过程建模0-模型论3解析

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1、工业工业过程建模过程建模 主讲人：刘济 jiliu 2011.9 0 模型论概述 0.3 建模实例 0.3.1 独轮自行车实物仿真 0.3.2 水箱液位控制 0.3.3 管式反应器质量指标检测 0 模型论概述 0.3.1 独轮自行车实物仿真 1、问题提出 控制理论中，把独轮自行车问题 归结为一阶倒立摆控制问题，此 外，诸如机器人行走过程中的平 衡控制，火箭发射中的垂直度控 制，卫星飞行中的姿态控制，海 上钻井平台的稳定控制，飞机的 安全着陆控制等均涉及到“倒立 摆的控制问题”。 0 模型论概述 0.3.1 独轮自行车实物仿真 单一刚性铰链，两自由度动力学问题 独轮自行车实物仿真模型 0 模型论

2、概述 0.3.1 独轮自行车实物仿真 小车的质量为m0，倒立 摆的质量为m，摆长为 ， 摆的偏角为 ，小车的位移 为x，作用在小车上水平方 向的力为F，O1为摆杆的质 心。 2、实物抽象物理模型 0 模型论概述 0.3.1 独轮自行车实物仿真 3、建模过程 假定摆杆为匀质细杆，与小车的连接为刚性铰链。 1)摆杆绕其中心的转动方程为 2)摆杆重心的水平运动可能描述为 根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与加 速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴的代数和。 0 模型论概述 0.3.1 独轮自行车实物仿真 3、建模过程 3)摆杆中心在垂直方向上的运动可描述为 4)小车水平方向运动可描述为 0

3、模型论概述 0.3.1 独轮自行车实物仿真 3、建模过程 将上述14式联立可得精确模型： 式中，J为摆杆对于质心的转动惯量，因为摆杆为 均匀细杆，J为 0 模型论概述 0.3.1 独轮自行车实物仿真 4、模型简化 若只考虑 在工作点 附近（ ）的细 微变化，则可将精确模型简化为： 0 模型论概述 0.3.1 独轮自行车实物仿真 4、模型简化 若给定一阶直线倒立摆系统的参数为：小车的质量 m0=1kg；倒摆振子的质量m=1kg；倒摆长度2l=0.6m； 重力加速度取g=10m/s2，则可得到进一步简化模型 （ 微分方程形式）： 0 模型论概述 0.3.1 独轮自行车实物仿真 4、模型简化 对上式

4、进行拉氏变换可得系统的传递函数模型为 0 模型论概述 0.3.1 独轮自行车实物仿真 4、模型简化 进一步变换可得系统的状态空间模型为 设系统状态为 0 模型论概述 0.3.1 独轮自行车实物仿真 5、模型验证 在MATLAB的图形仿真环境下搭建 上述模型仿真图 0 模型论概述 0.3.1 独轮自行车实物仿真 5、模型验证 令外作用F为0.1N的脉冲，运行上述仿 真图，观察小车位移x和摆杆摆角 的曲线： 从中可见，在0.1N的冲击力作用下，摆杆摆角由零逐步增大，小 车位移逐渐增加，这一结果符合实验设计，可基本认定模型有效。 0 模型论概述 0.3.2 水箱液位控制 1、问题提出 工业过程控制领

5、域中，诸如电站锅炉气泡水位控制，化 学反应釜液位控制，化工配料系统的液位控制等问题， 均可等效为水箱液位控制问题。 h为液位高度(又称为水 头)，qin为流入水箱中液 体的流量, qout为流出水 箱液体的流量，qin与 qout分别为进水阀和出 水阀门的控制开度，S 为水箱底面积。 0 模型论概述 0.3.2 水箱液位控制 1、问题提出 (1) 雷诺系数 (2) 紊流 (3) 层流 当液体的雷诺系数Re2000，流体的流态称为紊流。紊流表征了 流体在传递中有能量损失，质点运动紊乱 (有横向分量),通常条件下, 容器与导管连接处的流态呈紊流状态. 当液体的雷诺系数Re2000，流体的流态称为层

