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1、结构分析有限元基础 （弹性力学与有限元） 武汉理工大学交通学院道桥系 1 Introduction 11 CONTENTS OF THEORY OF ELASTICITY 12 SOME IMPORTANT CONCEPTS IN THEORY OF ELASTICITY 13 BASIC ASSUMPTIONS 14 BASIC CONCEPTS OF FEM 例 1 简支梁受均布荷载作用 图示矩形截面简支梁，梁高为h，长为2 ， 受均布荷载作用，取板厚度为1，两端的支 反力为q ，体力不记，求应力函数及应力 分量。 x h 1 y h/2 h/2 o q q q 先看几个实例： Simpl
2、e beam under uniform load 例2 楔形体受重力和液体压力 x y g gy 图示楔形体，左 面铅直，右面与 铅直成角，下 端无限长，承受 重力和液体压力 ，楔形体密度为 ，液体密度为， 计算应力分量 Triangular gravity wall 例3 如何求平面内任一点M（x，y）的应力及 表面沉陷？ y x o ab x y M A B q d 求由集中力dP引起的应力 11 CONTENTS OF THEORY OF ELASTICITY 一、内容（CONTENTS） 弹性力学也称弹性理论(theory of elasticity)，是 固体力学(solid me
3、chanics)的一个重要分支。 基本任务是研究弹性体(elastic solid)由于受到外 因（荷载、温度变化、支座移动）作用而发生应力 (stress)、应变(strain)和位移(displacement)的规 律，为工程结构的设计提供理论基础。 11 CONTENTS OF THEORY OF ELASTICITY 四大力学的研究范围： 理论力学：刚体的平衡及其机械运动规律 材料力学：杆件在外因作用下的应力、应变和位移 结构力学：杆系结构在外因作用下的内力和位移 弹性力学：板、杆、块体及其所组成的结构在外因作 用下的应力、应变和位移。 二、与材料力学、结构力学的区别 1、研究问题的范
4、围不同 材料力学(mechanics of materials)：单个杆件的拉、压、剪 切及扭转时的应力、应变和位移。(杆状bar shape物体) 弹性力学(theory of elasticity )：研究的范围更广，如叶 轮、地基，堤坝、桥梁等实体。（非杆状物体） 2、研究问题的严密程度不同 对杆系结构，可以用材料力学、结构力学的方法，也 可以用弹性力学的方法研究。 Although bar-shaped elements are studied both in mechanics of materials and in theory of elasticity,the methods
5、of analysis used in the two subjects are not entirely the same. 材料力学：从静力学、几何学及物理学三个方面考虑 的同时，还引入构件变形状态或应力分布假定（平截 面假定），使得推导过程简单，计算结果近似。 In mechanics of materials some assumptions are usually made on the strain condition or the stress distribution.These often inevitably reduce the degree of accuracy of
6、 the results obtained. 弹性力学：从静力学、几何学及物理学三个方面考虑 无须引入构件变形状态或应力分布假定，研究方法更 加严密，结果更加精确。还可以用来校核材料力学计 算的结果。 In theory of elasticity,not need those assumptions,the rusults obtained are more accurate and may be used to check the approximate result obtained in mechanics materials. 平截面假定：直杆在变形以前的横截面，在变 形以后仍保持为
7、平面且与杆轴线垂直。 3、研究问题的能力不同 材料力学：解决不太复杂的问题 弹性力学：解决材料力学无法解决的问题，评估材料 力学用初等理论所得结果的可靠性和精确性 4、解决问题的方法不同 材料力学：截面法 弹性力学：分离体法 由分离体的平衡条件 平衡方程 由微单元的几何条件 几何方程 由广义虎克定律 物理方程 还考虑边界条件 取微小的分离体作为隔离体 归纳： 弹性力学问题 平衡微分方程 + 几何协调方程 + 物理方程 + 边界 条件或初始条件 12 SOME IMPORTANT CONCEPTS IN THEORY OF ELASTICITY 弹性力学中的几个基本概念 外力(external
8、force)、内力(internal force) 、应力(stress) 、变形(deformation) 、 应变(strain) 、位移(displacement) 一、外力： 表面力(surface force) 体积力(body force) 1、表面力： 分布力：风载、屋面荷载、水压力 集中力、接触力surface force 2、体积力：重力、惯性力 body force External force，or the loads，distributed over the surface of the body 。 分布在物体表面上的力 External force，or the l
