齿轮啮合原理-第九章综述

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1、啮啮合和接触的计计算机模拟拟 组员：樊毅啬 张永清 李 轩 彭昌琰 第九章 啮合和接触的计算机模拟 9.1 引言 9.2 局部接触综合 9.3 轮齿接触分析 9.4 两包络曲面曲线接触转换为点接触 9.5 边缘接触 9.1 引言 利用计算机技术对齿轮啮合过 程中的齿面接触情况及传动误 差进行分析,从而可在实际切齿 前对轮齿的啮合情况进行预控, 以减少试切时间。在进行TCA 的过程中,要表达大、小轮的齿 面方程,需要经过大量的坐标变 换及矩阵运算,同时还要求解相 当复杂的非线性方程组 齿轮和接触痕迹的计算机模拟 是一项能够显著改善齿轮工艺 和质量的重大成就 1 轮齿接触分析(Tooth Cont

2、act Analysis ,即TCA) 2 轮齿接触分析解决的基本课题 给定齿轮两齿面的方程以及两回转轴线之间的相错角和最短距离； 齿轮的两齿面处于点接触，需要确定： （i）传动误差 （ii）齿轮两齿面上的接触迹线 （iii）如同一组瞬时接触椭圆那样的接迹线 注：在确定接触迹线时，要考虑到由于齿面的弹性变形，它们的接 触将扩展为一椭圆区域，并且接触椭圆的中心是理论接触点 3 轮齿接触分析的主要构想和主要目标 TCA的主要构想基于相啮合的两齿面切触的模拟。确定瞬时接触椭 圆需要有关相切触的两齿面的主曲率和主方向的知识 TCA的主要目标是分析齿轮的啮合和切触。确定改善啮合和接触状 态的机床刀具安装

3、调整值是齿轮综合的主要课题 4 线接触两齿面接触分析计算 在对于初始为线接触得两齿面进行啮合和接触模拟的情况下，将出 现一些特殊的问题。如直齿外齿轮、平行轴螺旋齿齿轮和蜗轮蜗杆 传动。 齿轮两齿面的瞬时线接触仅仅在理论上对于无安装误差和制造误差 的理想齿轮传动时存在的。实际上，由于齿轮的安装误差，齿面的 线接触被点接触代替。在分析计算中，首先要确定转换点理论 接触线上的一个点，在该店开始实际的点接触。求出转换点以后， 就可能在转换点邻域内确定出位于点接触迹线上的点，然后开始齿 轮接触分析计算 9.2 局部接触综合 局部接触综合的构想是在Litvin 1968 的专著中提出的，后来在 Litvi

4、n和Gutman 1980的文章中用来研究准双曲面齿轮，又在 Litvin和Zhang1991（b）的专著中用来研究弧齿圆锥齿轮。 齿轮的局部接触综合必须保证： （i）在中央选取的接触点M具有所需要的传动比 （ii）所希望的齿面上接触迹线切线的方向 （iii）所希望的点M处接触椭圆长轴的长度 （iv）预先设定的最大传动误差控制等级的抛物线函数 这样的传动误差函数型式能使我们吸收有齿轮安装误差引起的传动 误差的线性函数，以及降低振动的等级 1 传动误差的概念和传动误差抛物线函数的预先设定 * 理想齿轮传动的传动函数是线性的， 并且表示为： 式中 是齿轮的齿数， 是齿轮的转角 由于有安装误差（相错

5、角改变，在非渐 开线齿轮的情况下最短中心距的改变， 弧齿锥齿轮、准双曲面齿轮和蜗轮蜗杆 的轴向位移），传动函数变为逐段近于 线性的函数，所具有的周期为一对齿啮 合循环的周期。由于循环连接处角速度 的跳动，加速度值趋近于无限大，这样 将引起很大的振动 * 预先设定的抛物线函数 和线性函数 的 相互影响问题 Litvin等证明了上述两函数之和是一抛物线函数，并且其斜率与初始抛物线 函数的斜率相同。这个新的传动误差抛物线函数相对初始给定的抛物线函 数仅有一些移动。这就是说，预先设定的传动误差抛物线函数能够吸收由 齿轮安装误差引起的传动误差线性函数。 2 局部接触综合的过程通过以下步骤步骤完成 （i）

