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1、第二章 连续时间系统的时域分析 引言 LTI连续时间系统的分析：建立并求解线性微分方程 1时域分析法：在时间域内进行分析，即在分析过程 中所涉及的函数的变量都是时间t 特点：直观、物理概念清楚 e(t) +u (t) + C uc(t) + -uR (t) + i(t) 例 如图电路，若要求回路电流， 则由电路的基本定律，有 两边微分 ，得系统数学模型 此为一个二阶系统 *不同性质的系统可能具 有相同的数学模型。 1 第二章 连续时间系统的时域分析 古典解法：微分方程的解齐次方程的通解特解 齐次方程为 通解为： 自然响应（自由响应） 非齐次方程特解的形式由激励函数决定受迫响应 即（系统）全响应
2、自由响应受迫响应 此法适合于激励函数为直流，正弦或指数等简单 形式的情况，复杂函数激励时，可用叠加积分法或变 换域方法 全响应零输入响应零状态响应 只有起始状态只有外加激励 由系统自身 特性决定 由激励和系 统共同决定 2 第二章 连续时间系统的时域分析 2变换域分析法：为了便于求解微分方程而将时间变 量变换成其它变量如频率、复频率等-求零状态响应 用频域分析法 、复频域分析法等 零输入响应是自由响应的一部分；受迫响应是零状 态响应的一部分；自由响应中除了零输入响应之外的那 部分加上受迫响应就是零状态响应。 零输入响应的求解类似自由响应的求法；零状态响 应的求取在时域一般采用叠加积分法。 3
3、第二章 连续时间系统的时域分析 本章内容： 用算子表示微分方程 奇异信号（函数） 系统的零输入响应与零状态响应 卷积积分及其性质 LTI 连续时间系统的时域求解 4 第二章 连续时间系统的时域分析 （一）微分算子及其运算规则 引进算子 令微分算子 , 积分算子 于是 , 微分方程： 可写为： 或简化为： 一、用算子表示微分方程 5 第二章 连续时间系统的时域分析 讨论： 电容、电感的等效算子符号 对电感： 对电容： 感抗 容抗 引进p后，微分方程 代数方程，一般情况下 ，代数方程的运算规则也适用于算子方程，但有例外： 其一，对算子多项式可进行因式分解，但不能进 行公因子相消，如： 6 第二章
4、连续时间系统的时域分析 其二，算子的乘除顺序不可随意颠倒，即 因为 (二）转移算子 n阶线性微分方程为： 即 但对于算子方程 两边的算子符 号因子p不能消去。 7 第二章 连续时间系统的时域分析 则有 定义 转移算子 于是系统方程可写成： 令 求零输入响应时， 此时方程为齐次方程： 算子形式的微分方程与其拉普拉斯变换式形式相似！ 利用初始条件求解此方程即得零输入响应 8 第二章 连续时间系统的时域分析 A 0 t0 t 1 0 t (一）阶跃信号（函数） 1.单位阶跃信号（函数） 定义 2.延迟的阶跃信号（函数） 二、奇异信号（函数） 阶跃函数具有切除的作用！ 9 第二章 连续时间系统的时域分
5、析 1 1 20 t t 1 1 0 = + -1 3. 利用阶跃信号（函数）表示矩形脉冲 即 于是 若在一电容的两端施加一单位阶跃电压，则电容电流为： 10 第二章 连续时间系统的时域分析 矩形脉冲宽度为 ，高为 ，面积为 （1） 此极限情况即为单位冲激函数，记为 。 定义： 或定义: 在 时，函数值均为零，在 处函 数值为无限大，而脉冲面积为1。 即 （二）冲激信号（函数） 1. 单位冲激信号（函数） 11 第二章 连续时间系统的时域分析 2.冲激函数的性质 （1） 的抽样性质 延迟的单位冲激函数： d(t-t0） （1） 0 t0 t Ad(t） （A） 0 t 例 12 第二章 连续时
6、间系统的时域分析 注意：在积分区间（1，2）内，被积函数为0 (2) 单位冲激函数的积分是单位阶跃函数 (3) 单位阶跃函数的导数是单位冲激函数 13 第二章 连续时间系统的时域分析 (4) 单位冲激函数是偶函数 (5) 尺度变换 14 第二章 连续时间系统的时域分析 15 第二章 连续时间系统的时域分析 4.单位冲激函数的导数是单位冲激偶: 求导 如单位阶跃函数的积分是单位斜变函数： 1 1 0 1 0 3.奇异函数的若干次积分和若干次微分也都是奇异函数 16 第二章 连续时间系统的时域分析 此外，还可以定义 的 n 阶导数 17 第二章 连续时间系统的时域分析 18 定义： 则任意函数 可
7、近似表示为: 5.任意函数表示为冲激函数的积分 当 时， 于是: 18 第二章 连续时间系统的时域分析 任意波形的信号也可以近似表示为无穷多个阶跃信 号之和（分解过程略）： t 利用后面将要介绍的卷积性质，可以很方便地 证明这一结论。 19 第二章 连续时间系统的时域分析 三、 系统的零输入响应与零状态响应 （一）零输入响应与零状态响应的概念 解：（1）建立系统的数学模型： 即 （2）求系统的响应 例 如图 电路，电容两端有初始电 + R + + 压 ,激励为 , 求t0时系统的响应 。 - - - 两边乘以 20 第二章 连续时间系统的时域分析 两边求积分： 得 :只与电容两端的初始状态有关