9、oads，distributed over the volume of the body 。 分布在物体质量上的力 3、外力的表示方法： a 表面力（分布力） x lim S 0 y z o Y X Z S T FS：P点面力的集度 将F S沿坐标轴方向分解为：X、Y、Z 其正、负号规定：与坐标轴方向一致为正 量纲为：力/长度2 b 体积力（body force） 其正、负号规定：与坐标轴方向一致为正 量纲为：力/长度3 Ylim V 0 F：P点体积力的集度 其沿坐标轴方向的分量：X、Y、Z y z o X Z V Q x 二、内力（某点的内力internal force） 将其分解为沿截面
10、mn切线方向的剪应力（ shearing stress）和沿法线方向的正应力（ normal stress） S：截面mn上P点的总应力 （P点内力的集度），方向 为T 的极限方向 lim A 0 y z o A T x 剪应力(shearing stress) 正应力(normal stress) 量纲为：力/长度2 注意： 同一点，不同截面，应力不同 如何描述一点的应力状态（stress condition） ？ 应力不但与位置有关，还与截面方位有关 The stresses on different sections passing through the same point in a
11、 body are different。 z y o x Describe the stress condition at point P 过P点取微单元平行六面体 y z o x x xy xz x xy xz y yx yz y yx yz z zy zx z zy zx x xy xz x xy xz y yx yz y yx yz z zy zx z zy zx 应力xy （xy）的第一个角标表示作用面，第二个角标表示作用 方向。 1、应力表示法： 正应力 xx =x 、 yy =y、 zz =z 剪应力 xy、xz、yx、yz、zx、zy 2、正、负号规定 正面上，应力与坐标轴方向一
12、致为正 负面上，应力与坐标轴方向相反为正 x xy xz x xy xz y yx yz y yx yz z zy zx z zy zx y z o x 均为正值 3、 一点的应力表示： OKOK 三、应变：(某一点的应变strain） 正应变(normal strain)：单位长度的伸长量，用 表示。 y z o x P A B C PA的伸长量： x PB的伸长量： y PC的伸长量： z 剪应变(shearing strain) ：某平面上相邻边直角 的改变量（弧度），用表示 PA、PB间夹角的改变量： xy PA、PC间夹角的改变量： xz PB、PC间夹角的改变量： yz 一点的应变
13、表示 OKOK y z o x P A B C 四、位移（displacement）： （某一点的位置的改变） 沿x轴方向的位移：u 沿y轴方向的位移：v 沿z轴方向的位移：w 一般而言，弹性体内任一点处的面力分量、 体积力分量、应变分量、应力分量、位移分 量随位置而不同，是坐标的函数。 Generally speaking，all the components of body forces，surface forces， stresses，strains and displacements at a point vary with the position of the point cons
14、idered.Consequently they are function of coordinates in space. 3、物体各向同性假设：E、不随方向而变 化(the body is isotropic) 2、物体均匀性假设：E、不随坐标而变 化(the body is homogeneous) 1、物体连续性假设：应力、应变位移等 是坐标的连续函数(the body is continuous) 13 BASIC ASSUMPTIONS 5、物体小变形假设：研究平衡时，可以用 变形前的尺寸(the displacements and strains are small)，应变和位移
15、的二阶微量省略。 4、物体完全弹性假设：-外部因素去掉后， 物体完全回复原来的形状没有任何残余变形 应力、应变服从虎克定理(the body is perfectly elastic) 13 BASIC ASSUMPTIONS基本假定 6、物体内无初应力：应力是由外部因素产 生的。 本教材研究的是小变形线弹性力学 弹性力学涉及的都是偏微分方程，通解不易求得 。 一般采用逆解法先假定一个解答，再带入方程 ，根据边界条件求待定系数。 弹性力学有理论解的问题很少。一般采用近似解 。 一种是数学近似差分法；一种是物理上的近似 有限元法。 13 BASIC ASSUMPTIONS基本假定 14 BASI
16、C CONCEPTS OF FEM 有限 元基本概念 有限元的基本思想是将连续的求解区域离散 为一系列几何形状比较简单的子域（三角形 、四边形、四面体、六面体等）并且按一定 方式把单元相互联结在一起的单元的组合体 （物理的离散近似）。 以单元结点位移和结点力作为基本未知量。 位移法、力法、混合法。 14 BASIC CONCEPTS OF FEM 有限 元基本概念 有限元法的发展趋势： 1 线性向非线性有限元软件发展； 2 加强有限元的自适应性，减少人员干扰。 3 增强前后处理能力。 4 有限元优化发展。 14 BASIC CONCEPTS OF FEM 有限 元基本概念 目前有限元软件： 桥梁结构：GQJS(交通部科研所）；桥梁博 士（同