6、确定导数 式中是瞬时传动比函数 （ii）确定接触迹线的切线 （iii）确定接触椭圆的长轴 应用于弧齿锥齿轮和准双曲齿轮的局部接触综合是根据这样的假定， 大齿轮的机床刀具安装调整值是已经给定的，并且大齿轮在中央接触 点处的主曲率和主方向也是已知的。局部接触综合方法能使我们确定 出小齿轮的机床刀具的安装调整值，这种安装调整值可以在中央接触 点M及其邻域内给出改善了的啮合和接触状态 *确定导数 将预先设定的传动函数表示为 这里， 和 是齿轮1和2的初始转角，它们保证两齿面在中央接触点M相 切触。利用到二次项的Taylor展开式，我们可以得到 式中 在中央接触点处等于N1/N2 ,而 是选取的定值。传

7、动函数 表示为线性函数和抛物线函数之和。线性函数是没有安装误差的齿轮传 动的理想函数。抛物线函数是传动误差函数。综合出的齿轮一定传递具 有抛物线型传动误差函数的回转运动，该函数用下式表示 假定啮合循环内所预期的传动误差的最大值是已知的，由上式可以确定 *确定接触迹线的切线 推导接触迹线的切线 矢量 ， 和 位于切平面，矢 量 和 位于接触迹线。假定 上的主曲率和主方向是已知的。 我们可以认为两接触迹线的切线 与单位矢量 构成夹角为 和 通过啮合方程的微分式和矢量关系 可以得到 *确定接触椭圆 接触椭圆的方向和大小 我们的目标是要建立小齿轮齿 面 的参数 ， 和 与瞬时 接触椭圆长轴长度的关系。

8、所 考察的这个椭圆在中央接触点 ，并且两接触曲面的弹性逼近 量是从试验数据得出的已知值 。基于六个步骤可以得到接触 椭圆的短轴2b表达式： 用于局部接触综合的计算步骤综述如下 ： 选取 ，从方程 确定 ； 从方程 和 确定 和 ； 从方程 确定A； 从方程 确定 ； 利用方程（9.2.19）（9.2.23），确定 、 和 ； 利用方程（9.2.26）（9.2.29），确定接触椭圆的方向及其短轴 9.3 轮齿接触分析 轮齿接触分析程序的用途是对接触痕迹限制在局部的两齿面的 啮合和接触进行模拟。这种接触痕迹形成每一瞬时的接触点。轮齿 接触分析主要目标：确定两齿面的接触迹线；由齿轮安装误差引起 的传

9、动误差；如同一组瞬时接触椭圆那样的接触痕迹。此时可认为 两齿面是已知的，两齿轮轴线的位置和方向是给定的，同时考虑安 装误差。 连续切触的条件 我们设置三个分别与齿轮1、齿轮2和机架刚性固定的坐标系 S1,S2和 附加的固定坐标 模拟安装误差。 假定配有齿面 的齿轮1绕着位于 中的固定轴线转动，这样在坐 标系 中形成齿轮的齿面族。这个齿面族可用以下矩阵方程确定： 齿面 的单位法线矢量在 中用矩阵方程表示为： 理想齿轮传动中两齿面的切触 配有齿面 的齿轮2绕着位于 中的另 一固定轴线转动。将安装误差都归于齿 轮2，并且 相对于 的位置和方向模 拟齿轮传动的安装误差。 两接触曲面连续切触需满足：两接

10、触曲 面的位置矢量和法线在任一瞬时都重合 。 方程表达如下： (9.3.7 ) (9.3.8 ) 2 啮合分析 方程（9.3.7）和（9.3.8）可以表示为： 从矢量方程（9.3.11）和（9.3.12）导出含六个未知数的五个独立 数量方程： 齿轮分析的目的是要从方程（9.3.13）中得到函数： (9.3.11) (9.3.12) (9.3.13) (9.3.14) 根据隐函数组存在的定理，如果下列条件正确： l函数 l方程（9.3.13）在点 是满足的； l右侧的雅可比行列式不等于零 可以证明函数（9.3.14）在一点的邻域内是存在的， (9.3.15) 函数(9.3.14)可以提供点接触齿

11、轮啮合状况的全部数据，函数 表示两齿 轮转角之间的关系（运动规律）。 函数 确定齿面 上的接触点迹线。 函数 确定齿面 上的接触点迹线。 齿面 上的接触点迹线是齿轮齿面的工作线。齿轮的齿面只在工作线 上的各点处接触配对齿面 齿轮两齿面的啮合线用以下函数表示： (9.3.19) (9.3.20) 在某些情况下，齿面不能直接用双参数形式而是用三参数形式表示 ，并且附加有用啮合方程给出的参数之间的关系式。例如蜗轮蜗杆传 动的某些类型的蜗轮齿面表示为： 式中 是齿面形成过程中的运动参数。这样所求解的非线性方程组 将包含具有七个未知数的六个独立方程 9.4 两包络曲面由线接触转换为点接触 无安装误差的理

