《非线性schrodinger方程的显式辛算法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性schrodinger方程的显式辛算法（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、摘要 在 这篇论文里， 我们用显式辛格式数值求解非线 性S c h r o d i n g e r 方程， 并 验证其对系统不变量的保持情况。 数值结果表明L - L - N分裂方法是模拟非线性 S c h r o d i n g e r 方程的一个又快又好的方法. 首先， 我们把非线性S c h r o d i n g e r 方程通过空间离散后， 写成一个H a m i l t o n 系 统，我们证明 这个离散系统的解， 当步长充分小时， 与原初始方程的解是充 分接近的。 初始的非线性S c h r o d i n g e r 方程有一系列的守恒量， 我们用中心差分 给出前六个相应的逼近
2、量。 然后， 我们 发现这个H a m i l t o n 函数可以分成三部分， 每一部分对应的H a m i l- t o n系统是可以精确求解的.我们通过这三部分的精确解， 给出原H a n m i l t o n 系统的两个显式辛格式S 1 和S 2 ， 它们分别为一阶精度和两阶精度的， 而且S 2 是时间可逆的.我们分别给出其形式能量展开式的前几项。 最后， 对一个孤立子、 两个孤立子和三个孤立子情形，我们用这两个格式 分别进行数值模拟，结果表明两阶精度的格式S 2 可以很好地保持原方程的孤 立子解、各守恒量及辛格式的形式能量. .q t引言 1 引言 我们考虑带初值的非线性S c h
3、 r o d i n g e r 方程( N L S E) : i W+ W . . + 川 W12 W二0 W ( x , 0 ) =W O ( x ) ( 1 ) x E R , a 为常数，W( X , t ) 是复函 数二 这个 方程出 现 在许多 物理系 统的 描 述中， 例如非线性光学和等离子物理学间 1 7 1 . 对于方程( 1) ， 两种流行的空 间离散是: i 州1) + Wp + i 一2 W( 1 ) +W( 1 - 1 ) h 2 + a 1 W (1) 12 W(1) = 0 ( 2 ) i 司1) + W ( i + 1 ) 一2 W( 1 ) +W ( I- 1
4、 ) h 2+ 鲁 IW (L ) I2 (W “ 一 ， + W (1+ 1) 一 0 (3 ) 这 里 ，h 是 空间 步 长 ，w (l) ( t ) = W ( l h , t ) , l =一 ， 一 1 ， 0 ， 1 ， 不同的初值条件W O ( x ) 决定不同的运动. 例如，W f - =。 时， 为明孤立 子运动4 1 ;IW o ( x ) I =P 0o ， 为暗 孤立子运动 5 1 ; 周期的W O ( x ) 导 致周期 运动【 1 1 . 在这篇文章里， 我们只 研究明 孤立子的 情况. 许多 种N L S E 方程( 1 ) 的 数值 格式被提出( 例如3 1
5、，6 1 ， 7 1 ，8 ， 1 9 1 ， 1 0 1 ， i l l ， 1 2 1 ， 1 3 1 ， 1 4 1 ， 1 5 1 ， 1 6 ) ， 包括 一些离散能量和载荷 的 守恒格式( 3 ，6 1 ，7 1 ， 1 1 ， 1 5 1 ， 1 6 1 ) 和辛 算 法( 8 1 ，9 1 ， 1 3 1 ， 1 4 ) 。 他们 或 者用空间 离散和时间 离散同 时， 或 者先空间 离散， 后时间 离 散。 在!3 中 ，D e l f o u r ，F o r t i n 和P a y r e ( 1 9 8 1 ) 提出 一 种 有限 微 分法 来 近 似 比( 1) 更
6、一般一些的S c h r o d i n g e r 方程 这种方法是非线性隐式的， 在空间 和 时间上同时离散， 这个方法的主要前景是它满足一些重要守恒量的离散分析， 例如能量， 载荷等. 他们给出了一个孤立子解和两个孤立子解的实验. S a n z - S e r n a 1 0 ( 1 9 8 4 ) 和G u o 6 ( 1 9 8 6 ) 分别 分 析了N L S E( 1 ) 的 一些数 值 方法的收敛性. 在这篇文章里我们描述怎么用辛的分裂格式来积分N L S E ( 1) ， 这个格式 是完全显式的。 2空间离散 2 空间离散 让我们考虑 ( 2) ，我们有下面的定理: 定理
7、1: 设初值条件 we 是平方可积的，即 J _ - Iv v o t x ) l- a x 0 ) 的 解， 当h - 3 0 . if 明 设， ( x , t ) 是 方程( 1 ) 的 解，w (l) ( t ) = 二 ( t h , t ) ， 则 有 : 、 ) + ,w ( t + 1 ) 一2 w (0 +w ( 1 - 1 ) h 2 + a 二 (L ) ,2 w ( L ) = M ( 4 ) 从=( W ( I+ i) 一 2 0) + w ( 一 ) ) I h 2 一 叱 二 ， 把二 (一 ， “(i+1 ) 在w () ,w (a+ 1， 一 t) + 叨 ;
8、 ，。 + 1 TU (1)h 22 xx + 会 留 男 ” 31 w (i)h3 + 1 留 ;2 4 w (i h 41 x+ 点泰勒展开 O ( h 5 ) w (1- 1， 一 !， - w ()h + 1 w () h 22 xx 一 会 w (l) h 3x+ 1 w (14)h 4x+ O (h 5) 则 二 ，+ ， 一 2 w (t) + 二 “ 一 ，) 二 ， 里 护 + 击 谬、 + O ( h 5 ) , 所 以 从一 击 二 男 h 2 + O ( h 3 ) = h 2 B t (t ) ,马一 。 ( 1 ) ( 4 ) 减去 ( 2) ，我们就得到 ， 兰
