一次函数一课时变量与函数

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1、 音乐能激发或托慰情怀，绘画能使人 赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学能获 得智慧，科技可以改善生活，但数学却 能提供以上的一切. 康托尔 大千世界处在不停的运动变化之 中,如何来研究这些运动变化并寻找 规律呢? 数学上常用变量与函数来刻 画各种运动变化. (1) 你坐过 摩天轮吗？ 你坐在摩天 轮上时,随着 时间t的变化 ,你离开地面 的高度h是如 何变化的？ 先看什么叫变量 ? O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 h（米） t（分 ） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 h（米） t（分 ） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2、 11 12 3 11 37 h（米） t（分 ） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 37 45 h（米） t（分 ） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 37 45 h（米） t（分 ） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 37 45 h（米） t（分 ） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 37 45 h（米） t（分 ） 下图反映了旋转时间t（分）与摩天轮上 一点的高度h（米）之间的关系。 t/分 012345 h/米 31137 453711 根据 上图 填

3、表 汽车车行驶驶的路程会随着行驶驶时间时间 的变变化而变变 化 一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶， 行使的路程S(千米)与行驶的时间t(时) 之间有怎样的关系? S = 60t t（时间 ） 1 2 3 4 5 6 s（路程 ） 60 120 180 240300 360 在一个变化过程中，我们称数值发生 变化的量为变量（variable）.数值 始终不变的量为常量。 刻画汽车运动变化的量是路程刻画汽车运动变化的量是路程 S S 和和 时间时间 t t , ,路程路程 S S 随着时间随着时间 t t 的变化而变化的变化而变化 , ,它们都会取不同的数值它们都会取不同的数值 以上各个问题问

4、题 中都出现现了可以取 不同数值值的量. 刻画刻画摩天轮转动过程的量是时间转动过程的量是时间 t t 和高度和高度 h h , ,高度高度 h h 随着时间随着时间 t t 的变化而的变化而 变化变化, ,它们都会取不同的数值它们都会取不同的数值 3、一辆汽车以40千米/小时的速度行驶， 写出行驶路程s(千米)与行驶时间t(时) 的关系式。 4、一辆汽车要行驶50千米的路程，写出行 驶速度v(千米/小时)与行驶时间t（小时) 之间的关系式 S = 40t 时间 t 小时 速度 40千米/时 路程 S 千米 V= t 50 变量 变量 常量 时间 t 小时 路程50千米 速度V千米/时 变量 变

5、量 常量 例1 写出下列各问题中所满足的 关系式，并指出各个关系式中， 哪些量是变量，哪些量是常量？ 用总长为60m的篱笆围成矩形 场地，求矩形的面积S（m2） 与一边长x(m)之间的关系式； 购买单价是0.4元的铅笔，总 金额y（元）与购买的铅笔的 数量n(支)的关系； 运动员在4000m一圈的跑道上 训练，他跑一圈所用的时间 t(s)与跑步的速度v(m/s)的关 系； 银行规定：五年期存款的年利 率为2.79%,则某人存入x元本 金与所得的本息和y（元）之 间的关系。 练习：1.分别指出下列各式中的 常量与变量. (1) 圆的面积公式S=r2; (2) 正方形的l=4a; (3) 大米的单

6、价为2.50元/千 克，则购买的大米的数量 x(kg)与金额与金额y的关系为 y=2.5x. 2.写出下列问题的关系式，并 指出常量和变量. （1）某种活期储蓄的月利率为 0.16%,存入10000元本金，按国 家规定，取款时，应缴纳利息部 分的20%的利息税，求这种活期 储蓄扣除利息税后实得的本息和 y(元)与所存月数x之间的关系式 . 2.写出下列问题的关系式，并指 出常量和变量. （2）如图，每个图中是由若干个 盆花组成的图案，每条边（包括两 个顶点）有n盆花，每个图案的花 盆总数是S，求S与n之间的关系式. 问题 如何用s的式子表示r的关系式： 。 计算： S=10 时，r= cm S

7、=20 时，r= cm 当 _确定一个值时，_随之就确定一个值。 sr 由S=r2 即r 随_的变化而变化. S S = 60tS = 60t 在这个关系式中，S 随_的变化而 变化. t y = 10xy = 10x _ 随_的变化而变化. x x y y _ 随_的变化而变化. L=10+0.5m Lm _ 随_的变化而变化. x x S S S = 60t y = 10x L=10+0.5x 2 S= x(10-2x) 1 2 两个变量互相联系,当其中一个变 量确定一个值时,另一个变量也随之 确定（ ）个值。 1每个变化的过程中都存在着（ ）个 变量. 两 一 函数的概念： 如果当x=a

8、时y=b，那么b叫做当 自变量的值为a时的函数值。 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y, 并且对于x的每一个确定的值，y都有 唯 一确定的值与其对应， 那么我们就说x是自变 量 ， y是x的函数 。 时间 t(时) 810246121416182022240 温度 T(C) 2 4 6 8 -2 -4 0 问题问题1 1 下图是下图是某地一天的气温变化图某地一天的气温变化图, ,看图回答：看图回答： 在以上变化过程中存在着两个 变量t和T,对于时间t每取一个值, 温度T都有唯一的值与之对应. 我们就说t是自变量,T是因变量 .也称T是t的函数. 问题问题2 2 下表是2006年8月中国工商

9、银行 为“整存整取”的存款方式规定的年 利率： 在以上变化过程中存在着两个变量x和y, 对于x每取一个值, y都有唯一的值与之对应 . 我们就说x是自变量, y是因变量. 也称y是x的函数. 存期x 三月 六月 一年 二年 三年 五年 利率 y() 1.80 2.25 2.52 3.06 3.69 4.14 收音机上的刻度盘的波长和频率分别是 用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的 下面是一些对应的数： 发现发现 ： 与 f 的乘积积是一个定值值，即 f300 000， 或者说说f 在以上变化过程中存在着两个变量和f, 对于每取一个值,f都有唯一的值与之对应. 我们就说是自变量,f是因变量.