6、流。层流表征了 流体在传递中能量损失很少，质点运动有序 (沿轴向方向),通常条件 下,长距离直管段中,在压力恒定情况下,流体呈层流状态. 其中v为液体流速，d为管道口径，r为液体黏度 雷诺系数反应了液体在管道中流动时的物理性能. 0 模型论概述 0.3.2 水箱液位控制 2、模型假定和简化 假设流体输送管道为理想工作状态管道，各处压力均匀 且流体为均质流体。对于水箱的进水管道，假设其流体 符合层流状态。 对于水箱与导管连接处的紊流，其水头与流量之间为非 线性关系 将其在水箱的平衡点(q0 ，h0)处线性化 因此，出口处流量 0 模型论概述 0.3.2 水箱液位控制 3、建模过程 (1)单位时间

7、内，水箱里流体体积的变化量为 ： (2)水箱出口水头与流量的线性化关系为： 0 模型论概述 0.3.2 水箱液位控制 3、建模过程 系统模型（微分方程形式）为 取拉氏变换得到传递函数模型 以上各式中，RS为水箱系统的时间常数。 0 模型论概述 0.3.2 水箱液位控制 4、模型验证 0 模型论概述 0.3.2 水箱液位控制 思考与尝试： 试建立如下水箱系统模型（水箱液位2与入口流量q1的关 系模型） 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 1、问题提出 除了各种物理过程以外，工业过程 领域还有一大类更为复杂的化学反 应过程，研究此类过程的模型化问 题，有助于更好地监控其过程状态 、

8、检测其质量指标，为控制系统的 设计提供有力的帮助。 管式反应器本身是一个分布参数系 统，对其内部化学反应过程建模需 采用一些特殊的方法。 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 1、问题提出 右图为PET（聚酯）固相缩聚移动床反 应器。2毫米见方的PET固体切片从反 应器顶部注入，缓慢向下移动，在一定 的温度下发生加聚反应，同时恒定流量 的纯净氮气逆流向上流动，带走反应生 成的副产物。反应产物从底部匀速排出 。 反应器出口PET切片的平均分子量、粘 度是重要的质量指标。 pure N2 N2 and byproducts PET pellet PET pellet 0 模型论概述

9、0.3.3 管式反应器质量指标检测 1、问题提出建模对象特性 pure N2 N2 and byproducts PET pellet PET pellet 颗粒内，缩聚反应和小分子的扩散 床层轴向，颗粒和小分子逆向传质 床层径向，小分子径向传质 除主要反应外还有包括降解的多种副反应发生 颗粒表面，小分子向氮气体扩散 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 2、模型假定 扩散 轴向扩散服 从Fick定律 相间传质 气固相“拟均相 ”，将反应速率 表示成所关心的 固相浓度函数， 考虑颗粒外小分 子的扩散，引入 有效系数 反应 忽略酯化反 应及其它副 反应，只考 虑缩聚反应 对流 忽略

10、径向的 浓度差和温 度差，用简 单的平推流 扩散流模 型来等效表 示轴向传质 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 3、建模过程 dz v, COH v, COH pellet 经模型假定和简化后，主反应方程 其中，-OH为羟基，Z为产物双酯基团，EG为小分子 产物乙二醇。 其中，C0H为羟基浓度， Cz为产物双酯基团浓度， CEG 为乙二醇浓度。v为流速。反应器管道横截面积为A， 长度为L。固状PET切片在管道里的空隙率为 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 3、建模过程 拟均相 假定 微元法 质量守 恒法则 1 2 3 根据反应机理，主反应的反应动力学方程为

