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1、第2篇 区间型不确定多属性决 策方法及应用 第4章 属性权重为实数且属性值为 区间数的多属性决策方法及应用 随着社会、经济的发展，人门所考虑问题的复条性 、 不确定性以及人类思维的模糊性在不断增强在实际决 决过程中，决策信息有时以区间数形式来表达。本章将 介绍区间型正理想点、区间型负理想点等概念区间数 之间比较的可能度公式以及可能度公式之间的关系，并 且分别介绍基于可能度、基于投影模型、逼近正理想点 的多属性决策方法本章对上述方法均进行了实例分析 第1节 基于可能度的多属性决策方法 一、区间数比较的可能度公式 记称 为 区间数，特别地，当时， 退化为一个实数 。 先给出区间数的运算法则。 设和
2、，且，则 设和，且，则 （1 ） 当且仅当 和 （2 ） （3 ） ，其中 ，特别地，若 ，则 定义4.1 当均为实数时，则称 当 时 当 时 当 时 （4.1） 为 的可能度。 定义4.2 当至少有一个为区间数时，且记 （4.2） 为 的可能度。 则称 设 ，则记 的次序关系为 例 设 ， ， 求 。 解 所以， 定义4.3 当至少有一个为区间数时，且记 （4.3） 为 的可能度。 则称 例 设 ， ， 求 。 解 所以， 定义4.4 当至少有一个为区间数时，且记 （4.4） 为 的可能度。 则称 例 设 ， ， 求 。 解 所以， 定义4.5 当至少有一个为区间数时，且记 （4.5） 为
3、的可能度。 则称 可以证明以上4个定义是等价的。 例 设 ， ， 求 。 解 所以， 根据上述3种定义，可以证明下列结论均成立。 定理4.1 设 ， ，则 （1） （2） 当且仅当 （3） 当且仅当 （4）（互补性 ） 特别地， （5） 当且仅当特别地， （6）（传递性）对于3 个区间数 若 当且仅当 且则 定义1.8 设摸糊判断矩阵 ，若有 则称矩阵B是模糊互补判断矩阵 例 为模糊互补判断矩阵。 定理2.2 设模糊互补判断矩阵 对矩阵B 按行求和得 则可依据 的序关系对区间 进行排序。 例 比较下列5个区间大小 解：由可能度矩阵 对于矩阵P按行求和： 由 得到 第3节 决策方法 步骤1 对于
4、某一多属性决策问题，属性的权重完全确 知(即为实数)。对于方案 ，按属性 进行测度，得到 关于 的属性值 ( 这里 )从而构成 决策矩阵 最常见的属性类型为效益型和成 本型设 分别表示效益型、成本型的下标集为 了消除不同物理量纲对决策结果的影响，可用下列公 式将决策矩阵 转化为规范化矩阵 ，其中 (4.9) (4.10) 例43 某地区盛产生皮为了开发该地区的制革工业， 考虑列生产资源的分布情况及其他与制革工业有关因 素(属性)，其中所考虑的属性有: 能源需求量 (100kwh/d)； 水的需求量(10万加仑天)； 废 水排放方式(十分制)； 工厂和设备成本(百万美元); 作业成本(百万美元/
5、年)； 有关地区的经济发展(十 分制); 研究开发机会(十分制)； 投资报酬(以1为 基数). 请标准化决策矩阵。 表4.5 决策矩阵 表4.5 决策矩阵 在上述属性中，能源需求量( )、水的需求量( )。工 厂和设备成本( )和作业成本为成本型外，其他均为效 益型 表4.5 决策矩阵 例如，对于属性7，标准化公式为 表4.5 决策矩阵 例如，对于属性7，标准化区间，如 表4.5 决策矩阵 例如，对于属性7，标准化公式为 将决策矩阵 转化为规范化决策矩阵 ，如表4.6所示 表4.6 规范化决策矩阵 步骤1 由(4.9)和(4.10)两式将决策矩阵 转化为规范化决 策矩阵 ，如表4.6所示 表4
6、.6 规范化决策矩阵 或者 (4.11) (4.12) 根据区间放的运算法则，把(4.11)和(4.12)两式写为 (4.13) (4.14) 步骤2 利用WAA算子对各方案 的属性值 进行集结求得其综合属性值 (4.15) 步骤3 利用区间数比较的可能度公式(4.2)，算出各方 案综合属性值 之间的可能度 并建立可能度矩阵 步骤4 利用公式 并按 大小对方案进行排序，即得最优 方案。 第4节 实例分析 例4.1 考虑一个大学的学院评估问题，选择教学 ， 科研 和服务 这3个属性作为评估指标设有5个学院 (方案) 将被评估，并假定属性的权重向 量为 决策者以区间数这种不确定形 式给出了各方案的
7、属性值，其规范化决策矩阵如表4.1所 示 表4.1 规范化决策矩阵 利用公式 可求出学院 的综合属性值分别为区间数 为了对各方案进行排序，先利用(4.2)式求出 ， 两两比较的可能度矩阵 对于矩阵P按行求和： 若用符号 表示方案之间具有可能度的优序关系， 则相应的5个学院 的排序为 从而学院 综合评估结果最好。 由 得到 42 基于投影的多属性决策方法 第1节 决策方法 首先构造加权规范化决策矩阵 ，其中 且 定义4.6 称为区间型正理想点， 其中 (4.16) 定义4.7 设和 (4.17) 是两个向量，定义 定义4.8 设则称 为向量 的模。 众所周知，一个向量是由方向和模两部分所组成，