9、。 ， r t t “召( 1+ 1) - 2 E (1)土 E (1_ 3) + 。 5 l1w (1) I2 + I W (1) 12 1 。 : + 二 (1)w(i)E, 九 =Mt ( 5 ) 。 ， =w I 一W ， 方程 ( 5) 两边都乘以 ， 的复共扼 E i ， 并对所有的1 的相加， 得 分_d 2)E - E 1 + 丫 一 以 艺 艺: E I E 1+ l 一 2 艺: If (I) J2 + 艺: E I E i _ 1 h 2 二 军 Iw (1)12t IW (1)12 1,112 耳 w (1) W (I) (E1)21 一 琴 EIM , (6) 因为l
10、 二， 二， - 1 , 0 , 1 . . . . ， 我们有 1T2- !军 E16!一 琴 Ei-1 El1 一奥 Y“(。 。，+ ， + 。 : :+ 1 I L 丫 一 h2 黔Et+ 1t 十 E1 E2+ 1) ( 7 ) 2空间离散 所以I m ( 击云 : 尔 + ， 十 E t E l- 1 司 ) 二 0 . 又 因 为 R e ( #tdtEtt) 一 ; 军 (Et dt Eft 一 d _ 1wt Et _王 兰 IE , 12 Zd t” ( 8 ) 所以我们得到方程 (6) 的虚部为 1 d . 2 d t 斗。 “ 十 “ 1 mJ爪 !军 、 (s) 或者
11、 1 d h2 dt 军 !” + al m 军 二(t) W (t) Et J - 九 W (t) W (t)E2,Jt -Im 卜 E w ,t一 我们定义IE ( t ) 112 =h E， IE t i2 ， 则有 1d 。 一一 I l e l l Zd 亡 ” 一 h 2 IIB II IIE Il( IIw l12 + IIW11Z ) IIE 112 h 4C 21 + 告 (1 + 2 a c z ) IIE II2 ( 1 0 ) C , ，C 2 是常数， 则解不等式有 IIE(t)II2 、 exp (1 + 2aC ) T : ( 1 + 2aC 22z) ( C 1
12、 h4 ) ( 1 1 ) 由此可见， 给定一模拟时间T， 我们令h足够小， 则方程 (2) 的解与 1 的解足够接近，这样定理得以证明. 令W(I ) = p ( t ) + i 4 ( ) ， 方程( 2) 可以 写成 (、 . 4 (t+ 1 ) 一 2 4 ( 0 + 4 (t- 1 ) P i 十 - 一 一 不 二 石 一一 一- ，乙 一 砂一 p (t+ 1 ) 一 2 p (t) + p (t- 1 ) h 2 + a (， () ， + (4 (t) ) 2 。 () 一 a (P (1) ) 2 + ( 4 ( 1) ) 2 p (t) ( 1 2 ) 2空间离散 假设边
13、界条件W( 一 、 h , 幼=W ( n h , 约=0 ( 这里! 一 。 h , n 川是空间的整个间 隔) ， 方程 ( 9) 可以转化为下面的H a m i l t o n i o n 系统: 0D 一B O 刀+ a 一 D O J VH ( 1 3 ) OB 1一解 - 名 d一击 : = 喊， q l ， P = P - (. )， P ( “ ) 1 T ， 。 = 一q - ( n ) g (“ ) 1 T 。 2 1 1一 2 1 B 1一 2 1 1一 2 D 一 d ia 9 (P 一 ，) + (。 一 ，) ， ， (， ( ，) + (g (n )2 其中，H
14、a m e l t o n i a n函数为 二 (P ,。 一 2 h 2 P T B P + gT B g + a4 又(P (k ) 2 + (q (k ) 2 1 2 ( 1 4 ) 七 =一n 3连续不变量及其离散逼近量 3 连续不变量及其离散逼近量 原始N L S E有守恒量 1 : E (ls)(le) 口.尸 (lv)(ls) d x 哑)aax-j介一%lwlz 衅杯添一Vzdx帅-抓 R 2 中给出守恒量I ; 一 厂f (x , A ) - “ (一 ) 、 这里 一1. f n= e d s g f n+ E j t k = n - 1 f j f k ， 4 表示4
15、的共扼，Q f 1 ( x , A ) =一 扩 P 2 一 1 = 一 是 ， 则 有口= f ( - o o , A ) = ( 一 号 ) ， w， 4 一 ( 一 号 ) 1/ 2 W， 下面计算1 1 ， X4 12 =一 z W12 ， 几， 1 3 ， 几， 4 5 ， I s ，我们有; f 1 ( x , A ) f 1 ( - -, A ) f ( 二 ， 人 ) 九( 一 co， 人 ) =0 f ( x , f 3 ( 一 co， 、 、。 d 2 4. 。 14 ) =一4下 r o十1 4 1 口劣 - 的二 1 f 4 二 ， A ) 二 了 d q l d x j + 影 + 八一dxs - 3连续不变量及其离散通近量 人( 一 co， 人 ) = 0 几、lsel/ 几、IJ/ f 5 ( x , 人 ) = d 二，、 _ 二。 十 不一 L 引 q ) +2 1 引- a工dqTX + (4“)2 ( dx ) 2 + 2 14 12 ( q 黑 一q l4 ax - d 2 q 几( 一 o o , A ) = 介( x , A ) = q兰 d x d 4 d 2 二。、 _ d 一- d + 1 . . 7 t I g l q ) +z 了 ax - ax- ux( 一 2 d