11、且双酯基团浓度为 （1 ） （2 ） 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 在z面EG的流入量为 在z面EG的扩散量为 在z+dz面EG的流出量为 在z+dz面EG的扩散量为 在dz中反应应生成量为 （1）在微元dz内EG的变变化率为为 对流 扩散 反应有 效因子 =流入-流出+扩散变化+反应生成 反应 反应速率 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 （1）在微元dz内EG的变变化率为为 =流入-流出+扩散变化+反应生成 （3 ） 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 在z面Eg的流入量为 在z+dz面Eg的流出量为 在dz中Eg反应应消耗量为 对流

12、（2）在微元dz内-OH的变变化率为为 =流入-流出-反应消耗 反应 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 （2）在微元dz内-OH的变变化率为为 =流入-流出-反应消耗 （4 ） 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 4、模型化简 将式（3）和（4）中 、 在z处 泰勒级数展开，并舍掉二次以上项，可得 设反应固体在反应器的停留时间为 ， 则可将上述方程无因次化。 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 因此，精确模型（偏微分方程形式）为： 初始条件 边界条件 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 未知参 数 固相缩聚与熔融缩聚有着类似的反

13、应平衡常数，即 扩散系数反映小分子在气固混合体内的等效扩散系 数 有效系数反映微元体内小分子实际变化数量 当温度在220230时，反应速率常数为k=1.06 模型的参数有：反应平衡常数K；反应速率常数k；乙 二醇在气固混合体内扩散系数Dz;反应有效系数 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 5、质量指标计算 反应器出口产物的特性粘度和平均分子量是PET固相缩 聚过程关键质量指标。 平均聚合度 数均分子量 特性粘度 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 6、模型求解 上述所建立的PET固相缩聚反应器动态模型为偏微 分方程（partial differential eq

14、uation，PDE）所描述 的分布参数模型，对于此类模型，很难求取解析解。 因此，过程模拟时需要采用数值方法进行求解。对 于化工过程而言，通常的做法是用正交配置方法空间离 散模型方程，得到一组常微分方程，然后用龙格-库塔法 求常微分方程组的数值解。 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 7、模型验证 模型验证采用模型适用性的仿真研究方法，在实验 条件不具备的情况下，借用已发表的该领域某权威文献 实验条件和数据，采用本模型进行仿真研究。 进行仿真研究前，必须先确定模型参数，也就是要 根据实验条件和实验数据对模型参数进行修正。根据文 献，当温度在220230时，反应速率常数为 k=

15、1.06(mol/)-1h-1。运用该文献实验条件和相应的实验数 据，采用单纯形法估计出该实验条件下扩散系数和有效 系数分别为 ， 。 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 图 反应启动过程乙二醇（a）和羟基（b）浓度时空分布图 (a) (b) 采用7个配置点进 行离散，精度不高 ，数据存在波动而 非绝对光滑曲线 反映物料逐 渐充满整个 反应器的启 动过程 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 图 反应稳态乙二醇（a）和羟基（b）浓度轴向分布曲线 (b) (a) 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 图 不同停留时间IV空间分布曲线 图 Mn与时间的关

16、系曲线 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 表 特性黏度和分子量仿真结果与实验 数据对照 停留 时间 /h IV /dLg-1Mn 实验 值 计算 值 误差 /% 实验值计算值误差 /% 100.8590.8731.6325390258971.83 200.9630.9720.9329180295251.18 301.0571.045-1.143269032242-1.37 0 模型论概述 0.3.3 管式反应器质量指标检测 通过以上仿真研究，可有如下结论： 当启动或操作条件发生变化时，反应速率初始阶段较快，随后变化 较缓慢，最终到达稳态； 端基平均浓度时空分布和特性粘度空间分布随停留时间变化规律， 与已报道研究结果一致，符合理论分析结论； 三种停留时间控制下出口分子量和特性粘度值与对照文献的数据基 本吻合，误差在2%以内，模型描述的平均分子量与反应时间关系与对照 文献一致，且符合已有研究