8、而向量之间的夹角余弦值仅能街量它们的方向是否一 致，而不能反映其模的大小必须把模的大小与夹角余 弦值结合起来考虑才能全面反映向量之间的接近度为 此定义投影的概念。 定义4.9 设和 是两个向量，定义 (4.18) 为 在 上的投影，一般地， 值越大表示向量 与 之间越接近。令 (4.19) 其中， 显然，值越大，表明方案越贴近区间型正 理想点 ， 因此，方案 越优。 依据上述定义，下面介绍一种基于投影的多属性决 策方法具体步骤下： 步骤1 对于某一多属性决策问题，属性的权重完全 确知决策者对所有方案按各属性进行测度，得到决策 矩阵 。并按(4.9)和(4.10)两式将 转化为规 范化矩阵 。
9、步骤2 利用属性权重向量 和规范化矩阵 ，构造 加权规范化决策矩阵 。 步骤3 利用（4.16）式确定区间型正理想点 。 步骤4 利用（4.19）式求出方案 在区间型正理想 点 上的投影 。 步骤5 根据 值对方案进行排序 或择优。 实例分析 例42 维修性设计是指在产品的研制过程中，要充 分考虑系统的总体结构、各部分的配置与连接，标准化和 模块化等因素，以便在产品发生故障时，用户能及时恢复 。 现拟对某雷达接收机3个维修性设计方案 进行选样考虑的指标(属性)有： 寿命周期费用(万 元)； 平均寿命(小时)； 平均维修时间； -可用 度； 综合性能决策矩阵 如表42所示已知属性 权重向量为 试
10、确定最佳方案。 表4.2 决策矩阵 在各项指标中，除寿命周期费用( )和平均维修时 间( )为成本型外其他均为效益型。 步骤1 由(4.9)和(4.10)两式将决策矩阵 转化为规范 化决策矩阵 ，如表4.3所示 表4.3 规范化决策矩阵 表4.3 规范化决策矩阵 步骤2 利用属性权重向量 以及规范化决策矩阵 构 造加权规范化决策矩阵 ，如表4.4所示 表4.4 加权规范化决策矩阵 步骤3 利用(4. 6) 式确定区间型正理想点 步骤4 利用(4.19)式求出方案 在区间型正理想点上的 投影 步骤5 根据 值对方案进行排序得 故最优方案为 。 4.3 逼近理想点的多属性决策方法 4.3.1 决策
11、方法 定义4.10 称 为区间型负理想点， 其中 （4.20) 下面介绍一种迢近理想点的多属性决策方法具体步 骤如下： 步骤1 对于某一多属性决策问题，属性的权重完全确 定 分别为决策炬阵及其规范化矩阵 步骤2 利用属性权重向量 和规范化矩阵 ，构造 加权规范化决策矩阵 . 步骤3 利用(4.16)和(4.20)两式确定区间型正、负理想 点 、 步骤4 计算每个方案分别到正理想点和负理想点的距离 ： (4.21) (4.22) 步骤5 计算每个方案对理坦点的贴近度 (4.23) 步骤6 按 值的大小对方案进行排序， 值 越大，则方案 越优。 4.3.2 实例分析 例43 某地区盛产生皮为了开发
12、该地区的制革工 业，考虑列生产资源的分布情况及其他与制革工业有关因 素(属性)，其中所考虑的属性有: 能源需求量 (100kwh/d)； 水的需求量(10万加仑天)； 废 水排放方式(十分制)； 工厂和设备成本(百万美元); 作业成本(百万美元/年)； 有关地区的经济发展(十 分制); 研究开发机会(十分制)； 投资报酬(以1为 基数).已知属性权重向量为 有关部门提出了5个备选方案，各方案在上述属性下的属 性值如表4.5所示。试确定最佳方案。 表4.5 决策矩阵 表4.5 决策矩阵 在上述属性中，能源需求量( )、水的需求量( )。工 厂和设备成本( )和作业成本为成本型外，其他均为效 益型
13、 步骤1 由(4.9)和(4.10)两式将决策矩阵 转化为规范化决 策矩阵 ，如表4.6所示 表4.6 规范化决策矩阵 表4.6 规范化决策矩阵 步骤2 利用属性权重向量 以及规范化决策矩阵 构 造加权规范化决策矩阵 ，如表4.7所示 表4.7 规范化决策矩阵 表4.7 规范化决策矩阵 步骤3 利用(4.16)菏(4.20) 式确定区间型正、负理想点 步骤4 计算每个方案分别到正理想点和负理想点的距离 步骤5 计箅每个方案对理想点的贴近度 步骤6 按 值的大小对方案进行排序得： 因此最佳方案为 。 第5章 属性权重完全未知且属性值为区间数 的多属性决策方法及应用 5.1 对方案无偏好的多属性决
14、策方法 5.1.1 公式和定义 对于某一多属性决策问题，其属性的权重向量 为 ，并满足单位化约束条件： (5.1) 且设决策矩阵为 ，这里 。 其相应的规范化矩阵为 。 为了能衡量两个区间数相似的程度相离度的概念 定义5.1 设区间数 ， ，如果 范数 称 为区间数 和 的相离度。 显然 越大，则 和 相离的程度越大特别地， 当 时，有 ，即 和 相等。 5.1.2 决策方法 对于某一多属陆决策问题一般需要求出各方案的综 合属性值由规范化矩阵 及属性权重向量， 利用WAA算子得到方案 的综合属性值 (由(4.15)式获得)。 当属性权重 及属性值都是确定的值时 。 由各方案综合属性值的大小可以确定万案的优劣；否则, 就不能直接由(4.15)式确定综合属性值。 下面将考虑属性权虽完全未知、属性值为区间数且 决策者对
