第二章 导数与微分习题课 一、导数与微分的基本概念 1．导数定义: 2．导数的几何意义: 为曲线 在点 的切线斜率 3. 在 处可导的充分必要条件： 在 处可导 且 与 都存在， 二、极限、连续、可导与可微的关系 4. 在 处的可微定义： 三、求导法则 1．四则运算求导法则 2．反函数求导法则 （1） （2） （3） 函数 在对应的 内也可导，且 或 设 在 区间内单调、可导且 ，则其反 3．复合函数求导法则 4．隐函数求导法则 求导过程中牢记 是 的函数 ，方程中含有 的 项应用复合函数求导法求导然后由求导后的方程解出 5．参数方程求导 参数方程 确定可导函数 ，则 设 及 都是可导函数，则复合函数 也是可导函数且 由方程 确定了 ，方程两端对 求导，在 四、高阶导数定义及求导 若函数 的导函数 仍然是可导函数，则将 的 导函数叫做函数 的二阶导数。
记作 依此类推，函数 的导函数叫做 的 阶导数 记 五、典型例题 分析 计算分段函数分界点处的导数，要根据定义看是否有 解： 左导数和右导数，并且还要看左右导数是否相等 【例1】设 ，问 是否存在？ 【例2】设 ，求 及 及求导法则求出，故求 应选用“先求 ，后求 因而应用导数定义求 解： 当 时， 当 时， 和 处函数值”的方法而 是分段函数的分段点， 分析 当 时， 是可导函数，且 可利用求导公式 【例3】设 ，已知 在 处可导， 试确定 的值 为未知量的方程由已知条件 在分段点 处可导， 得一个方程 ；又由函数在一点可导必要条件: 在 处连续，得第二个方程 解此联立方程组，可求出 分析 此题要求两个待定常数通常需要寻找两个只以 解：因为 在 处可导，所以 在 处连续； 即 【例 4】已知 ，求 。
解： 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 综上， 所以 【例5】设 ，求 解： 解： 【例6】设 ，求 解： 【例7】求星形线 在 处的导数 故 解：方程两边对 求导得 【例8】设 是由方程 所确定， 求 将 代入上方程，得 （1） 将 代入原方程，得 （2） 将（2）代入（1）中得 【例9】求函数 的微分 解： 所以 分析 因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法 解：应用对数求导法函数两边取对数得 所以 方程两边对 求导得 【例10】设 ，求 【例11】设 ，求 方程两边对 求导得 分析 是由三个或三个以上的有限个函数的乘、除、开方、 乘方形成的，应用对数求导法。
解：函数两边取对数得方程 所以 【例12】设设曲线线方程 , 求此曲线上纵坐标 处的切线方程. 所以切点坐标为标为 则则所求切线线方程为为 解：先求切点坐标. 将 代入曲线方程得 将 代入上式, 得 再求曲线线在切点处处的切线线斜率.方程两端对对 求导导，得 【例13】 已知 , 设 存在且不为零, 求 解： 因为 所以 【14】 求 的 阶导数. 解： … 。