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1、第五章 偏微分方程和特殊函数 . 5. 1 引言 52 偏微分方程的分类 53 典型方程的建立 54 定解条件和定解问题 55 线性迭加原理 56 分离变量法 57 非齐次边界条件的处理 5.1 引言 5.1.1 偏微分方程的定义 5.1.1.1 方程定义： 描述物理量在时、空域中变化规律的方程，若含有未知 函数的偏导数，则称之为偏微分方程。 5.1.1.2 方程的规定： （1）方程中出现的偏导数的最高阶数称为方程的阶数。 （2）若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线 性项称方程为线性的，反之统称成为非线性的。 在非线性方程中若仅对未知函数的所有最高阶偏导是 线性的拟线性的。 （3）不
2、含未知函数及其偏导数的项称之为自由项。自由项 为零的方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。 例如： 5.1.2 偏微分方程的定解问题 5.1.2.1 n阶线性常微分方程 对于n阶线性常微分方程 其中 线性无关； 任意常数 当存在n个边界条件可以来确定系数： 特解 的求解过程。 5.1.2.2 偏微分方程 在偏微分方程中特解是具有特定形式的任意函数。如方程： 的通解是 ,特解： 而 满足二维拉普拉 斯方程 满足一维热传导方程 由此可以得出两点结论： 偏微分方程的通解包含有任意函数，因此解偏微分方程， 一般都不是先解通解，后由定解条件确定特解，而是直接求 特解。 一个特定形式的偏微分方程可以描述许
3、多物理现象的共性 规律，可以有很多不同形式的特解。所以可称为“泛定方程 ”。 确定地描述某个系统的运动过程，除了反映运 动一般规律的偏微分方程（泛定方程）外，还必须 根据实际问题的模型提出定解条件。泛定方程加定 解条件构成一个确定的物理过程的“定解问题”， 由此求得特定的解。 定解条件包括初始条件（当方程含有时间变量 时）和边界条件（关于空间变量的约束条件）。 5.1.2.3 偏微分方程的求解方法 1、方程的建立 建模。 2、求解 （1）解析解： 分离变量法包括贝塞尔函数、勒让德 多项式（球柱坐标）； 拉普拉斯变换法等。 （2）数值解：尤拉法、龙格库塔法等。 5.2二阶偏微分方程分类. 限两个
4、自变量的二阶线性方程，未知函数u（x，y） 一般形式： F（x，y，u， ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0 (7- 4) 线性形式： Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0 （7-5 ） A，B，C，D，E，f，G是x，y的函数 当A，B，C，D，E，G是常数时，式（75）是二阶常系 数线性偏微分方程，ff（x，y）为已知函数是自由项。 由参数A，B，C判断二阶线性方程的分类 设M=M（x，y）为自变量域内的某一点，若在该点处有： （）B2AC0，则方程在该点处为双曲线型的，如： uxxuyy0 （76） （）B2AC0，则方程在该点处为抛物线型，如： utuxx
5、0 （77） （）B2AC0，则方程在该点处为椭圆型的，如： uxxuyy0 （78） 方程的类型在域内不一定是唯一的。如： xuxxyuyy2yuxxuy0 B2-AC0xy， xy0， M在二，四象限 双曲线型 xy0， M在一，三象限 椭圆型 xy0(x或y0)，M在两数轴 抛物线型 三类方程：（最典型的物理含义） 双曲线型： utta2（uxxuyyuzz） 波动方程 抛物线型： uta2（uxxuyyuzz） 热传导方程 椭圆型： uxxuyyuzz0 拉普拉斯方程 5.3典型方程的建立. 例题 例 半无限介质中线性热传导方程（本无界杆的热传导方程 ），端点温度恒定为T1，初始时刻温
6、度均为T0，求温度分布 解：定解问题 首先确定对哪个变量做拉氏变换，就本例题而言，对x 与 t 都可进行拉氏变换，但由于缺少u (0,t)，故选t作L变 设 即 对方程（1）两端作拉氏变换，有 （1）变换为 对（3）的边界条件做拉氏变换 （4）是关于x的二阶线性常微分方程 方程的通解为 因为 ， B0； 因为 ， 所以 代入（6）得 做逆变换 误差函数 余误差函数 用拉氏变换解偏微分方程的要点是： （1）首先确定对哪个自变量作拉氏变换。要求该自变量变化 范围（0，），而且根据拉氏变换的微分性质 该变量必需具备上式有关的初值条件。如若有两个自变量都满 足要求，那应取决于对哪个自变量求解过程最简单
