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1、总复习：现代控制理论 主要学习内容 Ch1 绪论 Ch2 线性系统的状态空间描述 Ch3 线性系统的运动分析 Ch4 线性系统的能控性和能观性 Ch5 系统运动的稳定性 Ch6 线性反馈系统的时间域综合 1 总复习：现代控制理论 一系统数学描述的两种基本类型一系统数学描述的两种基本类型 1、输入输出描述（外部描述） (1) 用传递函数、微分方程等表征；(2)是系统的 外部描述；(3)是对系统的不完全描述。 第第2 2章章 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 2、状态空间描述（内部描述） (1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描 述；(3)是对系统的完全描述。 2 总复习：现代
2、控制理论 二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立 建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1. 1. 根据系统机理建立状态空间表达式根据系统机理建立状态空间表达式 2. 2. 由系统输入输出描述建立状态空间表达式由系统输入输出描述建立状态空间表达式 能控标准型实现 能观测标准型实现 3 总复习：现代控制理论 1. 可控规范形实现 设 则矩阵形式的可控规范形实现为 式中： 友矩阵 上一页 下一页 返回主目录 4 总复习：现代控制理论 2）可观测规范形实现 则矩阵形式的状态方程和输出方程为 式中： 友矩阵 上一页 下一页 返回主目录 5 总复习：现代控制理论
3、 三、传递函数矩阵的计算三、传递函数矩阵的计算 设线性定常连续系统的状态空间描述为： 在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达 式为： 6 总复习：现代控制理论 1. 1. 非奇异线性变换的不变特性非奇异线性变换的不变特性 非奇异线性变换后系统特征值不变、传递函 数矩阵不变、能控性不变、能观测性不变、能控 性指数不变、能观测性指数不变、稳定性不变. 2. 2. 线性系统等价状态空间描述 四、 线性定常系统的坐标变换 对于线性定常系统，两个代数等价的状态空 间描述，可以化为相同的对角线规范型、约当规 范型、能控规范型和能观规范型。 7 总复习：现代控制理论 2. 2. 线性时不变系统等价状态空间
4、描述线性时不变系统等价状态空间描述 对状态向量x引入线性非奇异变换 ，则变换后的 状态空间描述 n阶线性定常系统的状态空间描述为： 其中： 称系统两种不同的状态空间描述(a)，(b)为代数等价的， 对于参数矩阵满足上述关系的系统称为代数等价系统。 (a) (b) 8 总复习：现代控制理论 对角规范形 状态方程中的 系统矩阵A具 有对角形的形 式。 约当规范形 状态方程中的 系统矩阵A具 有分块对角形 的形式。 3. 状态方程的对角规范形和约当规范形 9 总复习：现代控制理论 1) 1) 对角线规范形对角线规范形 1) 1) 可化为对角线规范形的条件可化为对角线规范形的条件 已知n阶线性定常系统
5、的状态方程为 当系统矩阵A具有n个线性无关的特征向量 时， 可以通过线性非奇异变换变换为对角线规范形 。即以 下2种情况下可化为对角线规范形： （1）系统矩阵A的n个特征值两两互异； （2）系统矩阵A有重特征值，且所有特征值的几何 重数都等于其代数重数。 10 总复习：现代控制理论 2) 2) 约当规范形约当规范形 1) 1) 化为约当规范形的条件化为约当规范形的条件 对于n阶线性定常系统 当系统矩阵A有重特征值，且矩阵A的线性无关的 特征向量个数少于n时，则可以通过线性非奇异变 换变换为约当规范形。 11 总复习：现代控制理论 3 3） 特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数