10、 也称f是的函数. 300000300000 波长长(m) 30050060010001500 频频率 f(kHz) 1000600500300200 问题4 圆的面积随着半径的增大而增 大如果用r表示圆的半径，S表示圆 的面积则S与r之间满足下列关系： S_ r 在以上变化过程中存在着两个变量 r和S,对于r每取一个值, S都有唯一 的值与之对应. 我们就说r是自变量, S是因变量. 也称S是r的函数. 在某一变化过程中,可取不同数值的量,叫做变量 . 上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依 赖,密切相关. 一般地,如果在一个变化过程中,有两 个变量,例如x和y, 对于x的每一个值,

11、y 都有唯一的值与之对应,我们就说x是自 变量, y是因变量, 此时也称y是x的函数 . 概 括 函数的本质就是唯一确定的对应关系. 研究事物的运动变化,实际是从研究因变量与自 变量的对应关系入手的. 因变量与自变量的对应关系又叫函数关系. 函数一语，起用于公元1692 年，最早见自德国数 学家莱布尼兹的著作。 他 是德国最重要的自然科学 家、数学家、物理学家、 历史学家和哲学家，一个 举世罕见的科学天才，和 牛顿同为微积分的创建人。 他博览群书，涉猎百科，对丰 富人类的科学知识宝库做出了 不可磨灭的贡献。 表示函数关系的方法通常有三种： (1) 解析法，问题4中的Sr,这些表达式称 为函数的

12、关系式其中用解析法表示关系时，还要 注意自变量的取值范围. (2) 列表法,如问题2中的利率表,问题3中的波长与频 率关系表 (3) 图象法,如问题问题 1中的气温曲线线. 在问题问题 的研究过过程中,还还有一种量,它的取值值始终终保 持不变变,我们们称之为为常量.如问题问题 3中的300 000,问题问题 4 中的等 . s60t；S= 解析法 图象法 列表法 2 函数的关系式是等式，那么函数 解析式的书写有没有要求呢？ 通常等式的右边是含有自变量的代数式， 左边的一个字母表示函数 如何书写函数关系式呢？ 1、n边形的内角和S与边数n的关系式_; 请同学们根据题意填写下表 边边数n 3456

13、 内角和s 1800 540036007200 2、等腰三角形的顶角为x度，那么底角y 的度数用含x的式子表示为 _. 请同学们根据题意填写下表 顶顶角x300400500600 底角y 750 700650600 求出下列函数中自变量的取值范围 （1）y=2x （2） 解: 自变量 x 的取值范围:x为任何实数 解: 由n-10得n1 自变量 n 的取值 范围: n1 （3） 解:由x+2 0得 x2 自变 量 n 的取值范围: x2 （4） 解:自变量的取值范围是: k1且k 1 一般地，在一个变化 过程中有两个量，例如 x 和 y.如果对于x的每一个 值 y 都有唯一值与之对应 ，我们说

14、x是自变量， y 是 x 的函数. 【对于函数的定义的理解】 在某个变化过程中有变量且应为 两个； 对于x的每一个值是指在 x 允 许的取值范围内取值； y要通过与x之间的关系求 得， 并且有唯一的值与x相对应; 取值的变量叫自变量，通过 一定的 关系随自变量变化而变化的变量叫自 变量的函数. 自变量与函数是可以互相转化的， 是相对的，但一般情况下约定y是函 数，x是自变量. 1、判断下列问题中的变量y是不是x的函数？ 是（1）在 y = 2x 中的y与x； （2）在 y = x 中的y与x； 2 是 （3）在 y = x 中的y与x； 2 不是 自我挑战 (4).在下面的我国人口统计表中，年

15、份 与人口数可以记作两个变量x与y，对 于表中每一个确定的年份（x），都对 应着一个确定的人口数(y)吗？ 年份人口数（亿） 198410.34 198911.06 199411.76 199912.52 是 (5)如图，是体检时的心电图，其中横坐 标x表示时间，纵坐标y表示心脏某部位 的生物电流，它们是两个变量，其中y是 x的函数吗？ y x 是 思考题： 填表并回答问题： （1）对于x的每一个值，y都有唯一的值 与之对应吗？答： 。 （2）y是x的函数吗？为什么？ x 14916 y=+2x 2和2 8和8 18和18 32和32 不是 答：不是，因为y的值不是唯一的。 3.写出下列各问题中的关系式,并 指出其中的常量与变量: (1)圆的周长C与半径r的关系式; (2)火车以90千米/时的速度行驶, 它驶过的路程s(千米)和所用时间t( 时)的关系式; (3)n边形的内角和S与边数n的关 系式. (1)购买单购买单 价为为每本10元的书书籍,付 款总总金额额 y(元),购买购买 本数x(本).问问: 变变量是_ ,常量_,_ 是自变变量, _是因变变量,_是 _的函数函数关系式为为_ (2)半径为为R的球, 体积为积为 V,则则V 与R的函数关系式为为