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1、1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.积分恒等式的证明 解法思路: （1）变量代换公式和分部积分公式 本身就是高度普遍性的积分等式，亦 可用来推出其它积分等式； （2）视为变限积分函数问题，转化 为导数的应用问题。 （3）用中值定理 17 18 19 6.积分不等式的证明 与积分等式的证明对应，解法思路: （1）通过定积分估值性质比较大小； （2）视为变限积分函数问题，转化为导 数的应用问题函数的单调性； （3）利用重要不等式，如柯西不等式： 20 21 22 7.积分中值问题 解法思路: 通常是积分中值定理、介值定 理和微分中值定理的联合使用。 2
2、3 24 定积分的应用 1. 定积分的应用 几何方面 : 面积、体积、 弧长、 表面积 . 物理方面 : 质量、作功、 侧压力、引力、 2. 基本方法 : 微元分析法 微元形状 : 条、段、 带、 片、扇、环、壳 等. 转动惯量 . 25 例1. 设非负函数 曲线与直线及坐标轴所围图形 (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 解: (1) 由方程得 面积为 2 , 体积最小 ? 即 故得 26 又 (2) 旋转体体积 又 为唯一极小点,因此时 V 取最小值 . 27 例2.（0702）设设D是位于曲线线 下方、x轴轴上方的无界区域 。 (I) 求区域 D 绕绕
3、 x 轴轴旋转转一周所成旋转转体的 体积积V(a); (II) 当a为为何值时值时 ，V(a)最小? 并求此最小值值. 28 29 解： (I) = = (II) 得 即 a = e （唯一的驻点） 30 故所求旋转体体积为 例3. 求由与所围区域绕 旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点 到直线的距离为 则 31 例4. 半径为 R , 密度为的球沉入深为H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密度 多少功 ? 解: 建立坐标系如图 . 则对应 上球的薄片提到水面上的微功为 提出水面后的微功为 现将其从水池中取出, 需做 微元体积 所受重力 上升高度 32 因此微功元
4、素为 球从水中提出所做的功为 “偶倍奇零” 33 例5. 设有半径为 R 的半球形容器如图. (1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为 为h (0 h R ) 时水面上升的速度 . (2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ? 解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. 则半圆方程为 设经过 t 秒容器内水深为h , 34 (1) 求 由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为 而高为 h 的球缺的体积为 半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成 体积元素: 故有 两边对 t 求导, 得 at (升) , 35 (2) 将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提 对应于 微元体积: 微元的重力 : 薄层所需的功元素 故所求功为 到池沿高度所需的功. 36 解 在端面建立坐标系如图 37 38