12、想齿轮传动(线接触)有安装误差的齿轮传动(点接触) 1和2的一般的点接触将在点P邻域的点P*开始上图(b)，并且转换 点在齿面上的位移有唯一的方向。我们的目标是要确定点P在流动的理 论接触线L上的位置和从1上的转换点到接触点迹线的在齿面i上的 位移 转换循环和啮合方程 为了恢复齿面的接触，我们假定两齿轮之一，比方说主动齿轮1是静 止的，而从动齿轮2绕其轴线转过一补偿角 。当齿面接触恢复时，称这 个啮合循环为转换循环。在循环起点，1和2彼此在一条线接触；在循 环终点，1和2彼此在一个点接触。在转换循环以内，1和2彼此不 接触。 接触点沿1和2 的位移和与2一起运动的位移之间的关系式如下： 其中

13、是角度安装误差， 是位于 之间接触线L上点P的位置矢量， 是由线性安装误差引起的接触点位移 （9.4.4） 转换点在理论接触线上的位置 引入一个确定所考察的接触线上点P的位置所必需的附加方程： （9.4.5） 联立方程9.4.4和9.4.5，能够确定P在L上的位置，但是利用计算机程 序才可做到这一点。利用这样的程序，必须试验L上选作转换点候选者 的若干点，直至两个方程(9.4.4)和(9.4.5)得到满足。 知道了1上不同接触线的转换点位置以后，我们在1 可以得到作为 转换点集合的一条线。这条线可以认为是有安装误差齿轮传动的接触迹 线的近似映象。 接触迹线的位置和方向表示由齿轮传动的安装误差引

14、起的接触痕迹的 变动。确定由安装误差引起的接触迹线和齿轮传动误差的更准确的解可 以根据轮齿接触分析的结果得出。但是，为了开始执行轮齿接触分析的 程序，必须确定接触迹线上的至少一个点，图9.4.1中的点P*。 确定点P*(接触迹线的起始点) 利用下列步骤，确定与所求点P*相邻近的点K 第一步 考察曲面1上相邻邻的两条接触线线，且在固定坐标标系Sf中于每一条接触线线上 确定一个转换转换点(P、P(-1),对应对应位置矢量 和 第二步 从P(-1)到P沿1的位移矢量 第三步 从P到K的位移矢量 假定从P(-1)到P和从P到K的位移在相同(或 相反)方向上来完成。则则 第四步 从上述矢量方程导导出含红

15、红色方框所示的未知 数的具有三个线线性方程的方程组组。因为为位移 矢量位于在点P与1相切的平面内，所以 由上述式子能确定 和 ，最后得到对对于点P的比值值 第五步 曲面1和2在点P及其领领域内相切触。这样这样，下列方程在该该点及其 领领域内成立 假定 ，则未知数的解可求出 第六步 以上所讨论讨论的解可给给出点K的坐标标。点K非常接近所求点P*，知道了 点K的坐标标和齿齿面在点K的公法线线后，便可进进行便可开始进进行确定接 触迹线线的计计算步骤骤，这这些计计算步骤骤基于连续连续切触方程(9. 3. 11)和( 9. 3. 12 )。 所讨论的计算步骤将使我们能够求得点P*图9.4.1(b)，即

16、接触迹线的起始点。 起动在点P*的计算以后，便可确定齿轮 两齿面的接触迹线和齿轮传动的传动误差 9.5 边缘接触 边缘接触：考察曲线对曲面连续切触的条件，这些条件描述一个齿轮 齿面的边缘与另一齿轮齿面的接触。 小齿轮齿面与大齿轮齿面的切触在 中用下列方程表示： (9.5.1) （9.5.2 ） 这里 表示小齿轮齿面的边缘； 是边缘的切线。 其中： 和 是具有四个非线性方程的方程组； 是输入参数 。 出现边缘接触的情况： （1）两齿面初始处于线接触 （2）两齿面处于点接触 两齿面初始处于线接触的边缘接触 直齿外齿轮两齿面的边缘接触 具有边缘接触齿轮传动的接触迹线和传动误差 齿面初始处于线接 触且具有安装误差 的齿轮边缘接触， 可以应用改进的齿 面拓扑结构来避免 两齿面初始于点接触