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1、应 变状态理论 董兴建(donxij ) 机械学院A楼832室 振动、冲击与噪声研究所 参考文献 1. 吴家龙. 弹性力学. 北京：高等教育出版社 2009 第3章 ftp:/ 端口号 21 用户名 donxij 密码 public 1. 位移分量和应变分量 2. 相对位移张量 3. 转轴时应变分量的变换 4. 主应变 应变张量不变量 5. 应变协调方程 应变状态理论应变状态理论 参考文献 1. 吴家龙. 弹性力学. 北京：高等教育出版社 2009 第3章 2. 钱伟长. 弹性力学.北京：科学出版社 1980 第2章 位移和应变引言 变形的拉格朗日描述 变形的欧拉描述 简单说来：拉格朗日描述采
2、用变形前的坐标作为自变量； 欧拉描述采用变形后的坐标作为自变量。 固体力学中，多用拉格朗日描述；流体力学中，多用欧拉描述。 观察者位于空间的一个固定点，观察流过你所在的体积单元。 位移和应变引言 Chapter 4.1 单轴应变 x dx x AB AB u(x) u(x+dx) F Chapter 4.1 单轴应变 微元的长度变化： Taylor 级数展开： 位移和应变引言 Chapter 4.1 单轴应变 略去高阶项： 单轴应变（工程应变）定义为： 位移和应变引言 1 位移分量和应变分量 由于荷载的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置 将发生变化，就会产生位移。 一、位移 第一种位移
3、是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始 状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起 的，因此称为刚体位移。 第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的 绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体 形状变化引起的位移，称为变形位移。 两种位移： 1 位移分量和应变分量 M（x，y，z）移动至M（x，y，z） u = x- x = u（x，y，z） v = y- y = v（x，y，z） w = z- z = w（x，y，z） 为后面运算需要，假设位移函数具有三阶连续导数 x z y 点的位移为MM 在数学上，x，y，z 必为x，y，z 的单值连续函数 1
4、 位移分量和应变分量 二、应变 如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则物 体发生了变形。这种变形一方面表现在微线段长度的 变化，称为正应变；一方面表现在微线段间夹角的变 化，称为切应变。 对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。 伸长为正，缩短为负 定义为直角的改变，直角变小为正，直角变大为负。 1 位移分量和应变分量 m a b 变形前坐标 变形后： m点的坐标为 a 点的坐标为 b 点的坐标为 变形量 1 位移分量和应变分量 同理 上式为正应变的几何方程 1 位移分量和应变分量 同理： 1 位移分量和应变分量 同理可得： 这六式为几何方程（柯西方程） 这样，平面上一点的变形我们用
5、 该点x方向上的正应变、y方向上 的正应变和xy方向构成的直角的 变化来描述，称为应变分量，也 就是所说的几何方程。 从几何方程可见，当物体的位移 分量完全确定时，形变分量即完 全确定。 思考题：当形变分量完全确定时，位移分量是否能完全确定。 1 位移分量和应变分量 空间一点的变形我 们用该点x、y、z 方向上的正应变和 xy、yz、zx方向构 成的直角的变化 切应变来描述。 张量形式为 1 位移分量和应变分量 空间的应变分量共九个分量，是 一个对称张量，和应力张量一样 ，它们遵从坐标变换规则，同样 存在着三个互相垂直的主方向， 对应的主应变值是该张量的特征 值。这些互相垂直的主方向构成 的直
6、角在该应变张量的变形时， 角度不变，由主平面组成的单元 体，由正方体变为直角长方体。 在主方向构成的坐标系中，张量 分量构成对角阵，切应变分量为 零。 1 位移分量和应变分量 2 相对位移张量 转动分量 形变协调方程 形变协调方程 协调方程 数学意义 ij=ji，6个独立分量 ij=-ji，3个独立分量 反之,9个形变不能唯一确定3个位移,需6个限制条件 力学意义变形连续 变形后不开裂、不重叠 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束 3个位移 9个独立分量,或ui,j 例1 设ex =3x,ey =2y, gxy =xy,ez =gxz =gyz =0,求位移。 解： 显然该应变分
7、量没有对应的位移。 要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的 条件。以下我们将着手建立这一条件。 要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量 必须满足一定的条件 l基本方法: 对形变求二阶偏导,利用位移三阶导数之间的联系,使线形变与 角形变之间、角形变与转动分量之间产生约束， 利用可积分条件(形变求位移的单值条件)推得协调方程 l从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x 求二阶偏导数，然后相加可得 对x求一阶偏导数，则 u将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数 u前后两式相加并减去中间一式，则: 应变协调方程 圣维南Saint Venant方程 分
8、别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式： 变形协调方程的数学意义 使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。 变形协调方程的物理意义 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满 足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连 续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一 定的关系。 证明协调方程是变形连续的必要和充分条件。 变形连续的物理意义，反映在数学上要求位移分量单值连续。 目标如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域， 就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。 利用位移和转动分量的全微分，则： 轮换x , y, z，可得dw，dv和dwy，dwz 如通过积分，计算出 是单值连续的，则问题可证。 保证单值连续的条 件是积分与积分路 径无关 根据格林公式 回代到第四式 wx单值连续的必要与充分条件是: 同理讨论wy，wz的单值连续条件，可得其它4式变 形协调方程。 由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必 要和充分条件。