7、为准。 （2）除对方程作拉氏变换外，还要对凡在方程变化中没有用 到的定解条件都要作拉氏变换，使其作为变换后新方程的定解 条件。 （3）最后得到定解问题的解的关键是对新方程之解作拉氏逆 变换。当象函数较复杂时，运用查表和拉氏变换一章介绍的几 种求逆变换方法也不得其解时，就只能运用拉氏变换的反演公 式，通常用复变函数的围道积分法求解。 54 定解条件和定解问题. 上节建立的数学物理方程是具有某类共性的物理现象的泛 定方程。在引言中我们也看到了，同一个泛定方程可以有多个 不同函数的解。因此对实际的物理现象特性的讨论还需对其特 定的“环境”和起始状态加以描述和限定定解条件，结合泛 定方程，便可确定定解
8、问题的特解。 5.4.1初始条件（初值条件） 对于随着时间而发生变化的问题，必须考虑研究对象的初始 时刻的状态，即初始条件。 凡泛定方程中只含t的一阶偏导数的只需要一个初始条件，u 的初始分布。 （5-37） 泛定方程中含有t的二阶偏导数的则需要两个初始条件，初始 分布和初始速度。 (5-38) 初始条件给出了整个系统的状态（t=0）。 稳态过程因与t无关，则不存在初始条件 5.4.2 边界条件 （1）第一边界条件已知函数 直接给出在边界上的值（s上的动点） （7-39） 如弦振动 ，长为 的弦两端固定，则边界条件为， （7-40） 又高h，半径r0的圆柱体的稳态导热问题 (7-41) 第一边
9、界条件称为Dirichlet（狄利克利）条件，问题称为 Dirichlet问题。 （2）第二类边界条件已知导数 一维热传导（杆的导热），设杆的一端xa绝热，则由外 到内经过杆端的热量流速为零 因K，S是常数，故 （7-42） 对于二维、三维应以边界的外法向导数表述 (7-43) 第二类边界条件称为Noumann（牛曼）条件，问题称为 Noumann问题。 （3）第三类边界条件混合边界条件 给出边界上函数值与其法向导数构成的线性关系。如 一维导热，杆端x=a处自由冷却，环境介质温度为u0 ，则 杆端散发出的热流效率与端点温度与介质温度之差成 正比。可改写 （7-44） 对于长为 的杆两端自由冷却
10、 （7-45） 第三类边界条件的一般形式 （7-46） 5.5 线性迭加原理. 在讲如何用分离变量法求解偏微分方程的定解问题前，先 介绍一下线性偏微分方程解的迭加原理。 所谓线性叠加就是几种不同因素综合作用于系统，产生的 效果等于各因素独立作用产生的效果的总和。 迭加原理： 设函数 是齐次线性偏 微分方程 的特解，若级数 可 逐项求偏微分，则该级数也是齐次线性偏微分方程 的解。 56 分离变量法. 对于多个自变量的偏微分方程定解问题的求解，在可能的 情况下，我们总设法使自变量的个数减少。分离变量法就 是基于这种想法产生的。 分离变量法也叫傅立叶方法，它利用变量分离形式的解法 ，将求解偏微分方程
11、的定解问题化为求解常微分方程的固 有值问题，再利用定解条件及有关数学方法，求得定解问 题的解。 分离变量法对定解条件尤其是边界条件的要求比较苛刻， 一般只涉及较为规则的边界问题。我们主要是通过各种例 题来介绍分离变量法的具体应用。 例有界弦的自由振动 解：弦长为两端张紧固定且无外力作用的弦振动问题，可用 下述定解问题表述 这是齐次方程，齐次边界条件的定解问题。 （1）分离变量 设其解函数可以表示为两个单自变量函数的乘积。令 u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)x的函数，T(t)t的函数 代入（7-52）得 分离变量改写为 不妨令其等于常数 得到两个常微分方程 （7-56） （7-57） 由
12、边界条件（7-53） （7-58） （2）求本征值（固有值） (i) 设0，则（5-56）的通解为 代入条件（5-58） 解得 A=-B=0，即 X(x) 0 ，不合题意舍去。（u 0 ） (ii) 设 0得， 由条件（5-58）得 A=B=0， X(x) 0 ， 不合题意舍去。 （iii）设0时，（6）的通解为 代入边界条件（7）得 不合题意，舍去； 当=0时，（6）的通解为 代入边界条件（7）得 不合题意，舍去； 当0，通解为 代入边界条件得： 即X(x) 0，不合题意。 （ii） =0，通解为 代入边界条件得 所以 （iii）设 0,取 ，通解 代入边界条件得： 所以 固有值 固有函数 （3）求 （i）当00 时 化为 得解 （ii）当 （4）确定 cn 及 u(x,t) ，由叠加原理
