数学建模(五步法)讲述

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1、1.3、稳定性与稳健性 1.2、灵敏度分析 主讲：朱家明 Mathematical model of five step method 数 学 1.1、五步方法 化 最 优 数 学 建 模 讲 座 建 模 电话：18226682718 邮箱：zhujm1973 Date 2/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 1.1、五步方法 1、五步方法概要 2、五步方法详解 1.2、灵敏性分析 1、问题的提出 2、最佳售猪时间x关于 价格下降速率r的灵敏性 3、最佳售猪时间x关于 生长率g的灵敏性 4、灵敏性的相对改变量 1.3、稳定性与稳健性 1、关于稳键性 2、r, g不是常数时对模型 结果的影响

2、 1.4、小结 1.5、练习题 Date 3/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 1、五步方法概要 数学模型解决问题的一般过程分五步，称之 为五步方法。 定义： 五个步骤： 提出问题； 选择建模方法； 推导模型的数学表达式； 求解模型； 回答问题。 Date 4/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 2、五步方法详解 例1.1、一头猪重200磅，每天增重5磅， 饲养每天需花费45美分。猪的市场价格 为每磅65美分，但每天下降1%，求出售 猪的最佳时间。（1磅=0.454kg） 提出问题: 即如何用数学语言来表达问题。 列出问题涉及的变量，包括恰当的单位； 写出关于上述变量所做的假设，列出

3、已知的或 假设的这些变量之间的关系式(等式和不等式)； 用明确的数学语言写出问题的目标的表达式。 变量、单位、等式、不等式、假设和目标表达式 等构成完整的问题。 Date 5/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 例1.1中，全部的变量包括：猪的重量w(磅)， 从现在到出售猪期间经历的时间t(天), t天饲养猪的花费C(美元), 猪的市场价格 p(美元/磅),售出生猪所获得的收益R(美元), 我们最终获得的净收益P(美元)。 其他相关的参(非变)量:如猪的初始重量(200磅)等。 写出关于上述变量所做的假设，考虑到参量在模型 中的影响。猪的重量从初始的200磅按每天5磅增加有 这里把变量的单

4、位带进去,可以检查所列式子的意义. 该问题涉及到的其他假设包括: Date 6/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 售价 饲养成本 收益 利润 假设 t0 目标：求利润或净收益P的最大值。 为了便于参考，下面对第一步所得的结果进行了 如下的归纳（见下表） Date 7/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 变量：t =时间(天) w=猪的重量(磅) p=猪的价格(美元/磅) C=饲养t天的花费(美元) R=售出猪的收益(美元) P=净收益(美元) 假设：w=200+5t p=0.65-0.01t C=0.45t R=pw P=R-C t0 目标：求的最大值 注意：第一部分三个阶段(变量、

5、假设、目标)的确 定不需要按特定的顺序。 图1-1 售猪问题的 第一步的结果 Date 8/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 选择建模方法: 即如何用数学方法来获得解。 许多问题都可表成一个已有有效方法的标准形式 . 应用数学的多数研究，包含确定问题的一般类 别，并提出解决该类问题的有效方法。 在应用数学领域中有许多的文献，并且不断取 得许多新的进展。一般很少有学生对选择较好的 建模方法有经验或熟悉参考文献。 注意：下面除了极少例外，一般都给定所用的建模 方法。如例1.1可定位为单变量优化问题，或极大 极小化问题,建模方法为：设y=f(x)在xS处是可微 的，若f(x)在x处达到极大或极

6、小, 则f(x)=0。详细 可参阅微积分中导数应用部分的内容. Date 9/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 推导模型公式: 即要把第一步得到的问题应用于 第二步，写成所选建模方法需要的标准形式，以 于我们运用标准的算法过程求解。 如：例1.1把问题中的变量名改换一下，在算法上 就比较方便。 P=R-C = pw-0.45t =(0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t 记y=P作为求最大值的目标变量， x=t作为自变量， 我们的问题就化为在集合S=x:x0上求下面函数的 最大值： y=f(x) =(0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x. 这是我们最熟悉不过的求

7、一元函数极值问题。 Date 10/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 利用第二步中确定的标准过程求解这个模型。 如本例中即对y=f(x)=(0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x 在区间x0上求最大值。 如图可知y=f(x)关于x是 二次的曲线图，易得 f(x)=-0.1x+0.8 则在点x=8处f(x)=0. 由f在区间(-, 8)上单升, 而在区间(8,+)上单减. 故点x=8是整体最大值点. 且有f(8)=133.20,从而点(x,y)=(8,133.20)是f在整个实 轴上的整体最大值点,也是区间x0上的最大值点。 图1-2 售猪问题的净收益 f(x)关于时间x的曲线

8、图 0 5101520 126 128 130 132 134 x f(x) y=-0.05x2+0.8x+130 Date 11/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 回答问题：回答第一步提问“何时售猪可以达到 最大净收益. 由第四步我们得到的答案是在8天之后，可以获 得净收益133.20美元。只要第一步假设成立，这一结 果就是正确的。 相关的问题及其他不同的假设可以按照第一步 中的做法调整得到。由于我们处理的是一个实际问 题（一个农民决定何时出售他饲养的生猪），在第 一步中会有一个风险因素存在，因此通常有必要研 究一些不同的可能，这一过程称为灵敏性分析。我 们将在下一节进行讨论。 本节主

