y R + 取r 2 = 击r 1 ，( 妒1 ，妒2 ) = ( 1 ，1 ) a P l 下面证明 ( u ，t ，) T ( u ，u ) + p ( 妒l ，妒2 ) ，V ( u ，u )
13、 a 只。，肛20 假设( 2 3 4 ) 不成立，则存在( U l ，V 1 ) a 只。，p l 0 使得 ( U l ，V 1 ) = T ( U l ，u 1 ) + p l ( 妒l ，妒2 ) 式( 2 3 3 ) 和 1 u l l | t 10 = u 7 2 = r 可以推出对Vt 【a ，6 l ，有 您U l ( t ) = 乃U l ，“ 1 ) + p 1 妒l ，+ o o = G l ( t ，S ) T Y t I ( S ) f 1 ( 3 ，u l ，V 1 ) d S + p 1 J 0 ，6 t m i n G 1 ( 。，s ) m 1 ( s ) d
14、 s ( p l + E 2 ) r 2 十p 1 r 2 ， ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 矛盾即( 2 3 4 ) 成立由引理2 2 3 可知T 在- r 。，仡中有不动点( u 1 ，v 1 ) 显然， ( t 1 ，口1 ) 是B V P ( 2 1 1 ) 的一个正解证毕 注2 3 1 由定理3 3 1 可知，如果条件( H i ) 一( H 4 ) 和 l ( t ，z ，Y ) 1 8 + 0 0 ， 赫一 时1卜 m n V 陇 曲阜师范大学硕士学位论文 成立，则B V P ( 2 1 1 ) 至少存在个正解 定理2 3 2 假设( H 1 ) ，( H 2 ) 和下
15、面的条件成立： ( H 5 ) ( H 6 ) 0 l i m s u p z + o ot 0 l i m s u p + o ot ， 。u p 趔 y E R + Z s u p 趔 z E R + Y P l 0 使得 l 知( N 1 ) 。m 删i n - ，f 。b G l ( m ( s ) d s 则B V P ( 2 1 1 ) 至少存在两个正解 1 9 - 第二章半直线上的二阶奇异微分方程组的正解 证明类似定理2 3 1 的证明，取7 ，R 满足z0 0 使得 f + o o 2 J ( 2 ) + 妒( N 2 ) G ( 5 ，s ) m i ( s ) d s ，i = l ，2 ，0 则B V P ( 2 1 1 ) 至少存在两个正解 第三章具有积分边界的三阶奇异微分方程的正解 3 1 引言 本章考虑下列具有积分边界条件的三阶奇异微分方程正解的存在性 u 胛( t ) - I - f ( t ，u ( t ) ) = 0 ，0 0 ，有 。 7 0 ，定