6、（a a）代数重数）代数重数 设i为系统矩阵A的一个特征值，且有 则称i为特征值i的代数重数。 说明1：矩阵A的重特征值i的重数i 就是特征值i的 代数重数。 说明2：若n阶线性定常系统含有重特征值i且可化为 约当规范形时， i的代数重数i为该规范形中 所有属于特征值i的约当小块的阶数之和。 12 总复习：现代控制理论 （b b）几何重数）几何重数 设i为系统矩阵A的一个特征值，i的几何重 数可由下式计算 说明：若n阶线性定常系统含有重特征值i且可化 为约当规范形时，i的几何重数i为该规 范形中特征值i对应的约当小块的个数。 13 总复习：现代控制理论 说明：约当规范形的特点 对包含重特征值的
7、n维线性时不变系统，系统矩阵 的约当规范形是一个“嵌套式”的对角块阵。 “外层”反映整个矩阵，其形式是以相应于各个特征 值的约当块为块元的对角线分块阵，约当块的个数 等于相异特征值个数l，约当块的维数等于相应特征 值的代数重数。 “中层”就是约当块，其形式是以约当小块为块元的 对角线分块阵，约当小块的个数等于相应特征值的 几何重数。 “内层”为约当小块，约当小块为“以相应特征值为 对角元，其右邻元均为1，其余元素均为0”的矩阵 。 14 总复习：现代控制理论 五、组合系统的状态空间描述五、组合系统的状态空间描述 p 组合系统：由两个或两个以上的子系统按一定方 式相互联接而构成的系统称为组合系统
8、。 p 基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈 p三种组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵的状态空间描述和传递函数矩阵 15 总复习：现代控制理论 两个线性时不变子系统S1和S2的状态空间描述分别为： 一、子系统并联一、子系统并联 16 总复习：现代控制理论 二、子系统串联二、子系统串联 17 总复习：现代控制理论 三、子系统反馈连接三、子系统反馈连接 或 18 总复习：现代控制理论 第第3 3章章 线性系统的运动分析线性系统的运动分析 一线性定常系统的状态转移矩阵的定义一线性定常系统的状态转移矩阵的定义 线性定常系统 的状态转移矩阵为： 当t0 = 0时，可将其表为 即对于线性定常系统来说，
9、它的状态转移矩阵就是 矩阵指数函数。 19 总复习：现代控制理论 二线性定常系统的状态转移矩阵的性质和计算二线性定常系统的状态转移矩阵的性质和计算 1 1性质性质：（：（7 7条）条） 2 2 的计算方法的计算方法 1）定义法 （最常用） 3）拉氏反变换法（） 2）特征值法 20 总复习：现代控制理论 三线性定常系统状态方程解三线性定常系统状态方程解x x( (t t) )的计算的计算 ( (求线性定常系统的状态响应和输出响应求线性定常系统的状态响应和输出响应) ) 1 1积分法：积分法： 2 2拉氏变换法：拉氏变换法： 21 总复习：现代控制理论 第4章 线性系统的可控性与可观测性 一、线性
10、定常连续系统的可控性判据一、线性定常连续系统的可控性判据 1 1秩判据秩判据 2 2PBHPBH秩判据秩判据 3 3对角线规范型判据对角线规范型判据 4 4约当规范型判据约当规范型判据 22 总复习：现代控制理论 1. 1. 秩判据秩判据 线性定常系统 完全能控的充分必要条件是 其中: n为矩阵A的维数， 称为系统的能控性判别阵。 注：秩判据是一种方便，应用广泛的判别方法。 23 总复习：现代控制理论 2 2PBHPBH秩判据秩判据 线性定常系统 完全能控的充分必要条件是：对矩阵A的所有特征 值 ， 均成立，或等价地表示为 注：当系统矩阵A的维数较高时，应用秩判据 可能不太方便，此时可考虑用P
