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1、2.4 指数函数与对数函数 高考理数 ( 课标专用) 考点一 指数与指数函数 1.(2016课标,6,5分)已知a= ,b= ,c=2 ,则 ( ) A.b 3y;由 = = 0且x1),则f (x)= ,当x(0,1)(1,e)时, f (x)0,所以f(x)在(0,1),(1,e)单调递减,在(e, +)单调递增,又e1,01,00,abbc-1abac-1,即abcbac,B错; 易知y=logcx是减函数,0logcblogca,logbc0,又ab10,-alogbc-blogac0,alogbc0,函数f(x)=2|x|-1在(0,+)上为增函数, f(log25)f(log23)
2、f(0),即bac,故选C. 2.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a0,a1)的定义域和值域都是-1,0,则a+b= . 答案 - 解析 当a1时, f(x)在-1,0上单调递增,则 无解. 当00,得a=6. 考点二 对数与对数函数 1.(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo ,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.abc B.bac C.cba D.cab 答案 D 本题主要考查对数的大小比较. 由已知得c=log23,log23log2e1,b=ln 2ab,故选D. 方法总结 比较对数的大小 若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性
3、直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数 进行分类讨论;若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;若底 数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 2.(2014辽宁,3,5分)已知a= ,b=log2 ,c=lo ,则 ( ) A.abc B.acb C.cab D.cba 答案 C 由指数函数及对数函数的单调性易知0 ab. 3.(2014福建,4,5分)若函数y=logax(a0,且a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是 ( ) 答案 B 由题图可知y=logax的图象过点(3,1), loga3=1,即a=3. A项,y= 在R上为减函数,错误; B
4、项,y=x3符合; C项,y=(-x)3=-x3在R上为减函数,错误; D项,y=log3(-x)在(-,0)上为减函数,错误. 4.(2015湖南,5,5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是 ( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 答案 A 解法一:函数f(x)的定义域为(-1,1),任取x(-1,1), f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则f(x)是 奇函数.当x(0,1)时, f (x)= + = 0,f(x)在(0,1)上
5、是增函数.综上,选A. 解法二:同解法一知f(x)是奇函数. 当x(0,1)时, f(x)=ln =ln =ln . y= (x(0,1)是增函数,y=ln x也是增函数,f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A. 解法三:同解法一知f(x)是奇函数. 任取x1,x2(0,1),且x10,00,f(x)=log2 lo (2x)= log2xlog2(4x2)= log2x(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2= - - ,当且仅当x= 时,取“=”,故f(x)min=- . 7.(2015福建,14,4分)若函数f(x)= (a0,且a1)的值域是4,+),则实数a的取
6、值 范围是 . 答案 (1,2 解析 当x2时, f(x)=-x+6, f(x)在(-,2上为减函数,f(x)4,+).当x2时,若a(0,1),则f(x) =3+logax在(2,+)上为减函数, f(x)(-,3+loga2),显然不满足题意,a1,此时f(x)在(2,+)上 为增函数, f(x)(3+loga2,+),由题意可知(3+loga2,+) 4,+),则3+loga24,即loga21,1 ln ,p=r2|x |.当x(-1,1)时,|f(x)|2|x|,正确. 3.(2013课标,8,5分,0.678)设a=log36,b=log510,c=log714,则( ) A.cb
7、a B.bca C.acb D.abc 答案 D 由对数运算法则得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象得log32 log52log72,所以abc,故选D. 一题多解 由对数运算法则得a=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,log27log25log230, c.选D. 4.(2016浙江,12,6分)已知ab1.若logab+logba= ,ab=ba,则a= ,b= . 答案 4;2 解析 令logab=t,ab1,0a= ,c=ab1且a2)在区间(0,+)上具有不同的单调性,所以a2,所 以M=(a-1)0.21,
8、N= N,故选D. 4.(2017河南南阳、信阳等六市一模,5)已知a、b(0,1)(1,+),当x0时,10时,bx0时, 1. 1,ab.1a B.abc C.cba D.bac 答案 D a= ,b=lo ,c=log3 ,0c.故选D. 2.(2018广东肇庆二模,8)已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则 ( ) A.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是增函数B.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是增函数 C.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是减函数D.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是减函数 答案 D 由 得x(-10,10),故函数f(x)的定义域为(-
9、10,10),关于原点对称,又f(-x)=lg (10-x)+lg(10+x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,而f(x)=lg(10+x)+lg(10-x)=lg(100-x2),y=100-x2在(0,10) 上递减,y=lg x在(0,+)上递增,故函数f(x)在(0,10)上递减,故选D. 3.(2018河南商丘二模,8)已知a0且a1,函数f(x)=loga(x+ )在区间(-,+)上既是奇函 数又是增函数,则函数g(x)=loga|x|-b|的图象是 ( ) 答案 A 函数f(x)=loga(x+ )在区间(-,+)上是奇函数,f(0)=0,b=1,又函数f(x)= loga(x
10、+ )在区间(-,+)上是增函数,所以a1,所以g(x)=loga|x|-1|的定义域为x|x1, 且在(1,+)上递增,在(0,1)上递减,故选A. 4.(2018山东淄博模拟,10)已知函数f(x)=ex,g(x)=ln + ,对任意aR,存在b(0,+),使f(a)= g(b),则b-a的最小值为 ( ) A.2 -1 B.e2- C.2-ln 2 D.2+ln 2 答案 D 令y=ea,则a=ln y,令y=ln + ,可得b=2 ,令h(y)=b-a,则h(y)=2 -ln y,h(y)=2 - .显然,h(y)是增函数,观察可得当y= 时,h(y)=0,故h(y)有唯一零点.故当y
11、= 时,h(y)取得最小 值,为2 -ln =2+ln 2,故选D. 5.(2016河南焦作一模,6)若函数y=a|x|(a0,且a1)的值域为y|00,且a1)的值域为y|00且a1)的值域为R,x+ -4能取遍所有的正数, 又当x0时,x+ -42 -4,当x0且a1)在R上为减函数,故00且a1)在R上为减函数求得a的范围,结合所求函数的解析式, 再根据对数函数的图象特征得出结论. 方法点拨 要掌握函数的奇偶性和单调性,对数函数的图象特征以及图象平移的规律. 3.(2018广东汕头一模,10)函数f(x)=ln x+a的导数为f (x),若方程f (x)=f(x)的根x0小于1,则实数a
12、 的取值范围为 ( ) A.(1,+) B.(0,1) C.(1, ) D.(1, ) 答案 A 由函数f(x)=ln x+a可得f (x)= ,x0使f (x)=f(x)成立, =ln x0+a,又00,记a= ,b= ,c= ,则 ( ) A.am2x-2恒成立,求实数m的取值范围. 解析 (1)对于函数f(x)=1- (a0,a1),由f(0)=1- =0,得a=2. (2)由(1)知f(x)=1- =1- . 因为函数g(x)=(2x+1)f(x)+k=2x+1-2+k=2x-1+k有零点,所以函数y=2x的图象和直线y=1-k有交点, 1-k0,即km2x-2恒成立,即1- m2x-2恒成立,亦即m - 恒成立, 令t=2x,则t(1,2),且m + = ,m . 思路分析 (1)由f(0)=0求出a; (2)转化为2x-1+k=0有根,分离参数,转化为y=2x与y=1-k的图象有交点; (3)转化为m - ,换元,转化为最值问题.
