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1、第5章 数值积分 计算方法 第5章 数值积分 2 牛顿 柯特斯(NewtonCotes) 公式 3 复合求积公式 4 龙贝格(Romberg)积分方法 第5章 数值积分 计算方法 在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分 要求被积函数要求被积函数f f( (x x) ) 有解析表达式；有解析表达式； f f( (x x) )的原函数的原函数F F( (x x) )为初等函数为初等函数 Why do we do numerical integral? 为什么要数值积分？ 第5章 数值积分 计算方法 问题问题: : f(x)f(x)没有解析表达式，只有数表形式没有解析表达式，只有数表
2、形式 e.g. e.g. f(x)f(x)有表达式，但原函数不是初等函数有表达式，但原函数不是初等函数 e.g.e.g. ， ， 它们的原函数都不是初等函数它们的原函数都不是初等函数. . x12345 f(x)44.5688.5 第5章 数值积分 计算方法 数值积分思想： 用既简单又有足够精度的函数(x)代替f (x)： 取基点为等距，即 a=x0x1xn=b 2 牛顿 柯特斯(NewtonCotes) 公式 用插值值多项项式Pn (x)来代替被积积函数f (x)，即有 第5章 数值积分 计算方法 用左矩形近似地代替曲边梯形：右矩形公式： 第5章 数值积分 计算方法 梯形公式： 抛物线公式(
3、或辛普生公式)： 第5章 数值积分 计算方法 用一般插值函数的积分，作数值积分： 代数精度： 由Lagrange插值的误差表达式为： 可以看出，至少n阶代数精度 数值积分的误差表达式为： 第5章 数值积分 计算方法 取等距节点，对区间做等距分割，所做的数值积分称为Newton-Cotes积分 牛顿 柯特斯积分 可以预先求出 第5章 数值积分 计算方法 第5章 数值积分 计算方法 n=1时： 梯形公式 牛顿 柯特斯积分 第5章 数值积分 计算方法 n=2时： 抛物线公式 第5章 数值积分 计算方法 n=3时： 第5章 数值积分 计算方法 类似地可分别求出n=4,5,时的柯特斯系数,从而建 立相应
4、的求积公式。 第5章 数值积分 计算方法 例1 试分别用梯形公式和抛物线公式计算积分 解 利用梯形公式 利用抛物线公式 第5章 数值积分 计算方法 原积分的准确值 第5章 数值积分 计算方法 误差估计 牛顿柯特斯求积公式的余项为 牛顿柯特斯求积公式对任何不高于n次的多项式是 准确成立的。这是因为 f (n+1)()0 故 R n ( f )0 第5章 数值积分 计算方法 一般说来，若某个求积公式对于次数不高于n的多项式 都准确成立(即Rn(f )0),而对于某一次数为n+1的多项式并 不准确成立(即Rn(f )0),则称这一求积公式的代数精确度为 n。 牛顿 柯特斯求积公式的代数精确度至少为n
5、。 第5章 数值积分 计算方法 由于 2(x)=(x-a) (x-b) 证 梯形公式的余项为 定理1 设f (x)在区间a， b上具有连续的二阶导数, 则梯形求积公式的误差为 梯形公式的误差 第5章 数值积分 计算方法 在区间(a, b)内不变号，f()是x的函数且在a，b上 连续，故根据积分第二中值定理 有： 存在某一(a, b)使 第5章 数值积分 计算方法 定理2 设f(x)在a, b上有连续的四阶导数,则抛物线 公式的误差为 抛物线公式的误差 第5章 数值积分 计算方法 3 复合求积公式 f (x0) f (x1) f (x2)f (x n) f (x n-1) h f (a) f (
6、b) x f（x） x0x1x2x3xn-2xn-1x n 第5章 数值积分 计算方法 h=a+ih 复合梯形公式 a ,b， (b-a)/n , x i =, i= 0 , 1 , , n 区间上求f (x)的积分 介值定理 设函数y=f (x)在闭区间a, b上连续，则在这区间必有最大最小函数值： f (min)=A, f (max)=B,且AB 。那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在 开区间(a, b)内至少有一点，使得 f ()=C (a b)。 第5章 数值积分 计算方法 要求计算 例：复合梯形法求解积分 n=？ dxe x 1 0 12 f b f x 解： | 12 1 |
7、| )( )( | )(| 2 2 - = - = eh h a Rx 结果具有5位有效数字 第5章 数值积分 计算方法 由于原积分的准确值具有一位整数，因此要使近 似积分值有五位有效数字，只需取n满足 两边取对数得 整理后得到 n = 68 第5章 数值积分 计算方法 复合抛物线公式 x0 x1 x2x4x2n-2x2n-1x 2n f (x0) f (x2) f (x n) f (x n-1) h f (a) f (b) x f（x） f (x1) 第5章 数值积分 计算方法 把区间a，b分成n个相等的子区间x2i，x2i+2 (i=0,1,n-1),设每个子区间上的中点为x2i+1(i=
8、0,1,n-1),且 在子区间 x2i，x2i+2 上利用抛物线公式得： 第5章 数值积分 计算方法 各区间相加后得 第5章 数值积分 计算方法 例 根据给出的函数 的数据表，分别用复合梯 形公式和复合抛物线公式计算 ： 第5章 数值积分 计算方法 解 用复合梯形公式： 第5章 数值积分 计算方法 用复合抛物线公式： I 的准确值为0.9460831 第5章 数值积分 计算方法 习题 2，4.2 下次课内容：常微分方程的数值解法 请大家复习高等数学中相关知识 第5章 数值积分 计算方法 变步长公式 前面介绍的复合梯形公式和复合抛物线公式的步长都 是预先确定的。它的主要缺点是事先很难估计出n的大
9、小( 或步长h的大小),使结果达到预先给定的精度。在实际计算 中,我们常常借助于计算机来完成积分步长h的自动选择,即 采用变步长求积公式。具体地讲,就是将步长逐次折半,反复 利用复合求积公式,直到满足精度要求为止。 第5章 数值积分 计算方法 下面介绍变步长复合抛物线公式(变步长复合梯形 公式留给读者作为练习)。 逐次将区间a,b分成21,22,2m等分,并按复合抛 物线公式逐次计算积分得到S1,S2,Sm,而 (526) 其中 再把每个子区间分成两半,用 第5章 数值积分 计算方法 作步长,按复合抛物线公式计算出积分的近似值S2m 。对于相邻两次的积分近似值Sm、S2m,考察 当S2m1 当S2m1 (527) 设预先给定的精度为,若 d 则以S2m作为所要求的积分近似值,否则继续将区间 分半,利用复合抛物线公式求积分,直到满足预给的精度 为止。
