《高中数学苏教版选修1-1学案：第3章4导数在实际生活中的应用word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学苏教版选修1-1学案：第3章4导数在实际生活中的应用word版含解析（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4导数在实际生活中的应用1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法.(重点)2.提高学生综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识.(难点)基础初探教材整理导数的实际应用阅读教材P93P96练习以上部分，完成下列问题.1.导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决.2.用导数解决实际生活问题的基本思路1.判断正误：(1)应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题.()(2)应用导数解决实际应用问题，首先应建立函数模型，写出函数关系式.()(3)应用导数解决实际问题需明确实际背景.()【解
2、析】(1).如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解.(2).求解实际问题一般要建立函数模型，然后利用函数的性质解决实际问题.(3).要根据实际问题的意义确定自变量的取值.【答案】(1)(2)(3)2.生产某种商品x单位的利润L(x)500x0.001x2，生产_单位这种商品时利润最大，最大利润是_.【解析】L(x)10.002x，令L(x)0，得x500，当x500时，最大利润为750.【答案】500750质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型面积容积的最值问题有一块半椭圆形钢板，其长半轴长
3、为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上.设CD2x，梯形的面积为S.(1)求面积S关于x的函数，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值.【精彩点拨】(1)建立适当的坐标系，按照椭圆方程和对称性求面积S关于x的函数式；(2)根据S的函数的等价函数求最大值.【自主解答】(1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系如图所示，则点C的坐标为(x，y).点C在椭圆上，点C满足方程1(y0)，则y2(0 x r)，S(2x2r)22(xr)(0 x r).(2)记S4(xr)2(r2x2)(0xr)则S8(xr)2(r2x)令S0，解得x
4、r或xr(舍去).当x变化时， S，S的变化情况如下表：xS0Sxr时，S取得最大值，即梯形面积S的最大值为.1.求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，利用导数的方法来求解.2.选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题.再练一题1.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积.【解】设容器底面一边长为x m，则另一边长为(x0.5)m，高为(3.22
5、x)m由解得0x1.6.设容器的容积为y m3，则yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x，所以y6x24.4x1.6.令y0，则15x211x40，解得x11，x2(舍去).在定义域(0,1.6)内只有x1处使y0，x1是函数y2x32.2x21.6x在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点. 因此，当x1时，y取得最大值，ymax22.21.61.8，这时高为3.2211.2(m).故高为1.2 m时，容器的容积最大，最大容积为1.8 m3.用料最省、节能减耗问题(2016杭州高二检测)如图341所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海岸
6、的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？ 图341【精彩点拨】先列出自变量，通过三角知识列出水管费用的函数，然后求导，根据单调性求出最小值.【自主解答】设C点距D点x km，则BD40 km，AC(50x)km，BC(km).又设总的水管费用为y元，依题意， 得y3a(50x) 5a(0x50)，则y3a，令y0，解得x30.当x0,30)时，y0，当x(30,50时，y0, 当x30时函数取得最小值，此时AC50x20(km
7、)，即供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.1.像本例节能减耗问题，背景新颖，信息较多，应准确把握信息，正确理清关系，才能恰当建立函数模型.2.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)后，函数满足左减右增，此时惟一的极小值就是所求函数的最小值.再练一题2.某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长为_，宽为_. 【导学号：24830090】【解析】如图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为 m
8、， 因此新墙总长度L2x(x0)，L2.令L20，得x16或x16.x0，x16.L在(0，)上只有一个极值点，它必是最小值点.x16，32.故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省.【答案】16 m32 m探究共研型利润最大问题探究1在有关利润最大问题中，经常涉及“成本、单价、销售量”等词语，你能解释它们的含义吗？【提示】成本是指企业进行生产经营所耗费的货币计量，一般包括固定成本(如建设厂房、购买机器等一次性投入)和可变成本(如生产过程中购买原料、燃料和工人工资等费用)，单价是指单位商品的价格，销售量是指所销售商品的数量.探究2什么是销售额(销售收入)？什么是利润？【
9、提示】销售额单价销售量，利润销售额成本.探究3根据我们以前所掌握的解决实际应用问题的思路，你认为解决利润最大问题的基本思路是什么？【提示】在解决利润最大问题时，其基本思路如图所示.图(2016滨州高二检测)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2.其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售商品所获得的利润最大.【精彩点拨】利用待定系数法先求得参数a的值，由题意列出利润关于价格的函数关系式，转化为求
10、函数在(3,6)上的最大值问题.【自主解答】(1)因为x5时，y11，所以1011，解得a2.(2)由(1)可知，该商品每日销售量y10(x6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.解决最优
11、化问题的一般步骤：(1)根据各个量之间的关系列出数学模型；(2)对函数求导，并求出导函数的零点，确定函数极值；(3)比较区间端点处函数值和极值之间的大小，得到最优解.再练一题3.某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2t5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25x40)，根据市场调查，日销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤.(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；(2)若t5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值.【解】(1)设日销量q，则10
12、0，k100e30，日销量q，y(25x40).(2)当t5时，y，y.由y0，得25x26，由y0，得26x40，y在25,26)上单调递增，在(26,40上单调递减，当x26时，ymax100e4.故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e4元.构建体系1.一个圆锥形漏斗的母线长为20，高为h，则体积V的表达式为_.【解析】设圆锥的高为h，则圆锥的底面半径为r，则V(400h2)h. 【答案】(400h2)h2.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y117x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千
13、台.【解析】构造利润函数yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，由y0是x6(x0舍去)，x6是函数y在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点.即生产6千台时，利润最大.【答案】63.(2016盐城高二检测)某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为_.【导学号：24830091】【解析】V(x)2xx2x260xx(x40).令V(x)0，得x40或x0(舍).不难确定x40时，V(x)有最大值.即当底面边长为40时，箱子容积最大.【答案】404.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_.【解析】设圆柱的底面半径为R，