11、BH秩判据试一下。 24 总复习：现代控制理论 3 3对角线规范型判据对角线规范型判据 当矩阵A的特征值 为两两相异时， 线性定常连续系统 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型 中， 不包含元素全为零的行行。 25 总复习：现代控制理论 当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连 续系统 完全能控的充分必要条件是：由其导出的约当 规范型 中， 中与同一特征值的各 约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是 行行线性无关的。 4 4约当规范型判据约当规范型判据 26 总复习：现代控制理论 二线性定常连续系统的能观测性判据二线性定常连续系统的能观测性判据 1 1秩判据秩判据 2 2PBHPBH秩判据秩
12、判据 3 3对角线规范型判据对角线规范型判据 4 4约当规范型判据约当规范型判据 27 总复习：现代控制理论 1. 1. 秩判据秩判据 线性定常系统 完全可观测的充分必要条件是: 或 其中：n是系统的维数，Qo称为系统的能观测性判别 阵，简称能观测性阵。 28 总复习：现代控制理论 2. PBH2. PBH秩判据秩判据 线性定常系统 完全能观测的充分必要条件是：对矩阵A的所 有特征值 ，均有 成立。或等价地表示为 29 总复习：现代控制理论 3. 3. 对角线规范型判据对角线规范型判据 当矩阵A的特征值 为两两相异时， 线性定常连续系统 完全能观测的充分必要条件是：其对角线规范型 中， 不包含
13、元素全为零的列列。 30 总复习：现代控制理论 4. 4. 约当规范型判据约当规范型判据 当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连 续系统 完全能观测的充分必要条件是：由其导出的约 当规范型 中， 中与同一特征值的各约当块对应的各子中与同一特征值的各约当块对应的各子 块的块的第一列第一列组成的矩阵是组成的矩阵是列列线性无关的线性无关的。 31 总复习：现代控制理论 考虑连续时间线性时变系统 线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为： （1） （2） 四、对偶性 1.对偶系统： 2.对偶原理： 线性时变系统的完全能控等同于其 对偶系统的完全能观测，线性时变系统的完全能观 测等同于其对偶系统的完全能控。
14、 32 总复习：现代控制理论 1.能控规范形的定义： 对完全能控的单输入单输出线性时不变系统， 如果其状态空间描述具有如下形式 其中： 则称此状态空间描述为能控规范形。 五.能控能观规范形 33 总复习：现代控制理论 结论：对于完全能控的单输入单输出线性时不变系统 其中：A为nn常阵，b，c分别为n维列向量和n维行 向量。设系统的特征多项式为 引入非奇异线性变换阵P： 2.化SISO能控系统为能控规范形 34 总复习：现代控制理论 作变换 ，即可导出能控规范形为： 式中： 其中： 35 总复习：现代控制理论 3.能观测规范形的定义： 对完全能观测的单输入单输出线性时不变系统 ，如果其状态空间描
15、述具有如下形式 其中： 则称此状态空间描述为能观测规范形。 36 总复习：现代控制理论 结论：对于完全能观测的单输入单输出线性时不变系统 其中：A为nn常阵，b，c分别为n维列向量和n维行 向量。设系统的特征多项式为 引入非奇异线性变换阵Q： 4.化SISO能观测系统为能观测规范形 37 总复习：现代控制理论 作变换 ，即可导出能观测规范形为： 式中： 其中： 38 总复习：现代控制理论 结论：对不完全能控的系统，rankQc=kn，引 入线性非奇异变换 ，即可导出系统按能控性 结构分解的规范表达式 P 矩阵如 何确定？ 六、连续时间线性时不变系统的结构分解 1. 线性定常系统按能控性的结构分解 39 总复习：现代控制理论 1）从能控性判别阵Qc中任意的选取k个线性无关 的列向量，记为 。 2）在n维实数空间中任意选取尽可能简单的(n-k) 个列向量（注：所谓尽可能简单是指这(n-k)个列 向量中有尽可能多的元素为零，非零元素取值为1 ），记为 ，使它们和 线性无 关。这样就可以构成nn非奇异变换矩阵 非奇异变换矩阵非奇异变换矩阵P P-1 -1的构造方法 的构造方法 40 总复习：现代控制理论 式中： 为k维能控状态子向量， 为(n-k)维不能控 状态子向量，并且 进行非奇异线性变换： 即可得到系统按