9、要介绍五步方法,下面将这一方法总结归 纳成如下图表, 以便以后参考. Date 12/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 第一步、提出问题. 列出问题涉及的变量，包括恰当的单位; 注意不要混淆了变量和常量; 列出你对变量所做的全部假设,包括等式和不等式; 检查单位从而保证你的假设有意义； 用准确的数学表达式给出问题的目标。 第二步、选择建模方法. 选择你问题的一个一般的求解方法； 一般地，这一步的成功需要经验、技巧的对相关文献有 一定的熟悉程度； 在本书中，我们通常会给定要用的建模方法。 第三步、推导模型的公式: 把第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模 方法需要的形式； 图1-3

10、五步方法图 Date 13/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 你可能需要将第一步中的一些变量名改成与第二步所用 的记号一致； 记下任何补充假设，这些假设是为了使在第一步中描述 的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做的。 第四步、求解模型. 将第二步中所选方法应用于第三步得到的表达式; 注意你的数学推导,检查是否有错误,答案是否有意义; 采用适当的技术, 计算机代数系统、图形、数值计算的 软件等都能扩大你解决问题的范围,并减少计算错误. 第五步、回答问题. 用非技术性的语言将第四步中的结果重新表述； 避免数学符号和术语; 能理解最初提出问题的人就应该能理解你给出的解答. 图1-3 五步方

11、法图（续） Date 14/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 1、问题的提出 灵敏性分析是数学建模的一个重要方面，具体内容 与所用的建模方法有关, 关于它的讨论贯穿本书,下面 仅对单变量优化问题进行灵敏性分析. 上用售猪说明五步法，图1-1列出了求解的所有假设 ，虽然数据和假设都有非常详细的说明，但还要再严 格检查，由于数据是由测量、观察有时甚至完全是猜 测得到的，故要考虑数据的不准确的可能性。 上概要介绍五步法, 从假设开始, 但难保证假设都正 确. 故要考虑结果对每一条假设的敏感程度即灵敏性. 可靠性高的数据:生猪现在的重量、猪现在的价格 、每天饲养的花费等易测量，确定性大； 可靠性

12、低的数据:猪的生长率g和价格的下降速率r. Date 15/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 2、最佳售猪时间x关于价格下降速率r的灵敏性 粗分析 前面我们假定r=0.01美元/天，现在假设r 的实际值是不同的，对几个不同的r值，重复前面 的求解过程, 我们会对问题的解关于r的敏感程度 有所了解. 即给定r对y=f(x)=(0.65- rx)(200+5x)-0.45x求导，令 f(x)=0，可得相应x值，下表1-1给出了选择几个不 同的r值求出x的计算结果。 表1-1 售猪问题中最佳售猪时间x关于价格的下降速率r的灵敏性 r (美元/天)x (天)r (美元/天)x (天) 0.008

13、 0.009 0.01 0.011 0.012 15.0 11.1 8.0 5.5 3.3 Date 16/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 将上表1-1中的数据绘制在如下图1-4中。 图1-4 售 猪问题中 最佳售猪 时间x关 于价格的 下降速率 r 的曲线 x(天) r(美元/天) 2 4 6 8 10 12 14 16 0.0080.0090.0100.0110.012 我们可以看到售猪的最优时间 x 对参数 r 是很敏感的. x对价格下降速率r灵敏性的系统分析 将r作为未知的参数,仍按前面的步骤求解(见下页): Date 17/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 出售价格:

14、p=0.65-rt ; 目标函数: y=f(x)=(0.65- rx)(200+5x)-0.45x = 130+2.8x-200rx-5rx2 ; 求导 f(x)=2.8- 200r-10rx; 使f(x)=0的点为 x=(7-500r)/25r . 若要x0,只要00.014 ,在0,+)上都有 f(x)0, 最佳售猪时间为x=0. 图 1-5给出了r =0.015的情况 . 图1-5 售猪问题的净收益f(x) 在r=0.015关于时间x的曲线图 0 5101520 90 100 110 120 130 x f(x) y=-0.075x2-0.2x+130 Date 18/25 数模方法之五

15、步法数模方法之五步法 3、最佳售猪时间x关于生长率g的灵敏性 前面我们假定g=5磅/天，一般地, 我们有如下步骤 出售重量: w=200+gt ; 目标函数: y=f(x)=(0.65- 0.01x)(200+gx)-0.45x =130+0.65gx-2.45x-0.01gx2; 求导 f(x)=0.65g- 2.45-0.02gx; 使f(x)=0的点为 x=5(13g-49)/2g. 若要x0, 最佳售猪时间 可由 x=5(13g-49)/2g 给出 , 图1-6 给出了最佳售猪 时间和生长率g之间的关 系. 图1-6 售猪问题中最佳售猪时间 关于生长率g的曲线图 34567 -10 -

16、5 0 5 10 g x x=5(13g-49)/2g 15 Date 19/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 4、灵敏性的相对改变量 意义: 相对改变量比绝对改变量更自然、更实用, 例如r的10%下降导致了x的39%的增加, g的10%下 降导致了x的34%的下降. x对r的灵敏性: 对售猪问题中, 由x=(7-500r)/25r 可得在点r=0.01. 即若r增加1%,则导致了x的3.5%下降.即r 对x的弹性 Date 20/25 数模方法之五步法数模方法之五步法 x对g的灵敏性: 对售猪问题中, 由x=5(13g-49)/2g可得在点g=5. 若g增加1%,则x上升3.0625%, 即多等侍约3%的时间. 即g 对x的弹性 注意: 灵敏性分析的成功应用要有