8、，与输入激励无关 零输入响应（即当激励 时，系统的响应） ：与初始状态无关，只与激励有关 零状态响应（即当 时，系统的响应） 21 第二章 连续时间系统的时域分析 （二）冲激响应和阶跃响应 四、卷积积分及其性质 (一)卷积积分的定义 和 是具有相同变量 的两个函数，它们 相卷积后所成的变量为 , 、 和 满 足下列运算关系 ,这种运算 关系就称为卷积积分，并表示为： 系统在单位冲激信号 激励下产生的零状态 响应称为系统的冲激响应 。 系统在单位阶跃信号 激励下产生的零状态 响应称为系统的阶跃响应 。 LTI系统： 22 第二章 连续时间系统的时域分析 (二)卷积积分的物理意义 任意信号可表示为
9、冲激函数的积分: 线性时不变系统: 则 当激励为 时，系统的响应为： 结论：系统的零状态响应等于系统的激励与系统的单 位冲激响应的卷积积分！ LTI e(t)r(t)=? 当 时， 23 第二章 连续时间系统的时域分析 一个单位冲激响应是 的LTI系统对输入信 号 所产生的响应，与一个单位冲激响应是 的LTI系统对输入信号 所产生的响应相同。 （1）交换率: 从系统的观点解释： (三)卷积的性质 1.卷积的代数运算 h(t) e(t)r(t) e(t) h(t)r(t) 24 第二章 连续时间系统的时域分析 h1(t) h2(t) w(t) r(t) r(t) （2）结合率： 从系统的观点解释
10、： 两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激响应等 于LTI子系统单位冲激响应的卷积。 25 第二章 连续时间系统的时域分析 r(t) + r(t) （3）分配率： 两个LTI系统并联，其总的单位冲激响应等于各 子系统单位冲激响应之和。 从系统的观点解释： 26 第二章 连续时间系统的时域分析 结论：在级联中次序可以交换只是LTI系统的特性。 产生以上结论的前提条件： 系统必须是LTI系统； 所有涉及到的卷积运算必须收敛。 例如： 平方乘2 乘2 平方 若交换级联次序，即： 显然是不等价的。 27 第二章 连续时间系统的时域分析 2.卷积的积分与微分 卷积的微分: 若 则 卷积的积分: 若 则
11、可推得: 28 第二章 连续时间系统的时域分析 3.与冲激函数和阶跃函数的卷积 从系统的观点解释： 单位冲激响应等于(t)的系统是恒等系统。 (1)与（t）的卷积 (2)与u (t)的卷积 29 第二章 连续时间系统的时域分析 4.函数延时后的卷积 若 则 (四)卷积的求取 例1 函数x(t) 和h(t)的波形如下,求它们的 卷积 y(t) = x(t) * h(t) 2 x(t) 1 h(t) 0 1 2 t 0 1 2 3 t -1 30 第二章 连续时间系统的时域分析 解: 方法一用图示法 步骤如下: (1)将横坐标换成且反褶h (),得x()和 h(-) (2)将h(-)沿正轴平移时间
12、t,得h(t-),当参量t的值不同时, h(t -)的位置就不同 (3)将x()和 h(t-)相乘,然后积分,亦即求 x()h(t-)曲线下的 面积. x() h(-) -2 0 1 2 3 t=0 x() h(t-) -2 0 1 2 3 t 0t1 t1时 : x()h(t-) = 0 31 第二章 连续时间系统的时域分析 x() h(t-) -2 0 1 t 2 3 1t2 x() h(t-) -2 0 1 2 t 3 2t3 x() h(t-) -2 0 1 2 3 t 4 3t4 32 第二章 连续时间系统的时域分析 x() h(t-) -2 0 1 2 3 4 t 5 4t5 y(
13、t) 2 0 1 3 5 -2 x() h(t-) -2 0 1 2 3 4 5 t t 5 t5时 : x()h(t-) = 0 33 第二章 连续时间系统的时域分析 方法二利用卷积的性质 y(t) = x(t) * h(t) = dx(t)/dt * -t h(x)dx = 2(t-1)-2(t-3)*f (t) =2 (t-1)*f (t)-2(t-3)*f (t) =2f (t-1)-2f (t-3) x(t) h(t) dx(t)/dt -t h(x)dx=f (t) 0 1 3 t 0 1 2 t y(t) 2 0 1 3 5 -2 2f (t-1) -2f (t-3) 恰当地利用
14、卷积的性质可以简化卷积的计算！ 34 第二章 连续时间系统的时域分析 35 第二章 连续时间系统的时域分析 36 第二章 连续时间系统的时域分析 五、LTI 连续时间系统的时域求解 LTI 系统: 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应, r(t) = rZi(t) + rZS(t) 系统方程: D(p)r(t) = N(p)e(t) H(p) = N(p)/ D(p) 零输入(e(t)=0时)响应分量rZi(t)满足: D(p)rZi(t)= 0 若 D(p) = (p-l1)(p-l2)(p-ln) （n个单根） 则 rZi(t)= C1e l1t + C2e l2t+ Cne lnt = i=1n Cie lit 若 D(p) = (p-l1)(p-l2)(p-ln-k)(p-l)k （有一个k阶重根） 则 rZi(t)= C1e l1t + C2e l2t + + Cn-k e ln-k t + (Cn-k+1 + Cn-k+2t + + Cntk-1)elt 零状
